Calcul de 1/109 en base 59+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 59+109n se regroupent elles en cette série ?

1-59-102-23-49-57-93-37-3-68-88-69-38-62-61-2-9-95-46-98-5-77-74-6-27-67-29-76-15-13-4-18-81-92-87-10-45-39-12-54-25-58-43-30-26-8-36-53-75-65-20-90-78-24===108-50-7-86-60-52-16-72-106-41-21-40-71-47-48-107-100-14-63-11-104-32-35-103-82-42-80-33-94-96-105-91-28-17-22-99-64-70-97-55-84-51-66-79-83-101-73-56-34-44-89-19-31-85

Calculons 1/109 en base 59+109n (59, 168, 277, ...) :

1/109 en base 59 = 0,0-31-55-12-26-30-50-20-1-36-47-37-20-33-33-1-4-51-24-53-2-41-40-3-14-36-15-41-8-7-2-9-43-49-47-5-24-21-6-29-13-31-23-16-14-4-19-28-40-35-10-48-42-12===58-27-3-46-32-28-8-38-57-22-11-21-38-25-25-57-54-7-34-5-56-17-18-55-44-22-43-17-50-51-56-49-15-9-11-53-34-37-52-29-45-27-35-42-44-54-39-30-18-23-48-10-16-46...

1/109 en base 168 = 0,1-90-157-35-75-87-143-57-4-104-135-106-58-95-94-3-13-146-70-151-7-118-114-9-41-103-44-117-23-20-6-27-124-141-134-15-69-60-18-83-38-89-66-46-40-12-55-81-115-100-30-138-120-36===166-77-10-132-92-80-24-110-163-63-32-61-109-72-73-164-154-21-97-16-160-49-53-158-126-64-123-50-144-147-161-140-43-26-33-152-98-107-149-84-129-78-101-121-127-155-112-86-52-67-137-29-47-131...

1/109 en base 277 = 0,2-149-259-58-124-144-236-94-7-172-223-175-96-157-155-5-22-241-116-249-12-195-188-15-68-170-73-193-38-33-10-45-205-233-221-25-114-99-30-137-63-147-109-76-66-20-91-134-190-165-50-228-198-60===274-127-17-218-152-132-40-182-269-104-53-101-180-119-121-271-254-35-160-27-264-81-88-261-208-106-203-83-238-243-266-231-71-43-55-251-162-177-246-139-213-129-167-200-210-256-185-142-86-111-226-48-78-216...

Et de manière générale en base 59+109n :

[n][31+59n][55+102n][12+23n][26+49n][30+57n][50+93n][20+37n][1+3n][36+68n][47+88n][37+69n][20+38n][33+62n][33+61n][1+2n][4+9n][51+95n][24+46n][53+98n][2+5n][41+77n][40+74n][3+6n][14+27n][36+67n][15+29n][41+76n][8+15n][7+13n][2+4n][9+18n][43+81n][49+92n][47+87n][5+10n][24+45n][21+39n][6+12n][29+54n][13+25n][31+58n][23+43n][16+30n][14+26n][4+8n][19+36n][28+53n][40+75n][35+65n][10+20n][48+90n][42+78n][12+24n]===[58+108n][27+50n][3+7n][46+86n][32+60n][28+52n][8+16n][38+72n][57+106n][22+41n][11+21n][21+40n][38+71n][25+47n][25+48n][57+107n][54+100n][7+14n][34+63n][5+11n][56+104n][17+32n][18+35n][55+103n][44+82n][22+42n][43+80n][17+33n][50+94n][51+96n][56+105n][49+91n][15+28n][9+17n][11+22n][53+99n][34+64n][37+70n][52+97n][29+55n][45+84n][27+51n][35+66n][42+79n][44+83n][54+101n][39+73n][30+56n][18+34n][23+44n][48+89n][10+19n][16+31n][46+85n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 59 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 85+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 85+109n. La série est alors :

