Calcul de 1/109 en base 53+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 53+109n se regroupent elles en cette série ?

1-53-84-92-80-98-71-57-78-101-12-91-27-14-88-86-89-30-64-13-35-2-106-59-75-51-87-33-5-47-93-24-73-54-28-67-63-69-60-19-26-70-4-103-9-41-102-65-66-10-94-77-48-37===108-56-25-17-29-11-38-52-31-8-97-18-82-95-21-23-20-79-45-96-74-107-3-50-34-58-22-76-104-62-16-85-36-55-81-42-46-40-49-90-83-39-105-6-100-68-7-44-43-99-15-32-61-72

Calculons 1/109 en base 53+109n (53, 162, 271, ...) :

1/109 en base 53 = 0,0-25-40-44-38-47-34-27-37-49-5-44-13-6-42-41-43-14-31-6-17-0-51-28-36-24-42-16-2-22-45-11-35-26-13-32-30-33-29-9-12-34-1-50-4-19-49-31-32-4-45-37-23-17===52-27-12-8-14-5-18-25-15-3-47-8-39-46-10-11-9-38-21-46-35-52-1-24-16-28-10-36-50-30-7-41-17-26-39-20-22-19-23-43-40-18-51-2-48-33-3-21-20-48-7-15-29-35...

1/109 en base 162 = 0,1-78-124-136-118-145-105-84-115-150-17-135-40-20-130-127-132-44-95-19-52-2-157-87-111-75-129-49-7-69-138-35-108-80-41-99-93-102-89-28-38-104-5-153-13-60-151-96-98-14-139-114-71-54===160-83-37-25-43-16-56-77-46-11-144-26-121-141-31-34-29-117-66-142-109-159-4-74-50-86-32-112-154-92-23-126-53-81-120-62-68-59-72-133-123-57-156-8-148-101-10-65-63-147-22-47-90-107...

1/109 en base 271 = 0,2-131-208-228-198-243-176-141-193-251-29-226-67-34-218-213-221-74-159-32-87-4-263-146-186-126-216-82-12-116-231-59-181-134-69-166-156-171-149-47-64-174-9-256-22-101-253-161-164-24-233-191-119-91===268-139-62-42-72-27-94-129-77-19-241-44-203-236-52-57-49-196-111-238-183-266-7-124-84-144-54-188-258-154-39-211-89-136-201-104-114-99-121-223-206-96-261-14-248-169-17-109-106-246-37-79-151-179...

Et de manière générale en base 53+109n :

[n][25+53n][40+84n][44+92n][38+80n][47+98n][34+71n][27+57n][37+78n][49+101n][5+12n][44+91n][13+27n][6+14n][42+88n][41+86n][43+89n][14+30n][31+64n][6+13n][17+35n][2n][51+106n][28+59n][36+75n][24+51n][42+87n][16+33n][2+5n][22+47n][45+93n][11+24n][35+73n][26+54n][13+28n][32+67n][30+63n][33+69n][29+60n][9+19n][12+26n][34+70n][1+4n][50+103n][4+9n][19+41n][49+102n][31+65n][32+66n][4+10n][45+94n][37+77n][23+48n][17+37n]===[52+108n][27+56n][12+25n][8+17n][14+29n][5+11n][18+38n][25+52n][15+31n][3+8n][47+97n][8+18n][39+82n][46+95n][10+21n][11+23n][9+20n][38+79n][21+45n][46+96n][35+74n][52+107n][1+3n][24+50n][16+34n][28+58n][10+22n][36+76n][50+104n][30+62n][7+16n][41+85n][17+36n][26+55n][39+81n][20+42n][22+46n][19+40n][23+49n][43+90n][40+83n][18+39n][51+105n][2+6n][48+100n][33+68n][3+7n][21+44n][20+43n][48+99n][7+15n][15+32n][29+61n][35+72n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 53 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 72+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 72+109n. La série est alors :

1-72-61-32-15-99-43-44-7-68-100-6-105-39-83-90-49-40-46-42-81-55-36-85-16-62-104-76-22-58-34-50-3-107-74-96-45-79-20-23-21-95-82-18-97-8-31-52-38-11-29-17-25-56===108-37-48-77-94-10-66-65-102-41-9-103-4-70-26-19-60-69-63-67-28-54-73-24-93-47-5-33-87-51-75-59-106-2-35-13-64-30-89-86-88-14-27-91-12-101-78-57-71-98-80-92-84-53

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 53+109n.

Calculons 1/109 en base : 72, 181, 290, ...(72+109n) :

1/109 en base 72 = 0,0-47-40-21-9-65-28-29-4-44-66-3-69-25-54-59-32-26-30-27-53-36-23-56-10-40-68-50-14-38-22-33-1-70-48-63-29-52-13-15-13-62-54-11-64-5-20-34-25-7-19-11-16-36===71-24-31-50-62-6-43-42-67-27-5-68-2-46-17-12-39-45-41-44-18-35-48-15-61-31-3-21-57-33-49-38-70-1-23-8-42-19-58-56-58-9-17-60-7-66-51-37-46-64-52-60-55-35...

1/109 en base 181 = 0,1-119-101-53-24-164-71-73-11-112-166-9-174-64-137-149-81-66-76-69-134-91-59-141-26-102-172-126-36-96-56-83-4-177-122-159-74-131-33-38-34-157-136-29-161-13-51-86-63-18-48-28-41-92===179-61-79-127-156-16-109-107-169-68-14-171-6-116-43-31-99-114-104-111-46-89-121-39-154-78-8-54-144-84-124-97-176-3-58-21-106-49-147-142-146-23-44-151-19-167-129-94-117-162-132-152-139-88...

1/109 en base 290 = 0,2-191-162-85-39-263-114-117-18-180-266-15-279-103-220-239-130-106-122-111-215-146-95-226-42-164-276-202-58-154-90-133-7-284-196-255-119-210-53-61-55-252-218-47-258-21-82-138-101-29-77-45-66-148===287-98-127-204-250-26-175-172-271-109-23-274-10-186-69-50-159-183-167-178-74-143-194-63-247-125-13-87-231-135-199-156-282-5-93-34-170-79-236-228-234-37-71-242-31-268-207-151-188-260-212-244-223-141...

Et de manière générale en base 72+109n :

[n][47+72n][40+61n][21+32n][9+15n][65+99n][28+43n][29+44n][4+7n][44+68n][66+100n][3+6n][69+105n][25+39n][54+83n][59+90n][32+49n][26+40n][30+46n][27+42n][53+81n][36+55n][23+36n][56+85n][10+16n][40+62n][68+104n][50+76n][14+22n][38+58n][22+34n][33+50n][1+3n][70+107n][48+74n][63+96n][29+45n][52+79n][13+20n][15+23n][13+21n][62+95n][54+82n][11+18n][64+97n][5+8n][20+31n][34+52n][25+38n][7+11n][19+29n][11+17n][16+25n][36+56n]===[71+108n][24+37n][31+48n][50+77n][62+94n][6+10n][43+66n][42+65n][67+102n][27+41n][5+9n][68+103n][2+4n][46+70n][17+26n][12+19n][39+60n][45+69n][41+63n][44+67n][18+28n][35+54n][48+73n][15+24n][61+93n][31+47n][3+5n][21+33n][57+87n][33+51n][49+75n][38+59n][70+106n][1+2n][23+35n][8+13n][42+64n][19+30n][58+89n][56+86n][58+88n][9+14n][17+27n][60+91n][7+12n][66+101n][51+78n][37+57n][46+71n][64+98n][52+80n][60+92n][55+84n][35+53n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 72 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 53+109n.

Constatons que 53x72 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109