Calcul de 1/109 en base 51+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 51+109n se regroupent elles en cette série ?

1-51-94-107-7-30-4-95-49-101-28-11-16-53-87-77-3-44-64-103-21-90-12-67-38-85-84-33-48-50-43-13-9-23-83-91-63-52-36-92-5-37-34-99-35-41-20-39-27-69-31-55-80-47===108-58-15-2-102-79-105-14-60-8-81-98-93-56-22-32-106-65-45-6-88-19-97-42-71-24-25-76-61-59-66-96-100-86-26-18-46-57-73-17-104-72-75-10-74-68-89-70-82-40-78-54-29-62

Calculons 1/109 en base 51+109n (51, 160, 269, ...) :

1/109 en base 51 = 0,0-23-43-50-3-14-1-44-22-47-13-5-7-24-40-36-1-20-29-48-9-42-5-31-17-39-39-15-22-23-20-6-4-10-38-42-29-24-16-43-2-17-15-46-16-19-9-18-12-32-14-25-37-21===50-27-7-0-47-36-49-6-28-3-37-45-43-26-10-14-49-30-21-2-41-8-45-19-33-11-11-35-28-27-30-44-46-40-12-8-21-26-34-7-48-33-35-4-34-31-41-32-38-18-36-25-13-29...

1/109 en base 160 = 0,1-74-137-157-10-44-5-139-71-148-41-16-23-77-127-113-4-64-93-151-30-132-17-98-55-124-123-48-70-73-63-19-13-33-121-133-92-76-52-135-7-54-49-145-51-60-29-57-39-101-45-80-117-68===158-85-22-2-149-115-154-20-88-11-118-143-136-82-32-46-155-95-66-8-129-27-142-61-104-35-36-111-89-86-96-140-146-126-38-26-67-83-107-24-152-105-110-14-108-99-130-102-120-58-114-79-42-91...

1/109 en base 269 = 0,2-125-231-264-17-74-9-234-120-249-69-27-39-130-214-190-7-108-157-254-51-222-29-165-93-209-207-81-118-123-106-32-22-56-204-224-155-128-88-227-12-91-83-244-86-101-49-96-66-170-76-135-197-115===266-143-37-4-251-194-259-34-148-19-199-241-229-138-54-78-261-160-111-14-217-46-239-103-175-59-61-187-150-145-162-236-246-212-64-44-113-140-180-41-256-177-185-24-182-167-219-172-202-98-192-133-71-153...

Et de manière générale en base 51+109n :

[n][23+51n][43+94n][50+107n][3+7n][14+30n][1+4n][44+95n][22+49n][47+101n][13+28n][5+11n][7+16n][24+53n][40+87n][36+77n][1+3n][20+44n][29+64n][48+103n][9+21n][42+90n][5+12n][31+67n][17+38n][39+85n][39+84n][15+33n][22+48n][23+50n][20+43n][6+13n][4+9n][10+23n][38+83n][42+91n][29+63n][24+52n][16+36n][43+92n][2+5n][17+37n][15+34n][46+99n][16+35n][19+41n][9+20n][18+39n][12+27n][32+69n][14+31n][25+55n][37+80n][21+47n]===[50+108n][27+58n][7+15n][2n][47+102n][36+79n][49+105n][6+14n][28+60n][3+8n][37+81n][45+98n][43+93n][26+56n][10+22n][14+32n][49+106n][30+65n][21+45n][2+6n][41+88n][8+19n][45+97n][19+42n][33+71n][11+24n][11+25n][35+76n][28+61n][27+59n][30+66n][44+96n][46+100n][40+86n][12+26n][8+18n][21+46n][26+57n][34+73n][7+17n][48+104n][33+72n][35+75n][4+10n][34+74n][31+68n][41+89n][32+70n][38+82n][18+40n][36+78n][25+54n][13+29n][29+62n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 51 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 62+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 62+109n. La série est alors :

1-62-29-54-78-40-82-70-89-68-74-10-75-72-104-17-73-57-46-18-26-86-100-96-66-59-61-76-25-24-71-42-97-19-88-6-45-65-106-32-22-56-93-98-81-8-60-14-105-79-102-2-15-58===108-47-80-55-31-69-27-39-20-41-35-99-34-37-5-92-36-52-63-91-83-23-9-13-43-50-48-33-84-85-38-67-12-90-21-103-64-44-3-77-87-53-16-11-28-101-49-95-4-30-7-107-94-51

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 51+109n.

Calculons 1/109 en base : 62, 171, 280, ...(62+109n) :

1/109 en base 62 = 0,0-35-16-30-44-22-46-39-50-38-42-5-42-40-59-9-41-32-26-10-14-48-56-54-37-33-34-43-14-13-40-23-55-10-50-3-25-36-60-18-12-31-52-55-46-4-34-7-59-44-58-1-8-32===61-26-45-31-17-39-15-22-11-23-19-56-19-21-2-52-20-29-35-51-47-13-5-7-24-28-27-18-47-48-21-38-6-51-11-58-36-25-1-43-49-30-9-6-15-57-27-54-2-17-3-60-53-29...

1/109 en base 171 = 0,1-97-45-84-122-62-128-109-139-106-116-15-117-112-163-26-114-89-72-28-40-134-156-150-103-92-95-119-39-37-111-65-152-29-138-9-70-101-166-50-34-87-145-153-127-12-94-21-164-123-160-3-23-90===169-73-125-86-48-108-42-61-31-64-54-155-53-58-7-144-56-81-98-142-130-36-14-20-67-78-75-51-131-133-59-105-18-141-32-161-100-69-4-120-136-83-25-17-43-158-76-149-6-47-10-167-147-80...

1/109 en base 280 = 0,2-159-74-138-200-102-210-179-228-174-190-25-192-184-267-43-187-146-118-46-66-220-256-246-169-151-156-195-64-61-182-107-249-48-226-15-115-166-272-82-56-143-238-251-208-20-154-35-269-202-262-5-38-148===277-120-205-141-79-177-69-100-51-105-89-254-87-95-12-236-92-133-161-233-213-59-23-33-110-128-123-84-215-218-97-172-30-231-53-264-164-113-7-197-223-136-41-28-71-259-125-244-10-77-17-274-241-131...

Et de manière générale en base 62+109n :

[n][35+62n][16+29n][30+54n][44+78n][22+40n][46+82n][39+70n][50+89n][38+68n][42+74n][5+10n][42+75n][40+72n][59+104n][9+17n][41+73n][32+57n][26+46n][10+18n][14+26n][48+86n][56+100n][54+96n][37+66n][33+59n][34+61n][43+76n][14+25n][13+24n][40+71n][23+42n][55+97n][10+19n][50+88n][3+6n][25+45n][36+65n][60+106n][18+32n][12+22n][31+56n][52+93n][55+98n][46+81n][4+8n][34+60n][7+14n][59+105n][44+79n][58+102n][1+2n][8+15n][32+58n]===[61+108n][26+47n][45+80n][31+55n][17+31n][39+69n][15+27n][22+39n][11+20n][23+41n][19+35n][56+99n][19+34n][21+37n][2+5n][52+92n][20+36n][29+52n][35+63n][51+91n][47+83n][13+23n][5+9n][7+13n][24+43n][28+50n][27+48n][18+33n][47+84n][48+85n][21+38n][38+67n][6+12n][51+90n][11+21n][58+103n][36+64n][25+44n][1+3n][43+77n][49+87n][30+53n][9+16n][6+11n][15+28n][57+101n][27+49n][54+95n][2+4n][17+30n][3+7n][60+107n][53+94n][29+51n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 62 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 51+109n.

Constatons que 51x62 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109