Calcul de 1/109 en base 70+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 70+109n se regroupent elles en cette série ?

1-70-104-86-25-6-93-79-80-41-36-13-38-44-28-107-78-10-46-59-97-32-60-58-27-37-83-33-21-53-4-62-89-17-100-24-45-98-102-55-35-52-43-67-3-101-94-40-75-18-61-19-22-14===108-39-5-23-84-103-16-30-29-68-73-96-71-65-81-2-31-99-63-50-12-77-49-51-82-72-26-76-88-56-105-47-20-92-9-85-64-11-7-54-74-57-66-42-106-8-15-69-34-91-48-90-87-95

Calculons 1/109 en base 70+109n (70, 179, 288, ...) :

1/109 en base 70 = 0,0-44-66-55-16-3-59-50-51-26-23-8-24-28-17-68-50-6-29-37-62-20-38-37-17-23-53-21-13-34-2-39-57-10-64-15-28-62-65-35-22-33-27-43-1-64-60-25-48-11-39-12-14-8===69-25-3-14-53-66-10-19-18-43-46-61-45-41-52-1-19-63-40-32-7-49-31-32-52-46-16-48-56-35-67-30-12-59-5-54-41-7-4-34-47-36-42-26-68-5-9-44-21-58-30-57-55-61...

1/109 en base 179 = 0,1-114-170-141-41-9-152-129-131-67-59-21-62-72-45-175-128-16-75-96-159-52-98-95-44-60-136-54-34-87-6-101-146-27-164-39-73-160-167-90-57-85-70-110-4-165-154-65-123-29-100-31-36-22===177-64-8-37-137-169-26-49-47-111-119-157-116-106-133-3-50-162-103-82-19-126-80-83-134-118-42-124-144-91-172-77-32-151-14-139-105-18-11-88-121-93-108-68-174-13-24-113-55-149-78-147-142-156...

1/109 en base 288 = 0,2-184-274-227-66-15-245-208-211-108-95-34-100-116-73-282-206-26-121-155-256-84-158-153-71-97-219-87-55-140-10-163-235-44-264-63-118-258-269-145-92-137-113-177-7-266-248-105-198-47-161-50-58-36===285-103-13-60-221-272-42-79-76-179-192-253-187-171-214-5-81-261-166-132-31-203-129-134-216-190-68-200-232-147-277-124-52-243-23-224-169-29-18-142-195-150-174-110-280-21-39-182-89-240-126-237-229-251...

Et de manière générale en base 70+109n :

[n][44+70n][66+104n][55+86n][16+25n][3+6n][59+93n][50+79n][51+80n][26+41n][23+36n][8+13n][24+38n][28+44n][17+28n][68+107n][50+78n][6+10n][29+46n][37+59n][62+97n][20+32n][38+60n][37+58n][17+27n][23+37n][53+83n][21+33n][13+21n][34+53n][2+4n][39+62n][57+89n][10+17n][64+100n][15+24n][28+45n][62+98n][65+102n][35+55n][22+35n][33+52n][27+43n][43+67n][1+3n][64+101n][60+94n][25+40n][48+75n][11+18n][39+61n][12+19n][14+22n][8+14n]===[69+108n][25+39n][3+5n][14+23n][53+84n][66+103n][10+16n][19+30n][18+29n][43+68n][46+73n][61+96n][45+71n][41+65n][52+81n][1+2n][19+31n][63+99n][40+63n][32+50n][7+12n][49+77n][31+49n][32+51n][52+82n][46+72n][16+26n][48+76n][56+88n][35+56n][67+105n][30+47n][12+20n][59+92n][5+9n][54+85n][41+64n][7+11n][4+7n][34+54n][47+74n][36+57n][42+66n][26+42n][68+106n][5+8n][9+15n][44+69n][21+34n][58+91n][30+48n][57+90n][55+87n][61+95n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 70 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 95+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 95+109n. La série est alors :

