Calcul de 1/109 en base 52+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 52+109n se regroupent elles en cette série ?

1-52-88-107-5-42-4-99-25-101-20-59-16-69-100-77-80-18-64-58-73-90-102-72-38-14-74-33-81-70-43-56-78-23-106-62-63-6-94-92-97-30-34-24-49-41-61-11-27-96-87-55-26-44===108-57-21-2-104-67-105-10-84-8-89-50-93-40-9-32-29-91-45-51-36-19-7-37-71-95-35-76-28-39-66-53-31-86-3-47-46-103-15-17-12-79-75-85-60-68-48-98-82-13-22-54-83-65

Calculons 1/109 en base 52+109n (52, 161, 270, ...) :

1/109 en base 52 = 0,0-24-41-51-2-20-1-47-11-48-9-28-7-32-47-36-38-8-30-27-34-42-48-34-18-6-35-15-38-33-20-26-37-10-50-29-30-2-44-43-46-14-16-11-23-19-29-5-12-45-41-26-12-20===51-27-10-0-49-31-50-4-40-3-42-23-44-19-4-15-13-43-21-24-17-9-3-17-33-45-16-36-13-18-31-25-14-41-1-22-21-49-7-8-5-37-35-40-28-32-22-46-39-6-10-25-39-31...

1/109 en base 161 = 0,1-76-129-158-7-62-5-146-36-149-29-87-23-101-147-113-118-26-94-85-107-132-150-106-56-20-109-48-119-103-63-82-115-33-156-91-93-8-138-135-143-44-50-35-72-60-90-16-39-141-128-81-38-64===159-84-31-2-153-98-155-14-124-11-131-73-137-59-13-47-42-134-66-75-53-28-10-54-104-140-51-112-41-57-97-78-45-127-4-69-67-152-22-25-17-116-110-125-88-100-70-144-121-19-32-79-122-96...

1/109 en base 270 = 0,2-128-217-265-12-104-9-245-61-250-49-146-39-170-247-190-198-44-158-143-180-222-252-178-94-34-183-81-200-173-106-138-193-56-262-153-156-14-232-227-240-74-84-59-121-101-151-27-66-237-215-136-64-108===267-141-52-4-257-165-260-24-208-19-220-123-230-99-22-79-71-225-111-126-89-47-17-91-175-235-86-188-69-96-163-131-76-213-7-116-113-255-37-42-29-195-185-210-148-168-118-242-203-32-54-133-205-161...

Et de manière générale en base 52+109n :

[n][24+52n][41+88n][51+107n][2+5n][20+42n][1+4n][47+99n][11+25n][48+101n][9+20n][28+59n][7+16n][32+69n][47+100n][36+77n][38+80n][8+18n][30+64n][27+58n][34+73n][42+90n][48+102n][34+72n][18+38n][6+14n][35+74n][15+33n][38+81n][33+70n][20+43n][26+56n][37+78n][10+23n][50+106n][29+62n][30+63n][2+6n][44+94n][43+92n][46+97n][14+30n][16+34n][11+24n][23+49n][19+41n][29+61n][5+11n][12+27n][45+96n][41+87n][26+55n][12+26n][20+44n]===[51+108n][27+57n][10+21n][2n][49+104n][31+67n][50+105n][4+10n][40+84n][3+8n][42+89n][23+50n][44+93n][19+40n][4+9n][15+32n][13+29n][43+91n][21+45n][24+51n][17+36n][9+19n][3+7n][17+37n][33+71n][45+95n][16+35n][36+76n][13+28n][18+39n][31+66n][25+53n][14+31n][41+86n][1+3n][22+47n][21+46n][49+103n][7+15n][8+17n][5+12n][37+79n][35+75n][40+85n][28+60n][32+68n][22+48n][46+98n][39+82n][6+13n][10+22n][25+54n][39+83n][31+65n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 52 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 65+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 65+109n. La série est alors :

1-65-83-54-22-13-82-98-48-68-60-85-75-79-12-17-15-103-46-47-3-86-31-53-66-39-28-76-35-95-71-37-7-19-36-51-45-91-29-32-9-40-93-50-89-8-84-10-105-67-104-2-21-57===108-44-26-55-87-96-27-11-61-41-49-24-34-30-97-92-94-6-63-62-106-23-78-56-43-70-81-33-74-14-38-72-102-90-73-58-64-18-80-77-100-69-16-59-20-101-25-99-4-42-5-107-88-52

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 52+109n.

Calculons 1/109 en base : 65, 174, 283, ...(65+109n) :

1/109 en base 65 = 0,0-38-49-32-13-7-48-58-28-40-35-50-44-47-7-10-8-61-27-28-1-51-18-31-39-23-16-45-20-56-42-22-4-11-21-30-26-54-17-19-5-23-55-29-53-4-50-5-62-39-62-1-12-33===64-26-15-32-51-57-16-6-36-24-29-14-20-17-57-54-56-3-37-36-63-13-46-33-25-41-48-19-44-8-22-42-60-53-43-34-38-10-47-45-59-41-9-35-11-60-14-59-2-25-2-63-52-31...

1/109 en base 174 = 0,1-103-132-86-35-20-130-156-76-108-95-135-119-126-19-27-23-164-73-75-4-137-49-84-105-62-44-121-55-151-113-59-11-30-57-81-71-145-46-51-14-63-148-79-142-12-134-15-167-106-166-3-33-90===172-70-41-87-138-153-43-17-97-65-78-38-54-47-154-146-150-9-100-98-169-36-124-89-68-111-129-52-118-22-60-114-162-143-116-92-102-28-127-122-159-110-25-94-31-161-39-158-6-67-7-170-140-83...

1/109 en base 283 = 0,2-168-215-140-57-33-212-254-124-176-155-220-194-205-31-44-38-267-119-122-7-223-80-137-171-101-72-197-90-246-184-96-18-49-93-132-116-236-75-83-23-103-241-129-231-20-218-25-272-173-270-5-54-147===280-114-67-142-225-249-70-28-158-106-127-62-88-77-251-238-244-15-163-160-275-59-202-145-111-181-210-85-192-36-98-186-264-233-189-150-166-46-207-199-259-179-41-153-51-262-64-257-10-109-12-277-228-135...

Et de manière générale en base 65+109n :

[n][38+65n][49+83n][32+54n][13+22n][7+13n][48+82n][58+98n][28+48n][40+68n][35+60n][50+85n][44+75n][47+79n][7+12n][10+17n][8+15n][61+103n][27+46n][28+47n][1+3n][51+86n][18+31n][31+53n][39+66n][23+39n][16+28n][45+76n][20+35n][56+95n][42+71n][22+37n][4+7n][11+19n][21+36n][30+51n][26+45n][54+91n][17+29n][19+32n][5+9n][23+40n][55+93n][29+50n][53+89n][4+8n][50+84n][5+10n][62+105n][39+67n][62+104n][1+2n][12+21n][33+57n]===[64+108n][26+44n][15+26n][32+55n][51+87n][57+96n][16+27n][6+11n][36+61n][24+41n][29+49n][14+24n][20+34n][17+30n][57+97n][54+92n][56+94n][3+6n][37+63n][36+62n][63+106n][13+23n][46+78n][33+56n][25+43n][41+70n][48+81n][19+33n][44+74n][8+14n][22+38n][42+72n][60+102n][53+90n][43+73n][34+58n][38+64n][10+18n][47+80n][45+77n][59+100n][41+69n][9+16n][35+59n][11+20n][60+101n][14+25n][59+99n][2+4n][25+42n][2+5n][63+107n][52+88n][31+52n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 65 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 52+109n.

Constatons que 52x65 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109