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© Editions
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On classe dhabitude les
mathématiques en «mathématiques élémentaires»
scolaires et en mathématiques supérieures universitaires,
ensuite viennent les différents domaines des «mathématiques
des chercheurs».
Je propose dappeler « les mathématiques euclidiennes
» une partie des mathématiques qui nest basée
que sur la géométrie dEuclide légèrement
retouchée. Nous sommes maintenant convaincus que ces mathématiques
ont de grandes perspectives de développement par les mathématiciens
professionnels mais aussi par les amateurs de mathématiques,
les enfants doués et les enseignants.
Le pas historique décisif dans le développement
des mathématiques et de lenrichissement considérable
du langage mathématique fut lémergence du
concept de fonction. Les fonctions et les relations sont utilisées
dans les mathématiques euclidiennes mais de façon
implicite.
Je me représente les mathématiques comme un langage
symbolique dont les notions et les règles sont claires
et strictes. En utilisant cette métaphore, on peut dire
que la géométrie a été la première
grande épopée écrite dans cette langue par
Euclide. Nous assistons à la création sur la base
de la langue mathématique de langues hybrides, moins strictes,
qui sont utilisées pour élaborer des dossiers les
plus convaincants possibles dans presque tous les domaines de
lactivité humaine. Ce processus est accéléré
par le développement de linformatique. Les philosophes
constatent «un phénomène historique majeur»
quon «entre dans lère de la modélisation»
qui «modifie profondément la nature même des
pratiques sociales dans les champs les plus divers» (Nicolas
Bouleau).
Léducation mathématique doit initier au concept
de fonction et à lutilisation des notions de la
fonction, de la correspondance et des autres relations mathématiques
dans la modélisation mathématique sur les exemples
à la portée des élèves. Jenvisage
de revenir à cette discussion après avoir écrit
le livre « Fonctions et modélisation des jeux dynamiques
». Dans ce livre je décrirai des modèles
mathématiques des JIPTO et autres jeux de poursuite, dabord,
avec lutilisation des relations algébriques simples
et des fonctions trigonométriques, puis, en cas général
des jeux dynamiques, avec des fonctions à plusieurs variables.
Je donnerai ensuite les définitions des différentes
stratégies et des classes des stratégies. Lensemble
de ces descriptions constituera un récit sur le JIPTO
et autres jeux dynamiques en termes mathématiques. Lexercice
de la «traduction en mathématiques» des règles
des versions du JIPTO est à la portée de tous et
donne un moyen efficace de lacquisition dune base
solide de la culture mathématique. Cette approche permet
détudier «en action» les notions des
mathématiques de base (équations, fonctions, notions
trigonométriques, notions de limite et de continuité,
etc.), en les introduisant au fur et au mesure de leur nécessité
et en étudiant leurs propriétés réellement
utilisées.
On peut appeler les « modèles analytiques »
les modèles mathématiques qui ne sont décrits
quavec lutilisation des fonctions (y compris de plusieurs
variables) et des autres notions mathématiques de base.
Notons que la modélisation
des stratégies marque le début de linitiation
au langage de la théorie mathématique des jeux.
La notion des stratégies optimales est claire dans le
cas où les intérêts des joueurs sont opposés
comme dans le cas des JIPTO de base. On peut montrer facilement
que la valeur optimale dun jeu est la même pour tous
les couples de stratégies optimales. Cette clarté
disparaît pour les jeux, où les intérêts
des joueurs ne sont pas opposés. Il nexiste plus
une notion doptimalité qui soit universellement
acceptable. Le langage de la théorie mathématique
des jeux contient des notions comme «compromis»,
«négociation», «promesse», «menace»,
«punition», «stabilité». Cet enrichissement
du vocabulaire mathématique est destiné à
faciliter la modélisation des situations réelles
de conflit et de compromis. Ces notions sont souvent formulées
dans des termes simples.
Le domaine des « mathématiques supérieures
» commence par les études des calculs différentiel
et intégral, ainsi que des équations différentielles.
