Calcul de 1/109 en base 47+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 47+109n se regroupent elles en cette série ?

1-47-29-55-78-69-82-39-89-41-74-99-75-37-104-92-73-52-46-91-26-23-100-13-66-50-61-33-25-85-71-67-97-90-88-103-45-44-106-77-22-53-93-11-81-101-60-95-105-30-102-107-15-51===108-62-80-54-31-40-27-70-20-68-35-10-34-72-5-17-36-57-63-18-83-86-9-96-43-59-48-76-84-24-38-42-12-19-21-6-64-65-3-32-87-56-16-98-28-8-49-14-4-79-7-2-94-58

Calculons 1/109 en base 47+109n (47, 156, 265, ...) :

1/109 en base 47 = 0,0-20-12-23-33-29-35-16-38-17-31-42-32-15-44-39-31-22-19-39-11-9-43-5-28-21-26-14-10-36-30-28-41-38-37-44-19-18-45-33-9-22-40-4-34-43-25-40-45-12-43-46-6-21===46-26-34-23-13-17-11-30-8-29-15-4-14-31-2-7-15-24-27-7-35-37-3-41-18-25-20-32-36-10-16-18-5-8-9-2-27-28-1-13-37-24-6-42-12-3-21-6-1-34-3-0-40-25...

1/109 en base 156 = 0,1-67-41-78-111-98-117-55-127-58-105-141-107-52-148-131-104-74-65-130-37-32-143-18-94-71-87-47-35-121-101-95-138-128-125-147-64-62-151-110-31-75-133-15-115-144-85-135-150-42-145-153-21-72===154-88-114-77-44-57-38-100-28-97-50-14-48-103-7-24-51-81-90-25-118-123-12-137-61-84-68-108-120-34-54-60-17-27-30-8-91-93-4-45-124-80-22-140-40-11-70-20-5-113-10-2-134-83...

1/109 en base 265 = 0,2-114-70-133-189-167-199-94-216-99-179-240-182-89-252-223-177-126-111-221-63-55-243-31-160-121-148-80-60-206-172-162-235-218-213-250-109-106-257-187-53-128-226-26-196-245-145-230-255-72-247-260-36-123===262-150-194-131-75-97-65-170-48-165-85-24-82-175-12-41-87-138-153-43-201-209-21-233-104-143-116-184-204-58-92-102-29-46-51-14-155-158-7-77-211-136-38-238-68-19-119-34-9-192-17-4-228-141...

Et de manière générale en base 47+109n :

[n][20+47n][12+29n][23+55n][33+78n][29+69n][35+82n][16+39n][38+89n][17+41n][31+74n][42+99n][32+75n][15+37n][44+104n][39+92n][31+73n][22+52n][19+46n][39+91n][11+26n][9+23n][43+100n][5+13n][28+66n][21+50n][26+61n][14+33n][10+25n][36+85n][30+71n][28+67n][41+97n][38+90n][37+88n][44+103n][19+45n][18+44n][45+106n][33+77n][9+22n][22+53n][40+93n][4+11n][34+81n][43+101n][25+60n][40+95n][45+105n][12+30n][43+102n][46+107n][6+15n][21+51n]===[46+108n][26+62n][34+80n][23+54n][13+31n][17+40n][11+27n][30+70n][8+20n][29+68n][15+35n][4+10n][14+34n][31+72n][2+5n][7+17n][15+36n][24+57n][27+63n][7+18n][35+83n][37+86n][3+9n][41+96n][18+43n][25+59n][20+48n][32+76n][36+84n][10+24n][16+38n][18+42n][5+12n][8+19n][9+21n][2+6n][27+64n][28+65n][1+3n][13+32n][37+87n][24+56n][6+16n][42+98n][12+28n][3+8n][21+49n][6+14n][1+4n][34+79n][3+7n][2n][40+94n][25+58n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 47 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 58+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 58+109n. La série est alors :

1-58-94-2-7-79-4-14-49-8-28-98-16-56-87-32-3-65-64-6-21-19-12-42-38-24-84-76-48-59-43-96-9-86-83-18-63-57-36-17-5-72-34-10-35-68-20-70-27-40-31-54-80-62===108-51-15-107-102-30-105-95-60-101-81-11-93-53-22-77-106-44-45-103-88-90-97-67-71-85-25-33-61-50-66-13-100-23-26-91-46-52-73-92-104-37-75-99-74-41-89-39-82-69-78-55-29-47

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 47+109n.

Calculons 1/109 en base : 58, 167, 276, ...(58+109n) :

1/109 en base 58 = 0,0-30-50-1-3-42-2-7-26-4-14-52-8-29-46-17-1-34-34-3-11-10-6-22-20-12-44-40-25-31-22-51-4-45-44-9-33-30-19-9-2-38-18-5-18-36-10-37-14-21-16-28-42-32===57-27-7-56-54-15-55-50-31-53-43-5-49-28-11-40-56-23-23-54-46-47-51-35-37-45-13-17-32-26-35-6-53-12-13-48-24-27-38-48-55-19-39-52-39-21-47-20-43-36-41-29-15-25...

1/109 en base 167 = 0,1-88-144-3-10-121-6-21-75-12-42-150-24-85-133-49-4-99-98-9-32-29-18-64-58-36-128-116-73-90-65-147-13-131-127-27-96-87-55-26-7-110-52-15-53-104-30-107-41-61-47-82-122-94===165-78-22-163-156-45-160-145-91-154-124-16-142-81-33-117-162-67-68-157-134-137-148-102-108-130-38-50-93-76-101-19-153-35-39-139-70-79-111-140-159-56-114-151-113-62-136-59-125-105-119-84-44-72...

1/109 en base 276 = 0,2-146-238-5-17-200-10-35-124-20-70-248-40-141-220-81-7-164-162-15-53-48-30-106-96-60-212-192-121-149-108-243-22-217-210-45-159-144-91-43-12-182-86-25-88-172-50-177-68-101-78-136-202-156===273-129-37-270-258-75-265-240-151-255-205-27-235-134-55-194-268-111-113-260-222-227-245-169-179-215-63-83-154-126-167-32-253-58-65-230-116-131-184-232-263-93-189-250-187-103-225-98-207-174-197-139-73-119...

Et de manière générale en base 58+109n :

[n][30+58n][50+94n][1+2n][3+7n][42+79n][2+4n][7+14n][26+49n][4+8n][14+28n][52+98n][8+16n][29+56n][46+87n][17+32n][1+3n][34+65n][34+64n][3+6n][11+21n][10+19n][6+12n][22+42n][20+38n][12+24n][44+84n][40+76n][25+48n][31+59n][22+43n][51+96n][4+9n][45+86n][44+83n][9+18n][33+63n][30+57n][19+36n][9+17n][2+5n][38+72n][18+34n][5+10n][18+35n][36+68n][10+20n][37+70n][14+27n][21+40n][16+31n][28+54n][42+80n][32+62n]===[57+108n][27+51n][7+15n][56+107n][54+102n][15+30n][55+105n][50+95n][31+60n][53+101n][43+81n][5+11n][49+93n][28+53n][11+22n][40+77n][56+106n][23+44n][23+45n][54+103n][46+88n][47+90n][51+97n][35+67n][37+71n][45+85n][13+25n][17+33n][32+61n][26+50n][35+66n][6+13n][53+100n][12+23n][13+26n][48+91n][24+46n][27+52n][38+73n][48+92n][55+104n][19+37n][39+75n][52+99n][39+74n][21+41n][47+89n][20+39n][43+82n][36+69n][41+78n][29+55n][15+29n][25+47n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 58 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 47+109n.

Constatons que 47x58 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109