Calcul de 1/109 en base 13+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 13+109n se regroupent elles en cette série ?

1-13-60-17-3-39-71-51-9-8-104-44-27-24-94-23-81-72-64-69-25-107-83-98-75-103-31-76-7-91-93-10-21-55-61-30-63-56-74-90-80-59-4-52-22-68-12-47-66-95-36-32-89-67===108-96-49-92-106-70-38-58-100-101-5-65-82-85-15-86-28-37-45-40-84-2-26-11-34-6-78-33-102-18-16-99-88-54-48-79-46-53-35-19-29-50-105-57-87-41-97-62-43-14-73-77-20-42

Calculons 1/109 en base 13+109n (13, 122, 231, ...) :

1/109 en base 13 = 0,0-1-7-2-0-4-8-6-1-0-12-5-3-2-11-2-9-8-7-8-2-12-9-11-8-12-3-9-0-10-11-1-2-6-7-3-7-6-8-10-9-7-0-6-2-8-1-5-7-11-4-3-10-7===12-11-5-10-12-8-4-6-11-12-0-7-9-10-1-10-3-4-5-4-10-0-3-1-4-0-9-3-12-2-1-11-10-6-5-9-5-6-4-2-3-5-12-6-10-4-11-7-5-1-8-9-2-5...

1/109 en base 122 = 0,1-14-67-19-3-43-79-57-10-8-116-49-30-26-105-25-90-80-71-77-27-119-92-109-83-115-34-85-7-101-104-11-23-61-68-33-70-62-82-100-89-66-4-58-24-76-13-52-73-106-40-35-99-74===120-107-54-102-118-78-42-64-111-113-5-72-91-95-16-96-31-41-50-44-94-2-29-12-38-6-87-36-114-20-17-110-98-60-53-88-51-59-39-21-32-55-117-63-97-45-108-69-48-15-81-86-22-47...

1/109 en base 231 = 0,2-27-127-36-6-82-150-108-19-16-220-93-57-50-199-48-171-152-135-146-52-226-175-207-158-218-65-161-14-192-197-21-44-116-129-63-133-118-156-190-169-125-8-110-46-144-25-99-139-201-76-67-188-141===228-203-103-194-224-148-80-122-211-214-10-137-173-180-31-182-59-78-95-84-178-4-55-23-72-12-165-69-216-38-33-209-186-114-101-167-97-112-74-40-61-105-222-120-184-86-205-131-91-29-154-163-42-89...

Et de manière générale en base 13+109n :

[n][1+13n][7+60n][2+17n][3n][4+39n][8+71n][6+51n][1+9n][8n][12+104n][5+44n][3+27n][2+24n][11+94n][2+23n][9+81n][8+72n][7+64n][8+69n][2+25n][12+107n][9+83n][11+98n][8+75n][12+103n][3+31n][9+76n][7n][10+91n][11+93n][1+10n][2+21n][6+55n][7+61n][3+30n][7+63n][6+56n][8+74n][10+90n][9+80n][7+59n][4n][6+52n][2+22n][8+68n][1+12n][5+47n][7+66n][11+95n][4+36n][3+32n][10+89n][7+67n]===[12+108n][11+96n][5+49n][10+92n][12+106n][8+70n][4+38n][6+58n][11+100n][12+101n][5n][7+65n][9+82n][10+85n][1+15n][10+86n][3+28n][4+37n][5+45n][4+40n][10+84n][2n][3+26n][1+11n][4+34n][6n][9+78n][3+33n][12+102n][2+18n][1+16n][11+99n][10+88n][6+54n][5+48n][9+79n][5+46n][6+53n][4+35n][2+19n][3+29n][5+50n][12+105n][6+57n][10+87n][4+41n][11+97n][7+62n][5+43n][1+14n][8+73n][9+77n][2+20n][5+42n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 13 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 42+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 42+109n. La série est alors :

1-42-20-77-73-14-43-62-97-41-87-57-105-50-29-19-35-53-46-79-48-54-88-99-16-18-102-33-78-6-34-11-26-2-84-40-45-37-28-86-15-85-82-65-5-101-100-58-38-70-106-92-49-96===108-67-89-32-36-95-66-47-12-68-22-52-4-59-80-90-74-56-63-30-61-55-21-10-93-91-7-76-31-103-75-98-83-107-25-69-64-72-81-23-94-24-27-44-104-8-9-51-71-39-3-17-60-13

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 13+109n.

Calculons 1/109 en base : 42, 151, 260, ...(42+109n) :

1/109 en base 42 = 0,0-16-7-29-28-5-16-23-37-15-33-21-40-19-11-7-13-20-17-30-18-20-33-38-6-6-39-12-30-2-13-4-10-0-32-15-17-14-10-33-5-32-31-25-1-38-38-22-14-26-40-35-18-36===41-25-34-12-13-36-25-18-4-26-8-20-1-22-30-34-28-21-24-11-23-21-8-3-35-35-2-29-11-39-28-37-31-41-9-26-24-27-31-8-36-9-10-16-40-3-3-19-27-15-1-6-23-5...

1/109 en base 151 = 0,1-58-27-106-101-19-59-85-134-56-120-78-145-69-40-26-48-73-63-109-66-74-121-137-22-24-141-45-108-8-47-15-36-2-116-55-62-51-38-119-20-117-113-90-6-139-138-80-52-96-146-127-67-132===149-92-123-44-49-131-91-65-16-94-30-72-5-81-110-124-102-77-87-41-84-76-29-13-128-126-9-105-42-142-103-135-114-148-34-95-88-99-112-31-130-33-37-60-144-11-12-70-98-54-4-23-83-18...

1/109 en base 260 = 0,2-100-47-183-174-33-102-147-231-97-207-135-250-119-69-45-83-126-109-188-114-128-209-236-38-42-243-78-186-14-81-26-62-4-200-95-107-88-66-205-35-202-195-155-11-240-238-138-90-166-252-219-116-228===257-159-212-76-85-226-157-112-28-162-52-124-9-140-190-214-176-133-150-71-145-131-50-23-221-217-16-181-73-245-178-233-197-255-59-164-152-171-193-54-224-57-64-104-248-19-21-121-169-93-7-40-143-31...

Et de manière générale en base 42+109n :

[n][16+42n][7+20n][29+77n][28+73n][5+14n][16+43n][23+62n][37+97n][15+41n][33+87n][21+57n][40+105n][19+50n][11+29n][7+19n][13+35n][20+53n][17+46n][30+79n][18+48n][20+54n][33+88n][38+99n][6+16n][6+18n][39+102n][12+33n][30+78n][2+6n][13+34n][4+11n][10+26n][2n][32+84n][15+40n][17+45n][14+37n][10+28n][33+86n][5+15n][32+85n][31+82n][25+65n][1+5n][38+101n][38+100n][22+58n][14+38n][26+70n][40+106n][35+92n][18+49n][36+96n]===[41+108n][25+67n][34+89n][12+32n][13+36n][36+95n][25+66n][18+47n][4+12n][26+68n][8+22n][20+52n][1+4n][22+59n][30+80n][34+90n][28+74n][21+56n][24+63n][11+30n][23+61n][21+55n][8+21n][3+10n][35+93n][35+91n][2+7n][29+76n][11+31n][39+103n][28+75n][37+98n][31+83n][41+107n][9+25n][26+69n][24+64n][27+72n][31+81n][8+23n][36+94n][9+24n][10+27n][16+44n][40+104n][3+8n][3+9n][19+51n][27+71n][15+39n][1+3n][6+17n][23+60n][5+13n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 42 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 13+109n.

Constatons que 13x42 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109