Calcul de 1/109 en base 69+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 69+109n se regroupent elles en cette série ?

1-69-74-92-26-50-71-103-22-101-102-62-27-10-36-86-48-42-64-56-49-2-29-39-75-52-100-33-97-44-93-95-15-54-20-72-63-96-84-19-3-98-4-58-78-41-104-91-66-85-88-77-81-30===108-40-35-17-83-59-38-6-87-8-7-47-82-99-73-23-61-67-45-53-60-107-80-70-34-57-9-76-12-65-16-14-94-55-89-37-46-13-25-90-106-11-105-51-31-68-5-18-43-24-21-32-28-79

Calculons 1/109 en base 69+109n (69, 178, 287, ...) :

1/109 en base 69 = 0,0-43-46-58-16-31-44-65-13-63-64-39-17-6-22-54-30-26-40-35-31-1-18-24-47-32-63-20-61-27-58-60-9-34-12-45-39-60-53-12-1-62-2-36-49-25-65-57-41-53-55-48-51-18===68-25-22-10-52-37-24-3-55-5-4-29-51-62-46-14-38-42-28-33-37-67-50-44-21-36-5-48-7-41-10-8-59-34-56-23-29-8-15-56-67-6-66-32-19-43-3-11-27-15-13-20-17-50...

1/109 en base 178 = 0,1-112-120-150-42-81-115-168-35-164-166-101-44-16-58-140-78-68-104-91-80-3-47-63-122-84-163-53-158-71-151-155-24-88-32-117-102-156-137-31-4-160-6-94-127-66-169-148-107-138-143-125-132-48===176-65-57-27-135-96-62-9-142-13-11-76-133-161-119-37-99-109-73-86-97-174-130-114-55-93-14-124-19-106-26-22-153-89-145-60-75-21-40-146-173-17-171-83-50-111-8-29-70-39-34-52-45-129...

1/109 en base 287 = 0,2-181-194-242-68-131-186-271-57-265-268-163-71-26-94-226-126-110-168-147-129-5-76-102-197-136-263-86-255-115-244-250-39-142-52-189-165-252-221-50-7-258-10-152-205-107-273-239-173-223-231-202-213-78===284-105-92-44-218-155-100-15-229-21-18-123-215-260-192-60-160-176-118-139-157-281-210-184-89-150-23-200-31-171-42-36-247-144-234-97-121-34-65-236-279-28-276-134-81-179-13-47-113-63-55-84-73-208...

Et de manière générale en base 69+109n :

[n][43+69n][46+74n][58+92n][16+26n][31+50n][44+71n][65+103n][13+22n][63+101n][64+102n][39+62n][17+27n][6+10n][22+36n][54+86n][30+48n][26+42n][40+64n][35+56n][31+49n][1+2n][18+29n][24+39n][47+75n][32+52n][63+100n][20+33n][61+97n][27+44n][58+93n][60+95n][9+15n][34+54n][12+20n][45+72n][39+63n][60+96n][53+84n][12+19n][1+3n][62+98n][2+4n][36+58n][49+78n][25+41n][65+104n][57+91n][41+66n][53+85n][55+88n][48+77n][51+81n][18+30n]===[68+108n][25+40n][22+35n][10+17n][52+83n][37+59n][24+38n][3+6n][55+87n][5+8n][4+7n][29+47n][51+82n][62+99n][46+73n][14+23n][38+61n][42+67n][28+45n][33+53n][37+60n][67+107n][50+80n][44+70n][21+34n][36+57n][5+9n][48+76n][7+12n][41+65n][10+16n][8+14n][59+94n][34+55n][56+89n][23+37n][29+46n][8+13n][15+25n][56+90n][67+106n][6+11n][66+105n][32+51n][19+31n][43+68n][3+5n][11+18n][27+43n][15+24n][13+21n][20+32n][17+28n][50+79n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 69 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 79+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 79+109n. La série est alors :

