Calcul de 1/109 en base 67+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 67+109n se regroupent elles en cette série ?

1-67-20-32-73-95-43-47-97-68-87-52-105-59-29-90-35-56-46-30-48-55-88-10-16-91-102-76-78-103-34-98-26-107-84-69-45-72-28-23-15-24-82-44-5-8-100-51-38-39-106-17-49-13===108-42-89-77-36-14-66-62-12-41-22-57-4-50-80-19-74-53-63-79-61-54-21-99-93-18-7-33-31-6-75-11-83-2-25-40-64-37-81-86-94-85-27-65-104-101-9-58-71-70-3-92-60-96

Calculons 1/109 en base 67+109n (67, 176, 285, ...) :

1/109 en base 67 = 0,0-41-12-19-44-58-26-28-59-41-53-31-64-36-17-55-21-34-28-18-29-33-54-6-9-55-62-46-47-63-20-60-15-65-51-42-27-44-17-14-9-14-50-27-3-4-61-31-23-23-65-10-30-7===66-25-54-47-22-8-40-38-7-25-13-35-2-30-49-11-45-32-38-48-37-33-12-60-57-11-4-20-19-3-46-6-51-1-15-24-39-22-49-52-57-52-16-39-63-62-5-35-43-43-1-56-36-59...

1/109 en base 176 = 0,1-108-32-51-117-153-69-75-156-109-140-83-169-95-46-145-56-90-74-48-77-88-142-16-25-146-164-122-125-166-54-158-41-172-135-111-72-116-45-37-24-38-132-71-8-12-161-82-61-62-171-27-79-20===174-67-143-124-58-22-106-100-19-66-35-92-6-80-129-30-119-85-101-127-98-87-33-159-150-29-11-53-50-9-121-17-134-3-40-64-103-59-130-138-151-137-43-104-167-163-14-93-114-113-4-148-96-155...

1/109 en base 285 = 0,2-175-52-83-190-248-112-122-253-177-227-135-274-154-75-235-91-146-120-78-125-143-230-26-41-237-266-198-203-269-88-256-67-279-219-180-117-188-73-60-39-62-214-115-13-20-261-133-99-101-277-44-128-33===282-109-232-201-94-36-172-162-31-107-57-149-10-130-209-49-193-138-164-206-159-141-54-258-243-47-18-86-81-15-196-28-217-5-65-104-167-96-211-224-245-222-70-169-271-264-23-151-185-183-7-240-156-251...

Et de manière générale en base 67+109n :

[n][41+67n][12+20n][19+32n][44+73n][58+95n][26+43n][28+47n][59+97n][41+68n][53+87n][31+52n][64+105n][36+59n][17+29n][55+90n][21+35n][34+56n][28+46n][18+30n][29+48n][33+55n][54+88n][6+10n][9+16n][55+91n][62+102n][46+76n][47+78n][63+103n][20+34n][60+98n][15+26n][65+107n][51+84n][42+69n][27+45n][44+72n][17+28n][14+23n][9+15n][14+24n][50+82n][27+44n][3+5n][4+8n][61+100n][31+51n][23+38n][23+39n][65+106n][10+17n][30+49n][7+13n]===[66+108n][25+42n][54+89n][47+77n][22+36n][8+14n][40+66n][38+62n][7+12n][25+41n][13+22n][35+57n][2+4n][30+50n][49+80n][11+19n][45+74n][32+53n][38+63n][48+79n][37+61n][33+54n][12+21n][60+99n][57+93n][11+18n][4+7n][20+33n][19+31n][3+6n][46+75n][6+11n][51+83n][1+2n][15+25n][24+40n][39+64n][22+37n][49+81n][52+86n][57+94n][52+85n][16+27n][39+65n][63+104n][62+101n][5+9n][35+58n][43+71n][43+70n][1+3n][56+92n][36+60n][59+96n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 67 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 96+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 96+109n. La série est alors :

