Calcul de 1/109 en base 98+109n.

Pourquoi les périodes de n/109 en base 98+109n se regroupent elles en cette série ?

1-98-12-86-35-51-93-67-26-41-94-56-38-18-20-107-22-85-46-39-7-32-84-57-27-30-106-33-73-69-4-65-48-17-31-95-45-50-104-55-49-6-43-72-80-101-88-13-75-47-28-19-9-10===108-11-97-23-74-58-16-42-83-68-15-53-71-91-89-2-87-24-63-70-102-77-25-52-82-79-3-76-36-40-105-44-61-92-78-14-64-59-5-54-60-103-66-37-29-8-21-96-34-62-81-90-100-99

Calculons 1/109 en base 98+109n (98, 207, 316, ...) :

1/109 en base 98 = 0,0-88-10-77-31-45-83-60-23-36-84-50-34-16-17-96-19-76-41-35-6-28-75-51-24-26-95-29-65-62-3-58-43-15-27-85-40-44-93-49-44-5-38-64-71-90-79-11-67-42-25-17-8-8===97-9-87-20-66-52-14-37-74-61-13-47-63-81-80-1-78-21-56-62-91-69-22-46-73-71-2-68-32-35-94-39-54-82-70-12-57-53-4-48-53-92-59-33-26-7-18-86-30-55-72-80-89-89...

1/109 en base 207 = 0,1-186-22-163-66-96-176-127-49-77-178-106-72-34-37-203-41-161-87-74-13-60-159-108-51-56-201-62-138-131-7-123-91-32-58-180-85-94-197-104-93-11-81-136-151-191-167-24-142-89-53-36-17-18===205-20-184-43-140-110-30-79-157-129-28-100-134-172-169-3-165-45-119-132-193-146-47-98-155-150-5-144-68-75-199-83-115-174-148-26-121-112-9-102-113-195-125-70-55-15-39-182-64-117-153-170-189-188...

1/109 en base 316 = 0,2-284-34-249-101-147-269-194-75-118-272-162-110-52-57-310-63-246-133-113-20-92-243-165-78-86-307-95-211-200-11-188-139-49-89-275-130-144-301-159-142-17-124-208-231-292-255-37-217-136-81-55-26-28===313-31-281-66-214-168-46-121-240-197-43-153-205-263-258-5-252-69-182-202-295-223-72-150-237-229-8-220-104-115-304-127-176-266-226-40-185-171-14-156-173-298-191-107-84-23-60-278-98-179-234-260-289-287...

Et de manière générale en base 98+109n :

[n][88+98n][10+12n][77+86n][31+35n][45+51n][83+93n][60+67n][23+26n][36+41n][84+94n][50+56n][34+38n][16+18n][17+20n][96+107n][19+22n][76+85n][41+46n][35+39n][6+7n][28+32n][75+84n][51+57n][24+27n][26+30n][95+106n][29+33n][65+73n][62+69n][3+4n][58+65n][43+48n][15+17n][27+31n][85+95n][40+45n][44+50n][93+104n][49+55n][44+49n][5+6n][38+43n][64+72n][71+80n][90+101n][79+88n][11+13n][67+75n][42+47n][25+28n][17+19n][8+9n][8+10n]===[97+108n][9+11n][87+97n][20+23n][66+74n][52+58n][14+16n][37+42n][74+83n][61+68n][13+15n][47+53n][63+71n][81+91n][80+89n][1+2n][78+87n][21+24n][56+63n][62+70n][91+102n][69+77n][22+25n][46+52n][73+82n][71+79n][2+3n][68+76n][32+36n][35+40n][94+105n][39+44n][54+61n][82+92n][70+78n][12+14n][57+64n][53+59n][4+5n][48+54n][53+60n][92+103n][59+66n][33+37n][26+29n][7+8n][18+21n][86+96n][30+34n][55+62n][72+81n][80+90n][89+100n][89+99n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Et qui est plus simplement égale à la série des puissances de 98 modulo 109

Calcul de 1/109 en base 99+109n.

