Calcul de 1/109 en base 44+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 44+109n se regroupent elles en cette série ?

1-44-83-55-22-96-82-11-48-41-60-24-75-30-12-92-15-6-46-62-3-23-31-56-66-70-28-33-35-14-71-72-7-90-36-58-45-18-29-77-9-69-93-59-89-101-84-99-105-42-104-107-21-52===108-65-26-54-87-13-27-98-61-68-49-85-34-79-97-17-94-103-63-47-106-86-78-53-43-39-81-76-74-95-38-37-102-19-73-51-64-91-80-32-100-40-16-50-20-8-25-10-4-67-5-2-88-57

Calculons 1/109 en base 44+109n (44, 153, 262, ...) :

1/109 en base 44 = 0,0-17-33-22-8-38-33-4-19-16-24-9-30-12-4-37-6-2-18-25-1-9-12-22-26-28-11-13-14-5-28-29-2-36-14-23-18-7-11-31-3-27-37-23-35-40-33-39-42-16-41-43-8-20===43-26-10-21-35-5-10-39-24-27-19-34-13-31-39-6-37-41-25-18-42-34-31-21-17-15-32-30-29-38-15-14-41-7-29-20-25-36-32-12-40-16-6-20-8-3-10-4-1-27-2-0-35-23...

1/109 en base 153 = 0,1-61-116-77-30-134-115-15-67-57-84-33-105-42-16-129-21-8-64-87-4-32-43-78-92-98-39-46-49-19-99-101-9-126-50-81-63-25-40-108-12-96-130-82-124-141-117-138-147-58-145-150-29-72===151-91-36-75-122-18-37-137-85-95-68-119-47-110-136-23-131-144-88-65-148-120-109-74-60-54-113-106-103-133-53-51-143-26-102-71-89-127-112-44-140-56-22-70-28-11-35-14-5-94-7-2-123-80...

1/109 en base 262 = 0,2-105-199-132-52-230-197-26-115-98-144-57-180-72-28-221-36-14-110-149-7-55-74-134-158-168-67-79-84-33-170-173-16-216-86-139-108-43-69-185-21-165-223-141-213-242-201-237-252-100-249-257-50-124===259-156-62-129-209-31-64-235-146-163-117-204-81-189-233-40-225-247-151-112-254-206-187-127-103-93-194-182-177-228-91-88-245-45-175-122-153-218-192-76-240-96-38-120-48-19-60-24-9-161-12-4-211-137...

Et de manière générale en base 44+109n :

[n][17+44n][33+83n][22+55n][8+22n][38+96n][33+82n][4+11n][19+48n][16+41n][24+60n][9+24n][30+75n][12+30n][4+12n][37+92n][6+15n][2+6n][18+46n][25+62n][1+3n][9+23n][12+31n][22+56n][26+66n][28+70n][11+28n][13+33n][14+35n][5+14n][28+71n][29+72n][2+7n][36+90n][14+36n][23+58n][18+45n][7+18n][11+29n][31+77n][3+9n][27+69n][37+93n][23+59n][35+89n][40+101n][33+84n][39+99n][42+105n][16+42n][41+104n][43+107n][8+21n][20+52n]===[43+108n][26+65n][10+26n][21+54n][35+87n][5+13n][10+27n][39+98n][24+61n][27+68n][19+49n][34+85n][13+34n][31+79n][39+97n][6+17n][37+94n][41+103n][25+63n][18+47n][42+106n][34+86n][31+78n][21+53n][17+43n][15+39n][32+81n][30+76n][29+74n][38+95n][15+38n][14+37n][41+102n][7+19n][29+73n][20+51n][25+64n][36+91n][32+80n][12+32n][40+100n][16+40n][6+16n][20+50n][8+20n][3+8n][10+25n][4+10n][1+4n][27+67n][2+5n][2n][35+88n][23+57n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 44 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 57+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 57+109n. La série est alors :

1-57-88-2-5-67-4-10-25-8-20-50-16-40-100-32-80-91-64-51-73-19-102-37-38-95-74-76-81-39-43-53-78-86-106-47-63-103-94-17-97-79-34-85-49-68-61-98-27-13-87-54-26-65===108-52-21-107-104-42-105-99-84-101-89-59-93-69-9-77-29-18-45-58-36-90-7-72-71-14-35-33-28-70-66-56-31-23-3-62-46-6-15-92-12-30-75-24-60-41-48-11-82-96-22-55-83-44

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 44+109n.

Calculons 1/109 en base : 57, 166, 275, ...(57+109n) :

1/109 en base 57 = 0,0-29-46-1-2-35-2-5-13-4-10-26-8-20-52-16-41-47-33-26-38-9-53-19-19-49-38-39-42-20-22-27-40-44-55-24-32-53-49-8-50-41-17-44-25-35-31-51-14-6-45-28-13-33===56-27-10-55-54-21-54-51-43-52-46-30-48-36-4-40-15-9-23-30-18-47-3-37-37-7-18-17-14-36-34-29-16-12-1-32-24-3-7-48-6-15-39-12-31-21-25-5-42-50-11-28-43-23...

1/109 en base 166 = 0,1-86-134-3-7-102-6-15-38-12-30-76-24-60-152-48-121-138-97-77-111-28-155-56-57-144-112-115-123-59-65-80-118-130-161-71-95-156-143-25-147-120-51-129-74-103-92-149-41-19-132-82-39-98===164-79-31-162-158-63-159-150-127-153-135-89-141-105-13-117-44-27-68-88-54-137-10-109-108-21-53-50-42-106-100-85-47-35-4-94-70-9-22-140-18-45-114-36-91-62-73-16-124-146-33-83-126-67...

1/109 en base 275 = 0,2-143-222-5-12-169-10-25-63-20-50-126-40-100-252-80-201-229-161-128-184-47-257-93-95-239-186-191-204-98-108-133-196-216-267-118-158-259-237-42-244-199-85-214-123-171-153-247-68-32-219-136-65-163===272-131-52-269-262-105-264-249-211-254-224-148-234-174-22-194-73-45-113-146-90-227-17-181-179-35-88-83-70-176-166-141-78-58-7-156-116-15-37-232-30-75-189-60-151-103-121-27-206-242-55-138-209-111...

Et de manière générale en base 57+109n :

[n][29+57n][46+88n][1+2n][2+5n][35+67n][2+4n][5+10n][13+25n][4+8n][10+20n][26+50n][8+16n][20+40n][52+100n][16+32n][41+80n][47+91n][33+64n][26+51n][38+73n][9+19n][53+102n][19+37n][19+38n][49+95n][38+74n][39+76n][42+81n][20+39n][22+43n][27+53n][40+78n][44+86n][55+106n][24+47n][32+63n][53+103n][49+94n][8+17n][50+97n][41+79n][17+34n][44+85n][25+49n][35+68n][31+61n][51+98n][14+27n][6+13n][45+87n][28+54n][13+26n][33+65n]===[56+108n][27+52n][10+21n][55+107n][54+104n][21+42n][54+105n][51+99n][43+84n][52+101n][46+89n][30+59n][48+93n][36+69n][4+9n][40+77n][15+29n][9+18n][23+45n][30+58n][18+36n][47+90n][3+7n][37+72n][37+71n][7+14n][18+35n][17+33n][14+28n][36+70n][34+66n][29+56n][16+31n][12+23n][1+3n][32+62n][24+46n][3+6n][7+15n][48+92n][6+12n][15+30n][39+75n][12+24n][31+60n][21+41n][25+48n][5+11n][42+82n][50+96n][11+22n][28+55n][43+83n][23+44n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 57 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 44+109n.

Constatons que 44x57 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109