Calcul de 1/109 en base 30+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 30+109n se regroupent elles en cette série ?

1-30-28-77-21-85-43-91-5-41-31-58-105-98-106-19-25-96-46-72-89-54-94-95-16-44-12-33-9-52-34-39-80-2-60-56-45-42-61-86-73-10-82-62-7-101-87-103-38-50-83-92-35-69===108-79-81-32-88-24-66-18-104-68-78-51-4-11-3-90-84-13-63-37-20-55-15-14-93-65-97-76-100-57-75-70-29-107-49-53-64-67-48-23-36-99-27-47-102-8-22-6-71-59-26-17-74-40

Calculons 1/109 en base 30+109n (30, 139, 248, ...) :

1/109 en base 30 = 0,0-8-7-21-5-23-11-25-1-11-8-15-28-26-29-5-6-26-12-19-24-14-25-26-4-12-3-9-2-14-9-10-22-0-16-15-12-11-16-23-20-2-22-17-1-27-23-28-10-13-22-25-9-18===29-21-22-8-24-6-18-4-28-18-21-14-1-3-0-24-23-3-17-10-5-15-4-3-25-17-26-20-27-15-20-19-7-29-13-14-17-18-13-6-9-27-7-12-28-2-6-1-19-16-7-4-20-11...

1/109 en base 139 = 0,1-38-35-98-26-108-54-116-6-52-39-73-133-124-135-24-31-122-58-91-113-68-119-121-20-56-15-42-11-66-43-49-102-2-76-71-57-53-77-109-93-12-104-79-8-128-110-131-48-63-105-117-44-87===137-100-103-40-112-30-84-22-132-86-99-65-5-14-3-114-107-16-80-47-25-70-19-17-118-82-123-96-127-72-95-89-36-136-62-67-81-85-61-29-45-126-34-59-130-10-28-7-90-75-33-21-94-51...

1/109 en base 248 = 0,2-68-63-175-47-193-97-207-11-93-70-131-238-222-241-43-56-218-104-163-202-122-213-216-36-100-27-75-20-118-77-88-182-4-136-127-102-95-138-195-166-22-186-141-15-229-197-234-86-113-188-209-79-156===245-179-184-72-200-54-150-40-236-154-177-116-9-25-6-204-191-29-143-84-45-125-34-31-211-147-220-172-227-129-170-159-65-243-111-120-145-152-109-52-81-225-61-106-232-18-50-13-161-134-59-38-168-91...

Et de manière générale en base 30+109n :

[n][8+30n][7+28n][21+77n][5+21n][23+85n][11+43n][25+91n][1+5n][11+41n][8+31n][15+58n][28+105n][26+98n][29+106n][5+19n][6+25n][26+96n][12+46n][19+72n][24+89n][14+54n][25+94n][26+95n][4+16n][12+44n][3+12n][9+33n][2+9n][14+52n][9+34n][10+39n][22+80n][2n][16+60n][15+56n][12+45n][11+42n][16+61n][23+86n][20+73n][2+10n][22+82n][17+62n][1+7n][27+101n][23+87n][28+103n][10+38n][13+50n][22+83n][25+92n][9+35n][18+69n]===[29+108n][21+79n][22+81n][8+32n][24+88n][6+24n][18+66n][4+18n][28+104n][18+68n][21+78n][14+51n][1+4n][3+11n][3n][24+90n][23+84n][3+13n][17+63n][10+37n][5+20n][15+55n][4+15n][3+14n][25+93n][17+65n][26+97n][20+76n][27+100n][15+57n][20+75n][19+70n][7+29n][29+107n][13+49n][14+53n][17+64n][18+67n][13+48n][6+23n][9+36n][27+99n][7+27n][12+47n][28+102n][2+8n][6+22n][1+6n][19+71n][16+59n][7+26n][4+17n][20+74n][11+40n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 30 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 40+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 40+109n. La série est alors :

1-40-74-17-26-59-71-6-22-8-102-47-27-99-36-23-48-67-64-53-49-107-29-70-75-57-100-76-97-65-93-14-15-55-20-37-63-13-84-90-3-11-4-51-78-68-104-18-66-24-88-32-81-79===108-69-35-92-83-50-38-103-87-101-7-62-82-10-73-86-61-42-45-56-60-2-80-39-34-52-9-33-12-44-16-95-94-54-89-72-46-96-25-19-106-98-105-58-31-41-5-91-43-85-21-77-28-30

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 30+109n.

Calculons 1/109 en base : 40, 149, 258, ...(40+109n) :

1/109 en base 40 = 0,0-14-27-6-9-21-26-2-8-2-37-17-9-36-13-8-17-24-23-19-17-39-10-25-27-20-36-27-35-23-34-5-5-20-7-13-23-4-30-33-1-4-1-18-28-24-38-6-24-8-32-11-29-28===39-25-12-33-30-18-13-37-31-37-2-22-30-3-26-31-22-15-16-20-22-0-29-14-12-19-3-12-4-16-5-34-34-19-32-26-16-35-9-6-38-35-38-21-11-15-1-33-15-31-7-28-10-11...

1/109 en base 149 = 0,1-54-101-23-35-80-97-8-30-10-139-64-36-135-49-31-65-91-87-72-66-146-39-95-102-77-136-103-132-88-127-19-20-75-27-50-86-17-114-123-4-15-5-69-106-92-142-24-90-32-120-43-110-107===147-94-47-125-113-68-51-140-118-138-9-84-112-13-99-117-83-57-61-76-82-2-109-53-46-71-12-45-16-60-21-129-128-73-121-98-62-131-34-25-144-133-143-79-42-56-6-124-58-116-28-105-38-41...

1/109 en base 258 = 0,2-94-175-40-61-139-168-14-52-18-241-111-63-234-85-54-113-158-151-125-115-253-68-165-177-134-236-179-229-153-220-33-35-130-47-87-149-30-198-213-7-26-9-120-184-160-246-42-156-56-208-75-191-186===255-163-82-217-196-118-89-243-205-239-16-146-194-23-172-203-144-99-106-132-142-4-189-92-80-123-21-78-28-104-37-224-222-127-210-170-108-227-59-44-250-231-248-137-73-97-11-215-101-201-49-182-66-71...

Et de manière générale en base 40+109n :

[n][14+40n][27+74n][6+17n][9+26n][21+59n][26+71n][2+6n][8+22n][2+8n][37+102n][17+47n][9+27n][36+99n][13+36n][8+23n][17+48n][24+67n][23+64n][19+53n][17+49n][39+107n][10+29n][25+70n][27+75n][20+57n][36+100n][27+76n][35+97n][23+65n][34+93n][5+14n][5+15n][20+55n][7+20n][13+37n][23+63n][4+13n][30+84n][33+90n][1+3n][4+11n][1+4n][18+51n][28+78n][24+68n][38+104n][6+18n][24+66n][8+24n][32+88n][11+32n][29+81n][28+79n]===[39+108n][25+69n][12+35n][33+92n][30+83n][18+50n][13+38n][37+103n][31+87n][37+101n][2+7n][22+62n][30+82n][3+10n][26+73n][31+86n][22+61n][15+42n][16+45n][20+56n][22+60n][2n][29+80n][14+39n][12+34n][19+52n][3+9n][12+33n][4+12n][16+44n][5+16n][34+95n][34+94n][19+54n][32+89n][26+72n][16+46n][35+96n][9+25n][6+19n][38+106n][35+98n][38+105n][21+58n][11+31n][15+41n][1+5n][33+91n][15+43n][31+85n][7+21n][28+77n][10+28n][11+30n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 40 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 30+109n.

Constatons que 30x40 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109