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Extension de la géométrie
classique
Dans notre adaptation de la
terminologie et de la notation de la géométrie
dEuclide à lusage actuel, nous avons remplacé
le mot «droite» dans presque toutes les propositions
reproduites par «segment» car les Grecs ne considéraient
des droites «illimitées» que de façon
«potentielle», sous le nom de «droite»,
ils nentendaient jamais que des segments.
Rappelons que les trois principaux postulats de la géométrie
dEuclide décrivant lutilisation dune
règle et du compas idéaux:
1. De tout point à tout autre point, on peut tracer un
segment de droite avec ces points comme extrémités.
2. Tout segment de droite peut être prolongé indéfiniment
et continûment.
3. Etant donné un point, on peut décrire un cercle
de rayon quelconque avec comme centre ce point.
Pour Euclide les segments et les cercles constituent ainsi des
objets de base, il introduit ensuite et étudie des figures
rectilignes contenues par des lignes brisées, composées
des segments : triangles, quadrilatères et multilatères
; ainsi que des cercles tangents et qui se coupent.
Dans la géométrie de la poursuite, nous étudions
les trajectoires des «poursuivants» et des «fugitifs»
qui sont des lignes brisées ou des enchaînement
de plusieurs cercles tangents. Nous définissons en termes
géométriques les stratégies ce qui constituent
la particularité de la géométrie de la poursuite.
Par exemple, les différentes stratégies du «poursuivant»
P décrivent les règles de construction (avec une
règle et un compas idéaux) de la trajectoire de
P en fonction du déroulement de la construction de la
trajectoire du «fugitif» (ou des «fugitifs»
et, éventuellement, des autres «poursuivants»,
sils existent). Ainsi dans la géométrie élémentaire
de la poursuite, nous considérons les trajectoires qui
sont, en fait, des objets de géométrie classiques
: les lignes brisées, les enchaînements des cercles
tangents, etc. Mais nous ajoutons aux transformations et relations
de la géométrie classique (rotation, similitude,
etc.) linfinité des transformations et des relations,
générées par les différentes stratégies.
Ces stratégies sont les algorithmes définis en
termes géométriques.
On évalue ensuite les résultats garantis par les
stratégies étudiées daprès
les différents critères. Par exemple, dans les
jeux de capture rapide, on compare les longueurs des trajectoires
du «poursuivant» jusquau moment de la capture.
Dans les jeux avec la «ligne de la vie», on vérifie
si toutes les trajectoires du «fugitif» , correspondantes
à sa stratégie étudiée, atteignent
cette ligne. Cela constitue un gisement abondant de nouveaux
sujets de recherches géométriques.
Nous avons montré dans ce livre que ces recherches peuvent
être effectuées même sans aucune connaissance
des autres domaines des mathématiques sauf la géométrie
élémentaire classique.
Eléments utilisés
En effet, nos nouveaux résultats
exposés dans ce livre ne sont basés que sur la
planimétrie classique. Nous avons utilisé linégalité
triangulaire (propositions 20 du livre I dEuclide), le
théorème de Pythagore (propositions 47 du livre
I) et deux propositions équivalentes à la Loi de
cosinus (12 et 13 du livre II), le théorème de
Thalès (proposition 2 du livre VI), plusieurs propositions
du livre III sur les propriétés des cercles, la
proposition 1 du livre X qui est la première proposition
relative à la notion de limite, etc. Ces résultats
(environ 50 propositions), si bien vérifiés pendant
des siècles, constituent donc le fondement solide de la
géométrie élémentaire de la poursuite
car :
« Si un théorème est largement connu et utilisé,
sa démonstration, fréquemment étudiée,
si des démonstrations alternatives ont été
inventées, sil a des applications et des généralisations
connus dans les domaines voisins, alors il est considéré
comme un «fond rocheux». En ce sens larithmétique
et la géométrie euclidienne sont des fonds rocheux.»
(Ph. J. Davis et R. Hersh, LUnivers mathématiques,
Bordas, 1985, p. 344). La géométrie euclidienne
peut être exposée, par exemple, sur la base du système
daxiomes dHilbert mais ce système, débarrassé
des repères intuitifs, est trop formel et difficile pour
les débutants. Ainsi on nessaye pas de mémoriser
toutes les démonstrations, mais leur étude est
très utile pour linitiation au raisonnement mathématique.
Notons que linégalité triangulaire et le
théorème de Thalès sont devenus progressivement
des propositions si familières quils sont parfois
utilisés comme des axiomes. Ainsi linégalité
triangulaire sert à définir la notion de distance
dans les espaces métriques abstraits.
Les «Eléments» dEuclide continuent ainsi
de jouer leur rôle, souligné par Maurice Cavering
:
« Cest dans les Eléments que les théorèmes
qui sapparentent le plus aux principes, qui sont les plus
simples et qui ont le plus daffinité avec les premières
hypothèses, sont rassemblés dans lordre convenable
; les démonstrations des autres propositions sen
servent comme de théorèmes bien connus et prennent
appui sur eux : Archimède dans ses écrits Sur la
Sphère et Cylindre, Apollonios et tous les autres se servent
manifestement des résultats démontrés dans
cet ouvrage, comme de principes reconnus ...
Il résulte donc de lensemble de ces considérations
que louvrage dEuclide justifie son titre, non seulement
par lordre auquel sont soumis les propositions qui y figurent,
lequel se veut synthétique,
mais aussi parce que lensemble de ces propositions est
conçu comme le réservoir de connaissances fondamentales
dans lequel il faut puiser pour établir dautres
résultas ... » ( Euclide, Les Eléments,
vol. 1, introd. générale par M. Caveing, trad.
et commentaire par B. Vitrac, PUF, 1990, p.86-87).
Effectivement chaque mathématicien constitue son réservoir
de connaissances fondamentales quil utilise pour ses recherches.
Laccumulation accélérée de ces connaissances
se passe actuellement pendant les années de la formation
mathématique supérieure et des études doctorales.
Pourtant ce livre montre bien quil suffit de connaître
les éléments de la géométrie élémentaire
classique pour commencer au collège ou au lycée
de vraies recherches mathématiques ce qui doit être
intéressant pour les enfants doués en mathématiques,
leurs parents et enseignants. Cest pourquoi, pour ces enfants
et pour tous les amateurs des mathématiques, nous avons
formulé les problèmes de la théorie des
JIPTO mathématiques :
Problème du «poursuivant». Trouver
une stratégie du «poursuivant» qui lui garantit
un résultat convenable.
Problème des «fugitifs». Trouver une
stratégie des «fugitifs» qui leur garantit
un résultat convenable.
Notons que, dans notre classement officiel, nous avons décrit
2480 versions principales du JIPTO.
Les enfants doués sont capables de comprendre les éléments
de la géométrie classique très tôt.
Citons « La vie de Monsieur Pascal écrite par Madame
Périer, sa soeur » qui rencontre la découverte
par Blaise Pascal (1623-1662), à onze ans, de la géométrie
dEuclide ... |