Le calcul de la période inverse est interessant, il s'exécute en base 99+109n. La série est alors :

1-99-100-90-81-62-34-96-21-8-29-37-66-103-60-54-5-59-64-14-78-92-61-44-105-40-36-76-3-79-82-52-25-77-102-70-63-24-87-2-89-91-71-53-15-68-83-42-16-58-74-23-97-11===108-10-9-19-28-47-75-13-88-101-80-72-43-6-49-55-104-50-45-95-31-17-48-65-4-69-73-33-106-30-27-57-84-32-7-39-46-85-22-107-20-18-38-56-94-41-26-67-93-51-35-86-12-98

Qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases plus haut, de type 98+109n.

Calculons 1/109 en base : 99, 208, 317, ...(99+109n) :

1/109 en base 99 = 0,0-89-90-81-73-56-30-87-19-7-26-33-59-93-54-49-4-53-58-12-70-83-55-39-95-36-32-69-2-71-74-47-22-69-92-63-57-21-79-1-80-82-64-48-13-61-75-38-14-52-67-20-88-9===98-9-8-17-25-42-68-11-79-91-72-65-39-5-44-49-94-45-40-86-28-15-43-59-3-62-66-29-96-27-24-51-76-29-6-35-41-77-19-97-18-16-34-50-85-37-23-60-84-46-31-78-10-89...

1/109 en base 208 = 0,1-188-190-171-154-118-64-183-40-15-55-70-125-196-114-103-9-112-122-26-148-175-116-83-200-76-68-145-5-150-156-99-47-146-194-133-120-45-166-3-169-173-135-101-28-129-158-80-30-110-141-43-185-20===206-19-17-36-53-89-143-24-167-192-152-137-82-11-93-104-198-95-85-181-59-32-91-124-7-131-139-62-202-57-51-108-160-61-13-74-87-162-41-204-38-34-72-106-179-78-49-127-177-97-66-164-22-187...

1/109 en base 317 = 0,2-287-290-261-235-180-98-279-61-23-84-107-191-299-174-157-14-171-186-40-226-267-177-127-305-116-104-221-8-229-238-151-72-223-296-203-183-69-253-5-258-264-206-154-43-197-241-122-46-168-215-66-282-31===314-29-26-55-81-136-218-37-255-293-232-209-125-17-142-159-302-145-130-276-90-49-139-189-11-200-212-95-308-87-78-165-244-93-20-113-133-247-63-311-58-52-110-162-273-119-75-194-270-148-101-250-34-285...

Et de manière générale en base 99+109n :

[n][89+99n][90+100n][81+90n][73+81n][56+62n][30+34n][87+96n][19+21n][7+8n][26+29n][33+37n][59+66n][93+103n][54+60n][49+54n][4+5n][53+59n][58+64n][12+14n][70+78n][83+92n][55+61n][39+44n][95+105n][36+40n][32+36n][69+76n][2+3n][71+79n][74+82n][47+52n][22+25n][69+77n][92+102n][63+70n][57+63n][21+24n][79+87n][1+2n][80+89n][82+91n][64+71n][48+53n][13+15n][61+68n][75+83n][38+42n][14+16n][52+58n][67+74n][20+23n][88+97n][9+11n]===[98+108n][9+10n][8+9n][17+19n][25+28n][42+47n][68+75n][11+13n][79+88n][91+101n][72+80n][65+72n][39+43n][5+6n][44+49n][49+55n][94+104n][45+50n][40+45n][86+95n][28+31n][15+17n][43+48n][59+65n][3+4n][62+69n][66+73n][29+33n][96+106n][27+30n][24+27n][51+57n][76+84n][29+32n][6+7n][35+39n][41+46n][77+85n][19+22n][97+107n][18+20n][16+18n][34+38n][50+56n][85+94n][37+41n][23+26n][60+67n][84+93n][46+51n][31+35n][78+86n][10+12n][89+98n]

Lorsque n tend vers l'infini, le premier terme est négligable et l'on retouve bien la série

Qui partage le cercle en 109 parties égales

Qui est plus simplement égale à la série des puissances de 99 modulo 109

Et qui se lit à rebours du sens utilisé par les bases de type 98+109n.

Constatons que 98x99 admet 1 pour reste dans la division par 109 et qu'ils sont alors inverses dans Z109