1-95-87-90-48-91-34-69-15-8-106-42-66-57-74-54-7-11-64-85-9-92-20-47-105-56-88-76-26-72-82-51-49-77-12-50-63-99-31-2-81-65-71-96-73-68-29-30-16-103-84-23-5-39===108-14-22-19-61-18-75-40-94-101-3-67-43-52-35-55-102-98-45-24-100-17-89-62-4-53-21-33-83-37-27-58-60-32-97-59-46-10-78-107-28-44-38-13-36-41-80-79-93-6-25-86-104-70

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 70+109n.

Calculons 1/109 en base : 95, 204, 313, ...(95+109n) :

1/109 en base 95 = 0,0-82-75-78-41-79-29-60-13-6-92-36-57-49-64-47-6-9-55-74-7-80-17-40-91-48-76-66-22-62-71-44-42-67-10-43-54-86-27-1-70-56-61-83-63-59-25-26-13-89-73-20-4-33===94-12-19-16-53-15-65-34-81-88-2-58-37-45-30-47-88-85-39-20-87-14-77-54-3-46-18-28-72-32-23-50-52-27-84-51-40-8-67-93-24-38-33-11-31-35-69-68-81-5-21-74-90-61...

1/109 en base 204 = 0,1-177-162-168-89-170-63-129-28-14-198-78-123-106-138-101-13-20-119-159-16-172-37-87-196-104-164-142-48-134-153-95-91-144-22-93-117-185-58-3-151-121-132-179-136-127-54-56-29-192-157-43-9-72===202-26-41-35-114-33-140-74-175-189-5-125-80-97-65-102-190-183-84-44-187-31-166-116-7-99-39-61-155-69-50-108-112-59-181-110-86-18-145-200-52-82-71-24-67-76-149-147-174-11-46-160-194-131...

1/109 en base 313 = 0,2-272-249-258-137-261-97-198-43-22-304-120-189-163-212-155-20-31-183-244-25-264-57-134-301-160-252-218-74-206-235-146-140-221-34-143-180-284-89-5-232-186-203-275-209-195-83-86-45-295-241-66-14-111===310-40-63-54-175-51-215-114-269-290-8-192-123-149-100-157-292-281-129-68-287-48-255-178-11-152-60-94-238-106-77-166-172-91-278-169-132-28-223-307-80-126-109-37-103-117-229-226-267-17-71-246-298-201...

Et de manière générale en base 95+109n :

[n][82+95n][75+87n][78+90n][41+48n][79+91n][29+34n][60+69n][13+15n][6+8n][92+106n][36+42n][57+66n][49+57n][64+74n][47+54n][6+7n][9+11n][55+64n][74+85n][7+9n][80+92n][17+20n][40+47n][91+105n][48+56n][76+88n][66+76n][22+26n][62+72n][71+82n][44+51n][42+49n][67+77n][10+12n][43+50n][54+63n][86+99n][27+31n][1+2n][70+81n][56+65n][61+71n][83+96n][63+73n][59+68n][25+29n][26+30n][13+16n][89+103n][73+84n][20+23n][4+5n][33+39n]===[94+108n][12+14n][19+22n][16+19n][53+61n][15+18n][65+75n][34+40n][81+94n][88+101n][2+3n][58+67n][37+43n][45+52n][30+35n][47+55n][88+102n][85+98n][39+45n][20+24n][87+100n][14+17n][77+89n][54+62n][3+4n][46+53n][18+21n][28+33n][72+83n][32+37n][23+27n][50+58n][52+60n][27+32n][84+97n][51+59n][40+46n][8+10n][67+78n][93+107n][24+28n][38+44n][33+38n][11+13n][31+36n][35+41n][69+80n][68+79n][81+93n][5+6n][21+25n][74+86n][90+104n][61+70n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 95 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 70+109n.

Constatons que 70x95 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109