Calcul de 1/109 en base 14+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 14+109n se regroupent elles en cette série ?

1-14-87-19-48-18-34-40-15-101-106-67-66-52-74-55-7-98-64-24-9-17-20-62-105-53-88-33-26-37-82-58-49-32-12-59-63-10-31-107-81-44-71-13-73-41-29-79-16-6-84-86-5-70===108-95-22-90-61-91-75-69-94-8-3-42-43-57-35-54-102-11-45-85-100-92-89-47-4-56-21-76-83-72-27-51-60-77-97-50-46-99-78-2-28-65-38-96-36-68-80-30-93-103-25-23-104-39

Calculons 1/109 en base 14+109n (14, 123, 232, ...) :

1/109 en base 14 = 0,0-1-11-2-6-2-4-5-1-12-13-8-8-6-9-7-0-12-8-3-1-2-2-7-13-6-11-4-3-4-10-7-6-4-1-7-8-1-3-13-10-5-9-1-9-5-3-10-2-0-10-11-0-8===13-12-2-11-7-11-9-8-12-1-0-5-5-7-4-6-13-1-5-10-12-11-11-6-0-7-2-9-10-9-3-6-7-9-12-6-5-12-10-0-3-8-4-12-4-8-10-3-11-13-3-2-13-5...

1/109 en base 123 = 0,1-15-98-21-54-20-38-45-16-113-119-75-74-58-83-62-7-110-72-27-10-19-22-69-118-59-99-37-29-41-92-65-55-36-13-66-71-11-34-120-91-49-80-14-82-46-32-89-18-6-94-97-5-78===121-107-24-101-68-102-84-77-106-9-3-47-48-64-39-60-115-12-50-95-112-103-100-53-4-63-23-85-93-81-30-57-67-86-109-56-51-111-88-2-31-73-42-108-40-76-90-33-104-116-28-25-117-44...

1/109 en base 232 = 0,2-29-185-40-102-38-72-85-31-214-225-142-140-110-157-117-14-208-136-51-19-36-42-131-223-112-187-70-55-78-174-123-104-68-25-125-134-21-65-227-172-93-151-27-155-87-61-168-34-12-178-183-10-148===229-202-46-191-129-193-159-146-200-17-6-89-91-121-74-114-217-23-95-180-212-195-189-100-8-119-44-161-176-153-57-108-127-163-206-106-97-210-166-4-59-138-80-204-76-144-170-63-197-219-53-48-221-83...

Et de manière générale en base 14+109n :

[n][1+14n][11+87n][2+19n][6+48n][2+18n][4+34n][5+40n][1+15n][12+101n][13+106n][8+67n][8+66n][6+52n][9+74n][7+55n][7n][12+98n][8+64n][3+24n][1+9n][2+17n][2+20n][7+62n][13+105n][6+53n][11+88n][4+33n][3+26n][4+37n][10+82n][7+58n][6+49n][4+32n][1+12n][7+59n][8+63n][1+10n][3+31n][13+107n][10+81n][5+44n][9+71n][1+13n][9+73n][5+41n][3+29n][10+79n][2+16n][6n][10+84n][11+86n][5n][8+70n]===[13+108n][12+95n][2+22n][11+90n][7+61n][11+91n][9+75n][8+69n][12+94n][1+8n][3n][5+42n][5+43n][7+57n][4+35n][6+54n][13+102n][1+11n][5+45n][10+85n][12+100n][11+92n][11+89n][6+47n][4n][7+56n][2+21n][9+76n][10+83n][9+72n][3+27n][6+51n][7+60n][9+77n][12+97n][6+50n][5+46n][12+99n][10+78n][2n][3+28n][8+65n][4+38n][12+96n][4+36n][8+68n][10+80n][3+30n][11+93n][13+103n][3+25n][2+23n][13+104n][5+39n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 14 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 39+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 39+109n. La série est alors :

1-39-104-23-25-103-93-30-80-68-36-96-38-65-28-2-78-99-46-50-97-77-60-51-27-72-83-76-21-56-4-47-89-92-100-85-45-11-102-54-35-57-43-42-3-8-94-69-75-91-61-90-22-95===108-70-5-86-84-6-16-79-29-41-73-13-71-44-81-107-31-10-63-59-12-32-49-58-82-37-26-33-88-53-105-62-20-17-9-24-64-98-7-55-74-52-66-67-106-101-15-40-34-18-48-19-87-14

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 14+109n.

Calculons 1/109 en base : 39, 148, 257, ...(39+109n) :

1/109 en base 39 = 0,0-13-37-8-8-36-33-10-28-24-12-34-13-23-10-0-27-35-16-17-34-27-21-18-9-25-29-27-7-20-1-16-31-32-35-30-16-3-36-19-12-20-15-15-1-2-33-24-26-32-21-32-7-33===38-25-1-30-30-2-5-28-10-14-26-4-25-15-28-38-11-3-22-21-4-11-17-20-29-13-9-11-31-18-37-22-7-6-3-8-22-35-2-19-26-18-23-23-37-36-5-14-12-6-17-6-31-5...

1/109 en base 148 = 0,1-52-141-31-33-139-126-40-108-92-48-130-51-88-38-2-105-134-62-67-131-104-81-69-36-97-112-103-28-76-5-63-120-124-135-115-61-14-138-73-47-77-58-57-4-10-127-93-101-123-82-122-29-128===146-95-6-116-114-8-21-107-39-55-99-17-96-59-109-145-42-13-85-80-16-43-66-78-111-50-35-44-119-71-142-84-27-23-12-32-86-133-9-74-100-70-89-90-143-137-20-54-46-24-65-25-118-19...

1/109 en base 257 = 0,2-91-245-54-58-242-219-70-188-160-84-226-89-153-66-4-183-233-108-117-228-181-141-120-63-169-195-179-49-132-9-110-209-216-235-200-106-25-240-127-82-134-101-99-7-18-221-162-176-214-143-212-51-223===254-165-11-202-198-14-37-186-68-96-172-30-167-103-190-252-73-23-148-139-28-75-115-136-193-87-61-77-207-124-247-146-47-40-21-56-150-231-16-129-174-122-155-157-249-238-35-94-80-42-113-44-205-33...

Et de manière générale en base 39+109n :

[n][13+39n][37+104n][8+23n][8+25n][36+103n][33+93n][10+30n][28+80n][24+68n][12+36n][34+96n][13+38n][23+65n][10+28n][2n][27+78n][35+99n][16+46n][17+50n][34+97n][27+77n][21+60n][18+51n][9+27n][25+72n][29+83n][27+76n][7+21n][20+56n][1+4n][16+47n][31+89n][32+92n][35+100n][30+85n][16+45n][3+11n][36+102n][19+54n][12+35n][20+57n][15+43n][15+42n][1+3n][2+8n][33+94n][24+69n][26+75n][32+91n][21+61n][32+90n][7+22n][33+95n]===[38+108n][25+70n][1+5n][30+86n][30+84n][2+6n][5+16n][28+79n][10+29n][14+41n][26+73n][4+13n][25+71n][15+44n][28+81n][38+107n][11+31n][3+10n][22+63n][21+59n][4+12n][11+32n][17+49n][20+58n][29+82n][13+37n][9+26n][11+33n][31+88n][18+53n][37+105n][22+62n][7+20n][6+17n][3+9n][8+24n][22+64n][35+98n][2+7n][19+55n][26+74n][18+52n][23+66n][23+67n][37+106n][36+101n][5+15n][14+40n][12+34n][6+18n][17+48n][6+19n][31+87n][5+14n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 39 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 14+109n.

Constatons que 14x39 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109