Calcul de 1/109 en base 18+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 18+109n se regroupent elles en cette série ?

1-18-106-55-9-53-82-59-81-41-84-95-75-42-102-92-21-51-46-65-80-23-87-40-66-98-20-33-49-10-71-79-5-90-94-57-45-47-83-77-78-96-93-39-48-101-74-24-105-37-12-107-73-6===108-91-3-54-100-56-27-50-28-68-25-14-34-67-7-17-88-58-63-44-29-86-22-69-43-11-89-76-60-99-38-30-104-19-15-52-64-62-26-32-31-13-16-70-61-8-35-85-4-72-97-2-36-103

Calculons 1/109 en base 18+109n (18, 127, 236, ...) :

1/109 en base 18 = 0,0-2-17-9-1-8-13-9-13-6-13-15-12-6-16-15-3-8-7-10-13-3-14-6-10-16-3-5-8-1-11-13-0-14-15-9-7-7-13-12-12-15-15-6-7-16-12-3-17-6-1-17-12-0===17-15-0-8-16-9-4-8-4-11-4-2-5-11-1-2-14-9-10-7-4-14-3-11-7-1-14-12-9-16-6-4-17-3-2-8-10-10-4-5-5-2-2-11-10-1-5-14-0-11-16-0-5-17...

1/109 en base 127 = 0,1-20-123-64-10-61-95-68-94-47-97-110-87-48-118-107-24-59-53-75-93-26-101-46-76-114-23-38-57-11-82-92-5-104-109-66-52-54-96-89-90-111-108-45-55-117-86-27-122-43-13-124-85-6===125-106-3-62-116-65-31-58-32-79-29-16-39-78-8-19-102-67-73-51-33-100-25-80-50-12-103-88-69-115-44-34-121-22-17-60-74-72-30-37-36-15-18-81-71-9-40-99-4-83-113-2-41-120...

1/109 en base 236 = 0,2-38-229-119-19-114-177-127-175-88-181-205-162-90-220-199-45-110-99-140-173-49-188-86-142-212-43-71-106-21-153-171-10-194-203-123-97-101-179-166-168-207-201-84-103-218-160-51-227-80-25-231-158-12===233-197-6-116-216-121-58-108-60-147-54-30-73-145-15-36-190-125-136-95-62-186-47-149-93-23-192-164-129-214-82-64-225-41-32-112-138-134-56-69-67-28-34-151-132-17-75-184-8-155-210-4-77-223...

Et de manière générale en base 18+109n :

[n][2+18n][17+106n][9+55n][1+9n][8+53n][13+82n][9+59n][13+81n][6+41n][13+84n][15+95n][12+75n][6+42n][16+102n][15+92n][3+21n][8+51n][7+46n][10+65n][13+80n][3+23n][14+87n][6+40n][10+66n][16+98n][3+20n][5+33n][8+49n][1+10n][11+71n][13+79n][5n][14+90n][15+94n][9+57n][7+45n][7+47n][13+83n][12+77n][12+78n][15+96n][15+93n][6+39n][7+48n][16+101n][12+74n][3+24n][17+105n][6+37n][1+12n][17+107n][12+73n][6n]===[17+108n][15+91n][3n][8+54n][16+100n][9+56n][4+27n][8+50n][4+28n][11+68n][4+25n][2+14n][5+34n][11+67n][1+7n][2+17n][14+88n][9+58n][10+63n][7+44n][4+29n][14+86n][3+22n][11+69n][7+43n][1+11n][14+89n][12+76n][9+60n][16+99n][6+38n][4+30n][17+104n][3+19n][2+15n][8+52n][10+64n][10+62n][4+26n][5+32n][5+31n][2+13n][2+16n][11+70n][10+61n][1+8n][5+35n][14+85n][4n][11+72n][16+97n][2n][5+36n][17+103n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 18 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 103+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 103+109n. La série est alors :

1-103-36-2-97-72-4-85-35-8-61-70-16-13-31-32-26-62-64-52-15-19-104-30-38-99-60-76-89-11-43-69-22-86-29-44-63-58-88-17-7-67-34-14-25-68-28-50-27-56-100-54-3-91===108-6-73-107-12-37-105-24-74-101-48-39-93-96-78-77-83-47-45-57-94-90-5-79-71-10-49-33-20-98-66-40-87-23-80-65-46-51-21-92-102-42-75-95-84-41-81-59-82-53-9-55-106-18

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 18+109n.

Calculons 1/109 en base : 103, 212, 321, ...(103+109n) :

1/109 en base 103 = 0,0-97-34-1-91-68-3-80-33-7-57-66-15-12-29-30-24-58-60-49-14-17-98-28-35-93-56-71-84-10-40-65-20-81-27-41-59-54-83-16-6-63-32-13-23-64-26-47-25-52-94-51-2-85===102-5-68-101-11-34-99-22-69-95-45-36-87-90-73-72-78-44-42-53-88-85-4-74-67-9-46-31-18-92-62-37-82-21-75-61-43-48-19-86-96-39-70-89-79-38-76-55-77-50-8-51-100-17...

1/109 en base 212 = 0,1-200-70-3-188-140-7-165-68-15-118-136-31-25-60-62-50-120-124-101-29-36-202-58-73-192-116-147-173-21-83-134-42-167-56-85-122-112-171-33-13-130-66-27-48-132-54-97-52-108-194-105-5-176===210-11-141-208-23-71-204-46-143-196-93-75-180-186-151-149-161-91-87-110-182-175-9-153-138-19-95-64-38-190-128-77-169-44-155-126-89-99-40-178-198-81-145-184-163-79-157-114-159-103-17-106-206-35...

1/109 en base 321 = 0,2-303-106-5-285-212-11-250-103-23-179-206-47-38-91-94-76-182-188-153-44-55-306-88-111-291-176-223-262-32-126-203-64-253-85-129-185-170-259-50-20-197-100-41-73-200-82-147-79-164-294-159-8-267===318-17-214-315-35-108-309-70-217-297-141-114-273-282-229-226-244-138-132-167-276-265-14-232-209-29-144-97-58-288-194-117-256-67-235-191-135-150-61-270-300-123-220-279-247-120-238-173-241-156-26-161-312-53...

Et de manière générale en base 103+109n :

[n][97+103n][34+36n][1+2n][91+97n][68+72n][3+4n][80+85n][33+35n][7+8n][57+61n][66+70n][15+16n][12+13n][29+31n][30+32n][24+26n][58+62n][60+64n][49+52n][14+15n][17+19n][98+104n][28+30n][35+38n][93+99n][56+60n][71+76n][84+89n][10+11n][40+43n][65+69n][20+22n][81+86n][27+29n][41+44n][59+63n][54+58n][83+88n][16+17n][6+7n][63+67n][32+34n][13+14n][23+25n][64+68n][26+28n][47+50n][25+27n][52+56n][94+100n][51+54n][2+3n][85+91n]===[102+108n][5+6n][68+73n][101+107n][11+12n][34+37n][99+105n][22+24n][69+74n][95+101n][45+48n][36+39n][87+93n][90+96n][73+78n][72+77n][78+83n][44+47n][42+45n][53+57n][88+94n][85+90n][4+5n][74+79n][67+71n][9+10n][46+49n][31+33n][18+20n][92+98n][62+66n][37+40n][82+87n][21+23n][75+80n][61+65n][43+46n][48+51n][19+21n][86+92n][96+102n][39+42n][70+75n][89+95n][79+84n][38+41n][76+81n][55+59n][77+82n][50+53n][8+9n][51+55n][100+106n][17+18n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 103 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 18+109n.

Constatons que 18x103 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109