1-79-28-32-21-24-43-18-5-68-31-51-105-11-106-90-25-13-46-37-89-55-94-14-16-65-12-76-9-57-34-70-80-107-60-53-45-67-61-23-73-99-82-47-7-8-87-6-38-59-83-17-35-40===108-30-81-77-88-85-66-91-104-41-78-58-4-98-3-19-84-96-63-72-20-54-15-95-93-44-97-33-100-52-75-39-29-2-49-56-64-42-48-86-36-10-27-62-102-101-22-103-71-50-26-92-74-69

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 69+109n.

Calculons 1/109 en base : 79, 188, 297, ...(79+109n) :

1/109 en base 79 = 0,0-57-20-23-15-17-31-13-3-49-22-36-76-7-76-65-18-9-33-26-64-39-68-10-11-47-8-55-6-41-24-50-57-77-43-38-32-48-44-16-52-71-59-34-5-5-63-4-27-42-60-12-25-28===78-21-58-55-63-61-47-65-75-29-56-42-2-71-2-13-60-69-45-52-14-39-10-68-67-31-70-23-72-37-54-28-21-1-35-40-46-30-34-62-26-7-19-44-73-73-15-74-51-36-18-66-53-50...

1/109 en base 188 = 0,1-136-48-55-36-41-74-31-8-117-53-87-181-18-182-155-43-22-79-63-153-94-162-24-27-112-20-131-15-98-58-120-137-184-103-91-77-115-105-39-125-170-141-81-12-13-150-10-65-101-143-29-60-68===186-51-139-132-151-146-113-156-179-70-134-100-6-169-5-32-144-165-108-124-34-93-25-163-160-75-167-56-172-89-129-67-50-3-84-96-110-72-82-148-62-17-46-106-175-174-37-177-122-86-44-158-127-119...

1/109 en base 297 = 0,2-215-76-87-57-65-117-49-13-185-84-138-286-29-288-245-68-35-125-100-242-149-256-38-43-177-32-207-24-155-92-190-217-291-163-144-122-182-166-62-198-269-223-128-19-21-237-16-103-160-226-46-95-108===294-81-220-209-239-231-179-247-283-111-212-158-10-267-8-51-228-261-171-196-54-147-40-258-253-119-264-89-272-141-204-106-79-5-133-152-174-114-130-234-98-27-73-168-277-275-59-280-193-136-70-250-201-188...

Et de manière générale en base 79+109n :

[n][57+79n][20+28n][23+32n][15+21n][17+24n][31+43n][13+18n][3+5n][49+68n][22+31n][36+51n][76+105n][7+11n][76+106n][65+90n][18+25n][9+13n][33+46n][26+37n][64+89n][39+55n][68+94n][10+14n][11+16n][47+65n][8+12n][55+76n][6+9n][41+57n][24+34n][50+70n][57+80n][77+107n][43+60n][38+53n][32+45n][48+67n][44+61n][16+23n][52+73n][71+99n][59+82n][34+47n][5+7n][5+8n][63+87n][4+6n][27+38n][42+59n][60+83n][12+17n][25+35n][28+40n]===[78+108n][21+30n][58+81n][55+77n][63+88n][61+85n][47+66n][65+91n][75+104n][29+41n][56+78n][42+58n][2+4n][71+98n][2+3n][13+19n][60+84n][69+96n][45+63n][52+72n][14+20n][39+54n][10+15n][68+95n][67+93n][31+44n][70+97n][23+33n][72+100n][37+52n][54+75n][28+39n][21+29n][1+2n][35+49n][40+56n][46+64n][30+42n][34+48n][62+86n][26+36n][7+10n][19+27n][44+62n][73+102n][73+101n][15+22n][74+103n][51+71n][36+50n][18+26n][66+92n][53+74n][50+69n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 79 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 69+109n.

Constatons que 69x79 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109