Calcul de 1/109 en base 37+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 37+109n se regroupent elles en cette série ?

1-37-61-77-15-10-43-65-7-41-100-103-105-70-83-19-49-69-46-67-81-54-36-24-16-47-104-33-22-51-34-59-3-2-74-13-45-30-20-86-21-14-82-91-97-101-31-57-38-98-29-92-25-53===108-72-48-32-94-99-66-44-102-68-9-6-4-39-26-90-60-40-63-42-28-55-73-85-93-62-5-76-87-58-75-50-106-107-35-96-64-79-89-23-88-95-27-18-12-8-78-52-71-11-80-17-84-56

Calculons 1/109 en base 37+109n (37, 146, 255, ...) :

1/109 en base 37 = 0,0-12-20-26-5-3-14-22-2-13-33-34-35-23-28-6-16-23-15-22-27-18-12-8-5-15-35-11-7-17-11-20-1-0-25-4-15-10-6-29-7-4-27-30-32-34-10-19-12-33-9-31-8-17===36-24-16-10-31-33-22-14-34-23-3-2-1-13-8-30-20-13-21-14-9-18-24-28-31-21-1-25-29-19-25-16-35-36-11-32-21-26-30-7-29-32-9-6-4-2-26-17-24-3-27-5-28-19...

1/109 en base 146 = 0,1-49-81-103-20-13-57-87-9-54-133-137-140-93-111-25-65-92-61-89-108-72-48-32-21-62-139-44-29-68-45-79-4-2-99-17-60-40-26-115-28-18-109-121-129-135-41-76-50-131-38-123-33-70===144-96-64-42-125-132-88-58-136-91-12-8-5-52-34-120-80-53-84-56-37-73-97-113-124-83-6-101-116-77-100-66-141-143-46-128-85-105-119-30-117-127-36-24-16-10-104-69-95-14-107-22-112-75...

1/109 en base 255 = 0,2-86-142-180-35-23-100-152-16-95-233-240-245-163-194-44-114-161-107-156-189-126-84-56-37-109-243-77-51-119-79-138-7-4-173-30-105-70-46-201-49-32-191-212-226-236-72-133-88-229-67-215-58-123===252-168-112-74-219-231-154-102-238-159-21-14-9-91-60-210-140-93-147-98-65-128-170-198-217-145-11-177-203-135-175-116-247-250-81-224-149-184-208-53-205-222-63-42-28-18-182-121-166-25-187-39-196-131...

Et de manière générale en base 37+109n :

[n][12+37n][20+61n][26+77n][5+15n][3+10n][14+43n][22+65n][2+7n][13+41n][33+100n][34+103n][35+105n][23+70n][28+83n][6+19n][16+49n][23+69n][15+46n][22+67n][27+81n][18+54n][12+36n][8+24n][5+16n][15+47n][35+104n][11+33n][7+22n][17+51n][11+34n][20+59n][1+3n][2n][25+74n][4+13n][15+45n][10+30n][6+20n][29+86n][7+21n][4+14n][27+82n][30+91n][32+97n][34+101n][10+31n][19+57n][12+38n][33+98n][9+29n][31+92n][8+25n][17+53n]===[36+108n][24+72n][16+48n][10+32n][31+94n][33+99n][22+66n][14+44n][34+102n][23+68n][3+9n][2+6n][1+4n][13+39n][8+26n][30+90n][20+60n][13+40n][21+63n][14+42n][9+28n][18+55n][24+73n][28+85n][31+93n][21+62n][1+5n][25+76n][29+87n][19+58n][25+75n][16+50n][35+106n][36+107n][11+35n][32+96n][21+64n][26+79n][30+89n][7+23n][29+88n][32+95n][9+27n][6+18n][4+12n][2+8n][26+78n][17+52n][24+71n][3+11n][27+80n][5+17n][28+84n][19+56n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 37 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 56+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 56+109n. La série est alors :

1-56-84-17-80-11-71-52-78-8-12-18-27-95-88-23-89-79-64-96-35-107-106-50-75-58-87-76-5-62-93-85-73-55-28-42-63-40-60-90-26-39-4-6-9-68-102-44-66-99-94-32-48-72===108-53-25-92-29-98-38-57-31-101-97-91-82-14-21-86-20-30-45-13-74-2-3-59-34-51-22-33-104-47-16-24-36-54-81-67-46-69-49-19-83-70-105-103-100-41-7-65-43-10-15-77-61-37

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 37+109n.

Calculons 1/109 en base : 56, 165, 274, ...(56+109n) :

1/109 en base 56 = 0,0-28-43-8-41-5-36-26-40-4-6-9-13-48-45-11-45-40-32-49-17-54-54-25-38-29-44-39-2-31-47-43-37-28-14-21-32-20-30-46-13-20-2-3-4-34-52-22-33-50-48-16-24-36===55-27-12-47-14-50-19-29-15-51-49-46-42-7-10-44-10-15-23-6-38-1-1-30-17-26-11-16-53-24-8-12-18-27-41-34-23-35-25-9-42-35-53-52-51-21-3-33-22-5-7-39-31-19...

1/109 en base 165 = 0,1-84-127-25-121-16-107-78-118-12-18-27-40-143-133-34-134-119-96-145-52-161-160-75-113-87-131-115-7-93-140-128-110-83-42-63-95-60-90-136-39-59-6-9-13-102-154-66-99-149-142-48-72-108===163-80-37-139-43-148-57-86-46-152-146-137-124-21-31-130-30-45-68-19-112-3-4-89-51-77-33-49-157-71-24-36-54-81-122-101-69-104-74-28-125-105-158-155-151-62-10-98-65-15-22-116-92-56...

1/109 en base 274 = 0,2-140-211-42-201-27-178-130-196-20-30-45-67-238-221-57-223-198-160-241-87-268-266-125-188-145-218-191-12-155-233-213-183-138-70-105-158-100-150-226-65-98-10-15-22-170-256-110-165-248-236-80-120-180===271-133-62-231-72-246-95-143-77-253-243-228-206-35-52-216-50-75-113-32-186-5-7-148-85-128-55-82-261-118-40-60-90-135-203-168-115-173-123-47-208-175-263-258-251-103-17-163-108-25-37-193-153-93...

Et de manière générale en base 56+109n :

[n][28+56n][43+84n][8+17n][41+80n][5+11n][36+71n][26+52n][40+78n][4+8n][6+12n][9+18n][13+27n][48+95n][45+88n][11+23n][45+89n][40+79n][32+64n][49+96n][17+35n][54+107n][54+106n][25+50n][38+75n][29+58n][44+87n][39+76n][2+5n][31+62n][47+93n][43+85n][37+73n][28+55n][14+28n][21+42n][32+63n][20+40n][30+60n][46+90n][13+26n][20+39n][2+4n][3+6n][4+9n][34+68n][52+102n][22+44n][33+66n][50+99n][48+94n][16+32n][24+48n][36+72n]===[55+108n][27+53n][12+25n][47+92n][14+29n][50+98n][19+38n][29+57n][15+31n][51+101n][49+97n][46+91n][42+82n][7+14n][10+21n][44+86n][10+20n][15+30n][23+45n][6+13n][38+74n][1+2n][1+3n][30+59n][17+34n][26+51n][11+22n][16+33n][53+104n][24+47n][8+16n][12+24n][18+36n][27+54n][41+81n][34+67n][23+46n][35+69n][25+49n][9+19n][42+83n][35+70n][53+105n][52+103n][51+100n][21+41n][3+7n][33+65n][22+43n][5+10n][7+15n][39+77n][31+61n][19+37n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 56 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 37+109n.

Constatons que 37x56 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109