1-85-31-19-89-44-34-56-73-101-83-79-66-51-84-55-97-70-64-99-22-17-28-91-105-96-94-33-80-42-82-103-35-32-104-11-63-14-100-107-48-47-71-40-21-41-106-72-16-52-60-86-7-50===108-24-78-90-20-65-75-53-36-8-26-30-43-58-25-54-12-39-45-10-87-92-81-18-4-13-15-76-29-67-27-6-74-77-5-98-46-95-9-2-61-62-38-69-88-68-3-37-93-57-49-23-102-59

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 59+109n.

Calculons 1/109 en base : 85, 194, 303, ...(85+109n) :

1/109 en base 85 = 0,0-66-24-14-69-34-26-43-56-78-64-61-51-39-65-42-75-54-49-77-17-13-21-70-81-74-73-25-62-32-63-80-27-24-81-8-49-10-77-83-37-36-55-31-16-31-82-56-12-40-46-67-5-38===84-18-60-70-15-50-58-41-28-6-20-23-33-45-19-42-9-30-35-7-67-71-63-14-3-10-11-59-22-52-21-4-57-60-3-76-35-74-7-1-47-48-29-53-68-53-2-28-72-44-38-17-79-46...

1/109 en base 194 = 0,1-151-55-33-158-78-60-99-129-179-147-140-117-90-149-97-172-124-113-176-39-30-49-161-186-170-167-58-142-74-145-183-62-56-185-19-112-24-177-190-85-83-126-71-37-72-188-128-28-92-106-153-12-88===192-42-138-160-35-115-133-94-64-14-46-53-76-103-44-96-21-69-80-17-154-163-144-32-7-23-26-135-51-119-48-10-131-137-8-174-81-169-16-3-108-110-67-122-156-121-5-65-165-101-87-40-181-105...

1/109 en base 303 = 0,2-236-86-52-247-122-94-155-202-280-230-219-183-141-233-152-269-194-177-275-61-47-77-252-291-266-261-91-222-116-227-286-97-88-289-30-175-38-277-297-133-130-197-111-58-113-294-200-44-144-166-239-19-138===300-66-216-250-55-180-208-147-100-22-72-83-119-161-69-150-33-108-125-27-241-255-225-50-11-36-41-211-80-186-75-16-205-214-13-272-127-264-25-5-169-172-105-191-244-189-8-102-258-158-136-63-283-164...

Et de manière générale en base 85+109n :

[n][66+85n][24+31n][14+19n][69+89n][34+44n][26+34n][43+56n][56+73n][78+101n][64+83n][61+79n][51+66n][39+51n][65+84n][42+55n][75+97n][54+70n][49+64n][77+99n][17+22n][13+17n][21+28n][70+91n][81+105n][74+96n][73+94n][25+33n][62+80n][32+42n][63+82n][80+103n][27+35n][24+32n][81+104n][8+11n][49+63n][10+14n][77+100n][83+107n][37+48n][36+47n][55+71n][31+40n][16+21n][31+41n][82+106n][56+72n][12+16n][40+52n][46+60n][67+86n][5+7n][38+50n]===[84+108n][18+24n][60+78n][70+90n][15+20n][50+65n][58+75n][41+53n][28+36n][6+8n][20+26n][23+30n][33+43n][45+58n][19+25n][42+54n][9+12n][30+39n][35+45n][7+10n][67+87n][71+92n][63+81n][14+18n][3+4n][10+13n][11+15n][59+76n][22+29n][52+67n][21+27n][4+6n][57+74n][60+77n][3+5n][76+98n][35+46n][74+95n][7+9n][1+2n][47+61n][48+62n][29+38n][53+69n][68+88n][53+68n][2+3n][28+37n][72+93n][44+57n][38+49n][17+23n][79+102n][46+59n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 85 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 59+109n.

Constatons que 59x85 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109