Sans
notion de lintégrale il est impossible davoir
une idée claire des notions couramment utilisées
de laire dune surface et du volume des corps avec
des formes compliquées. Pourtant cette notion na
été éclaircie suffisamment quau XIXème
siècle. Ce fait montre la jeunesse de la langue mathématique
qui na constitué que récemment un vocabulaire
suffisamment riche pour être utilisée maintenant
avec une efficacité croissante. Cest pour mieux
aider les débutants à comprendre cette partie des
mathématiques et pour une initiation plus approfondie
à la modélisation mathématique que jécrirai
le livre « Introduction aux mathématiques supérieures
et aux jeux différentiels » avec lexplication
et létude des propriétés nécessaires
des notions mathématiques utilisées. La théorie
des jeux différentiels étudie les modèles
mathématiques de processus réels de la poursuite,
souvent dorigines militaires (poursuite dun avion
par un autre, manoeuvres desquive dun avion contre
une fusée, etc) et parfois des modèles économiques.
Afin de donner lexemple dun domaine des mathématiques
des chercheurs, jenvisage décrire le livre
« Théorie des ensembles et jeux dans les systèmes
généraux » où jexposerai la
théorie axiomatique des jeux dynamiques basée sur
la théorie des ensembles. Afin davoir un exposé
vraiment axiomatique, indépendant et le plus accessible
possible, jexposerai dans ce livre les parties utilisées
de la théorie des ensembles, de la logique mathématique,
de la topologie, etc.
On voit ainsi que létude de la géométrie
élémentaire de la poursuite aide à mieux
comprendre des concepts mathématiques de base, à
initier à la modélisation mathématique,
facilite laccès à létude de
la théorie de loptimisation et de la théorie
des jeux. Un des buts de lenseignement de la notion de
la modélisation mathématique est sa démystification
et lélaboration d'une pensée critique nécessaire.
Le faible niveau de la culture mathématique de la grande
majorité de la population peut avoir aujourdhui
des conséquences graves. Citons Nicolas Bouleau, auteur
du livre «Philosophies des mathématiques et de la
modélisation» (Editions de lHarmattan, 1999)
:
« Vis à vis des tromperies revêtues des discours
traditionnels, religieux, politiques, commerciaux, le propre
de la modélisation est de nous mettre en présence
de dossiers épais qui enfoncent leurs racines profondément
dans les sciences. Cela peut constituer des armes redoutables
pour entraîner la conviction, dautant plus que lopinion
est particulièrement naïve et ingénue en ce
registre ...
Nous nous trouvons sans doute dans une période de transition,
démunis devant les modèles simulacres de grande
science, sans outils de pensée équivalents à
ceux que Platon en son temps construisit. La position du scientifique
qui sastreint à épurer la formulation dun
problème dans un effort vers une rationalité objective
est souvent confondue avec celle de lexpert qui, engagé
dans une situation sociale où il joue le rôle de
maître duvre pour un maître douvrage,
utilise la modélisation comme moyen dexpression
dun projet, en visant, éventuellement, la naissance
de sentiments et de convictions par intérêt ...
Cest une question de culture et déducation.
Le métier de modélisation, quoique passionnant,
nest pas enseigné en tant que tel ... On nimaginerait
pas que lenseignement des lettres soit limité à
létude du style et de la pensée des grands
auteurs, les devoirs de composition française et les dissertations
consistant exclusivement à faire des pastiches de Victor
Hugo, de Madame de Sévigné ou dHomère.
Or cest ce qui se passe dans lenseignement scientifique.
La modélisation est pour les sciences léquivalent
de la dissertation, il ny a pas de corrigé unique.
On continue à former des spécialistes empreints
de certitudes, alors que lenjeu est de savoir dialoguer.
» («La modélisation comme langage et la question
de la connaissance utile», http://www.enpc.fr/HomePages/bouleau/papiers/c38.htm).
Dans la géométrie de la poursuite, il ny
a pas dobstacle majeur à lassimilation des
objets de modélisation, quon rencontre en essayant
dexpliquer les modèles mathématiques des
processus physiques, économiques, biologiques etc. (qui
exigent létude préalable des sciences correspondantes). |