Calcul de 1/109 en base 24+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 24+109n se regroupent elles en cette série ?

1-24-31-90-89-65-34-53-73-8-83-30-66-58-84-54-97-39-64-10-22-92-28-18-105-13-94-76-80-67-82-6-35-77-104-98-63-95-100-2-48-62-71-69-21-68-106-37-16-57-60-23-7-59===108-85-78-19-20-44-75-56-36-101-26-79-43-51-25-55-12-70-45-99-87-17-81-91-4-96-15-33-29-42-27-103-74-32-5-11-46-14-9-107-61-47-38-40-88-41-3-72-93-52-49-86-102-50

Calculons 1/109 en base 24+109n (24, 133, 242, ...) :

1/109 en base 24 = 0,0-5-6-19-19-14-7-11-16-1-18-6-14-12-18-11-21-8-14-2-4-20-6-3-23-2-20-16-17-14-18-1-7-16-22-21-13-20-22-0-10-13-15-15-4-14-23-8-3-12-13-5-1-12===23-18-17-4-4-9-16-12-7-22-5-17-9-11-5-12-2-15-9-21-19-3-17-20-0-21-3-7-6-9-5-22-16-7-1-2-10-3-1-23-13-10-8-8-19-9-0-15-20-11-10-18-22-11...

1/109 en base 133 = 0,1-29-37-109-108-79-41-64-89-9-101-36-80-70-102-65-118-47-78-12-26-112-34-21-128-15-114-92-97-81-100-7-42-93-126-119-76-115-122-2-58-75-86-84-25-82-129-45-19-69-73-28-8-71===131-103-95-23-24-53-91-68-43-123-31-96-52-62-30-67-14-85-54-120-106-20-98-111-4-117-18-40-35-51-32-125-90-39-6-13-56-17-10-130-74-57-46-48-107-50-3-87-113-63-59-104-124-61...

1/109 en base 242 = 0,2-53-68-199-197-144-75-117-162-17-184-66-146-128-186-119-215-86-142-22-48-204-62-39-233-28-208-168-177-148-182-13-77-170-230-217-139-210-222-4-106-137-157-153-46-150-235-82-35-126-133-51-15-130===239-188-173-42-44-97-166-124-79-224-57-175-95-113-55-122-26-155-99-219-193-37-179-202-8-213-33-73-64-93-59-228-164-71-11-24-102-31-19-237-135-104-84-88-195-91-6-159-206-115-108-190-226-111...

Et de manière générale en base 24+109n :

[n][5+24n][6+31n][19+90n][19+89n][14+65n][7+34n][11+53n][16+73n][1+8n][18+83n][6+30n][14+66n][12+58n][18+84n][11+54n][21+97n][8+39n][14+64n][2+10n][4+22n][20+92n][6+28n][3+18n][23+105n][2+13n][20+94n][16+76n][17+80n][14+67n][18+82n][1+6n][7+35n][16+77n][22+104n][21+98n][13+63n][20+95n][22+100n][2n][10+48n][13+62n][15+71n][15+69n][4+21n][14+68n][23+106n][8+37n][3+16n][12+57n][13+60n][5+23n][1+7n][12+59n]===[23+108n][18+85n][17+78n][4+19n][4+20n][9+44n][16+75n][12+56n][7+36n][22+101n][5+26n][17+79n][9+43n][11+51n][5+25n][12+55n][2+12n][15+70n][9+45n][21+99n][19+87n][3+17n][17+81n][20+91n][4n][21+96n][3+15n][7+33n][6+29n][9+42n][5+27n][22+103n][16+74n][7+32n][1+5n][2+11n][10+46n][3+14n][1+9n][23+107n][13+61n][10+47n][8+38n][8+40n][19+88n][9+41n][3n][15+72n][20+93n][11+52n][10+49n][18+86n][22+102n][11+50n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 24 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 50+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 50+109n. La série est alors :

1-50-102-86-49-52-93-72-3-41-88-40-38-47-61-107-9-14-46-11-5-32-74-103-27-42-29-33-15-96-4-91-81-17-87-99-45-70-12-55-25-51-43-79-26-101-36-56-75-44-20-19-78-85===108-59-7-23-60-57-16-37-106-68-21-69-71-62-48-2-100-95-63-98-104-77-35-6-82-67-80-76-94-13-105-18-28-92-22-10-64-39-97-54-84-58-66-30-83-8-73-53-34-65-89-90-31-24

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 24+109n.

Calculons 1/109 en base : 50, 159, 268, ...(50+109n) :

1/109 en base 50 = 0,0-22-46-39-22-23-42-33-1-18-40-18-17-21-27-49-4-6-21-5-2-14-33-47-12-19-13-15-6-44-1-41-37-7-39-45-20-32-5-25-11-23-19-36-11-46-16-25-34-20-9-8-35-38===49-27-3-10-27-26-7-16-48-31-9-31-32-28-22-0-45-43-28-44-47-35-16-2-37-30-36-34-43-5-48-8-12-42-10-4-29-17-44-24-38-26-30-13-38-3-33-24-15-29-40-41-14-11...

1/109 en base 159 = 0,1-72-148-125-71-75-135-105-4-59-128-58-55-68-88-156-13-20-67-16-7-46-107-150-39-61-42-48-21-140-5-132-118-24-126-144-65-102-17-80-36-74-62-115-37-147-52-81-109-64-29-27-113-123===157-86-10-33-87-83-23-53-154-99-30-100-103-90-70-2-145-138-91-142-151-112-51-8-119-97-116-110-137-18-153-26-40-134-32-14-93-56-141-78-122-84-96-43-121-11-106-77-49-94-129-131-45-35...

1/109 en base 268 = 0,2-122-250-211-120-127-228-177-7-100-216-98-93-115-149-263-22-34-113-27-12-78-181-253-66-103-71-81-36-236-9-223-199-41-213-243-110-172-29-135-61-125-105-194-63-248-88-137-184-108-49-46-191-208===265-145-17-56-147-140-39-90-260-167-51-169-174-152-118-4-245-233-154-240-255-189-86-14-201-164-196-186-231-31-258-44-68-226-54-24-157-95-238-132-206-142-162-73-204-19-179-130-83-159-218-221-76-59...

Et de manière générale en base 50+109n :

[n][22+50n][46+102n][39+86n][22+49n][23+52n][42+93n][33+72n][1+3n][18+41n][40+88n][18+40n][17+38n][21+47n][27+61n][49+107n][4+9n][6+14n][21+46n][5+11n][2+5n][14+32n][33+74n][47+103n][12+27n][19+42n][13+29n][15+33n][6+15n][44+96n][1+4n][41+91n][37+81n][7+17n][39+87n][45+99n][20+45n][32+70n][5+12n][25+55n][11+25n][23+51n][19+43n][36+79n][11+26n][46+101n][16+36n][25+56n][34+75n][20+44n][9+20n][8+19n][35+78n][38+85n]===[49+108n][27+59n][3+7n][10+23n][27+60n][26+57n][7+16n][16+37n][48+106n][31+68n][9+21n][31+69n][32+71n][28+62n][22+48n][2n][45+100n][43+95n][28+63n][44+98n][47+104n][35+77n][16+35n][2+6n][37+82n][30+67n][36+80n][34+76n][43+94n][5+13n][48+105n][8+18n][12+28n][42+92n][10+22n][4+10n][29+64n][17+39n][44+97n][24+54n][38+84n][26+58n][30+66n][13+30n][38+83n][3+8n][33+73n][24+53n][15+34n][29+65n][40+89n][41+90n][14+31n][11+24n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 50 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 24+109n.

Constatons que 24x50 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109