Le calcul en base 1 + kN

Si le calcul d'une fraction en base 1 s'avère impossible, il est en revanche possible de calculer en base 1 + kN.

Prenons l'exemple (simple) de la base 10 pour calculer 1 / 9 :

1 / 9 = 0,111111...
2 / 9 = 0,222222...
3 / 9 = 0,333333...
4 / 9 = 0,444444...
5 / 9 = 0,555555...
6 / 9 = 0,666666...
7 / 9 = 0,777777...
8 / 9 = 0,888888...
9 / 9 = 0,999999... (?) ou 1.
10 / 9 = 1,111111... et le cycle recommence.

Cela est illustré par le numéroscope de la manière suivante:

Les points symbolisent une période de longueur 1.

Comme on peut le constater, le graphe est alors d'une simplicité déconcertante. Mais s'il n'existe que des périodes de longueur 1, la somme des longueurs des périodes est toujours égale à N - 1.

Cela est vrai pour les nombres premiers, avec ici l'exemple des fractions de n / 59 en base (1 + 59k) :

Mais également vrai pour des nombres plus grands, ici les fractions de n / 720 en base 1 + 720k :

On notera pour toutes ces figures, l'absence du point en haut à midi, symbolisant les périodes de longueur nulle.