1-96-60-92-3-70-71-58-9-101-104-65-27-85-94-86-81-37-64-40-25-2-83-11-75-6-31-33-7-18-93-99-21-54-61-79-63-53-74-19-80-50-4-57-22-41-12-62-66-14-36-77-89-42===108-13-49-17-106-39-38-51-100-8-5-44-82-24-15-23-28-72-45-69-84-107-26-98-34-103-78-76-102-91-16-10-88-55-48-30-46-56-35-90-29-59-105-52-87-68-97-47-43-95-73-32-20-67

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 67+109n.

Calculons 1/109 en base : 96, 205, 314, ...(96+109n) :

1/109 en base 96 = 0,0-84-52-81-2-61-62-51-7-88-91-57-23-74-82-75-71-32-56-35-22-1-73-9-66-5-27-29-6-15-81-87-18-47-53-69-55-46-65-16-70-44-3-50-19-36-10-54-58-12-31-67-78-36===95-11-43-14-93-34-33-44-88-7-4-38-72-21-13-20-24-63-39-60-73-94-22-86-29-90-68-66-89-80-14-8-77-48-42-26-40-49-30-79-25-51-92-45-76-59-85-41-37-83-64-28-17-59...

1/109 en base 205 = 0,1-180-112-173-5-131-133-109-16-189-195-122-50-159-176-161-152-69-120-75-47-3-156-20-141-11-58-62-13-33-174-186-39-101-114-148-118-99-139-35-150-94-7-107-41-77-22-116-124-26-67-144-167-78===203-24-92-31-199-73-71-95-188-15-9-82-154-45-28-43-52-135-84-129-157-201-48-184-63-193-146-142-191-171-30-18-165-103-90-56-86-105-65-169-54-110-197-97-163-127-182-88-80-178-137-60-37-126...

1/109 en base 314 = 0,2-276-172-265-8-201-204-167-25-290-299-187-77-244-270-247-233-106-184-115-72-5-239-31-216-17-89-95-20-51-267-285-60-155-175-227-181-152-213-54-230-144-11-164-63-118-34-178-190-40-103-221-256-120===311-37-141-48-305-112-109-146-288-23-14-126-236-69-43-66-80-207-129-198-241-308-74-282-97-296-224-218-293-262-46-28-253-158-138-86-132-161-100-259-83-169-302-149-250-195-279-135-123-273-210-92-57-193...

Et de manière générale en base 96+109n :

[n][84+96n][52+60n][81+92n][2+3n][61+70n][62+71n][51+58n][7+9n][88+101n][91+104n][57+65n][23+27n][74+85n][82+94n][75+86n][71+81n][32+37n][56+64n][35+40n][22+25n][1+2n][73+83n][9+11n][66+75n][5+6n][27+31n][29+33n][6+7n][15+18n][81+93n][87+99n][18+21n][47+54n][53+61n][69+79n][55+63n][46+53n][65+74n][16+19n][70+80n][44+50n][3+4n][50+57n][19+22n][36+41n][10+12n][54+62n][58+66n][12+14n][31+36n][67+77n][78+89n][36+42n]===[95+108n][11+13n][43+49n][14+17n][93+106n][34+39n][33+38n][44+51n][88+100n][7+8n][4+5n][38+44n][72+82n][21+24n][13+15n][20+23n][24+28n][63+72n][39+45n][60+69n][73+84n][94+107n][22+26n][86+98n][29+34n][90+103n][68+78n][66+76n][89+102n][80+91n][14+16n][8+10n][77+88n][48+55n][42+48n][26+30n][40+46n][49+56n][30+35n][79+90n][25+29n][51+59n][92+105n][45+52n][76+87n][59+68n][85+97n][41+47n][37+43n][83+95n][64+73n][28+32n][17+20n][59+67n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 96 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 67+109n.

Constatons que 67x96 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109