Euclidoscope

Le calcul de la résonance de tous les nombres

Le calcul de la résonance fait donc intervenir la somme (des longueurs) de toutes les périodes de n/N dans toutes les bases (en prenant en compte les bases de forme 1+kN), et est alors rapporté à (N - 1) x (N - 1).

Où le premier (N-1) représente le nombre de bases de 1 à N-1 (Pour 0+kN ou N le résultat tombe juste)

Et le deuxième (N-1) la valeur maximale de la longueur de la période lorsqu'elle est unique (uniquement dans le cas des premiers), ou plus généralement la valeur maximale de la somme (des longueurs) de toutes les périodes de n/N dans toutes les bases.

On note l'avantage de calculer dans un carré, lorsque l'on s'apperçoit de subtiles différences lorsque les bases de type 1+kN ne sont pas prises en compte. On calcule alors dans les bases comprises entre 2+kN et (N-1)+kN, et le calcul de la résonance doit alors être rapporté à (N-1)(N-2). Le calcul en base 1+kN sera maintenant noté calcul en base "1".

Appellons S la somme des longueurs des périodes de n / N dans toutes les bases de "1" à N-1. Si l'on calcule le rapport (N-1)(N-1) / S, pour les nombres inférieurs à 100, cela nous donne une fonction semblable à celle-ci :

Fonction qui n'est égale à 1 que pour les nombres premiers.

Et pour laquelle tous les résultats sont compris entre 0 et 1. Les nombre résonant le plus, pour lesquels les périodes sont statistiquement les plus courtes sont indiqués par ses plus faibles valeurs. On peut y voir notament 72.

Ce n'est évidement pas la bonne méthode pour mettre en valeur la résonance d'un nombre.

Calculons alors le rapport inverse S / (N-1)(N-1), pour mettre en valeur les résonances les plus fortes. Alors la valeur la plus faible deviendra 1 et il conviendra de l'oter (1) pour obtenir une fonction qui (à l'instar de celle de Riemann !!?) s'annule pour tous les nombres premiers.

Calculant donc, (S / (N-1)(N-1)) - 1 on obtient le spectre de résonance de tous les nombres, pour toutes les bases (à l'exception des bases de forme kN, où la longueur de la période est nulle.

C'est cette formule (S / (N-1)(N-1)) - 1 qui sera retenue pour obtenir le graphe :

Pour lequel les nombres résonnant le plus sont mis en valeur.

Et pour lequel les premiers fournissent une valeur nulle.

Ces deux graphes ainsi que les données correspondantes sont disponibles dans ce fichier Excel.