
\documentclass{article}
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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {A1.6. OPERATIONS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


\begin{enumerate}
\item  : Remplir le tableau suivant : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{\small ensemble} & {\small op\'{e}ration} & {\small commutative ?} & 
{\small associative ?} & {\small distributive sur ?} & {\small elt. neutre}
& $\left\{ \text{{\small elts sym\'{e}trisables}}\right\} $ & {\small groupe
?} \\ \hline
$\mathbb{C}$ & $+$ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{C}$ & $-$ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{C}$ & $\times $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{C}^{\ast }$ & $\div $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{R}_{+}$ & exponentiation & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\overline{\mathbb{R}}$ & $\min $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\overline{\mathbb{R}}$ & $\max $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{N}$ & $+$ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{N}$ & $\func{pgcd}$ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{N}$ & $\func{ppcm}$ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathcal{P}\left( \mathbb{E}\right) $ & $\cap $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathcal{P}\left( \mathbb{E}\right) $ & $\cup $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathcal{P}\left( \mathbb{E}\right) $ & $\backslash $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathcal{P}\left( \mathbb{E}\right) $ & $\Delta $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{E}^{\mathbb{E}}$ & $\circ $ & $%
\begin{array}{c}
. \\ 
.%
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathbb{E}$ & $x\ast y=x$ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\overrightarrow{\mathbb{E}_{3}}$ & $\wedge $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
$\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) $ & $\times $ & $%
\begin{array}{c}
\  \\ 
\ 
\end{array}%
$ &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item : Soit $\ast $ une loi associative. Montrer que $e$ est neutre ssi $e$
est simplifiable et $e\ast e=e.$

\item : On dira qu'une loi est "commuciative" si elle v\'{e}rifie%
\begin{equation*}
\forall x,y,z\in E\ \ \ \left( x\ast y\right) \ast z=\left( y\ast z\right)
\ast x
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire d'une loi commuciative qui poss\`{e}de un \'{e}l\'{e}%
ment neutre ?

\item V\'{e}rifier que la loi d\'{e}finie sur $\mathbb{R}^{2}$ par $\left(
a,b\right) \ast \left( c,d\right) =\left( bc,0\right) $ est commuciative,
mais ni associative, ni commutative.
\end{enumerate}

\item : Soit $f$ une application d'un ensemble $\mathbb{E}$ non vide dans
lui m\^{e}me ; Montrer que

\begin{enumerate}
\item $f$ est simplifiable \`{a} gauche pour $\circ $ dans $\mathbb{E}^{%
\mathbb{E}}$ ssi $f$ est injective.

\item $f$ est simplifiable \`{a} droite pour $\circ $ dans $\mathbb{E}^{%
\mathbb{E}}$ ssi $f$ est surjective.

Ceci d\'{e}montre donc que $f$ est simplifiable ssi elle est sym\'{e}%
trisable pour $\circ .$
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}montrer par des raisonnements par r\'{e}currence \`{a}
partir des d\'{e}finitions donn\'{e}es dans le cours la commutativit\'{e} et
l'associativit\'{e} de l'addition et de la multiplication dans $\mathbb{N}$.

\item : D\'{e}terminer toutes les parties finies de $\mathbb{C}$ qui sont
stables pour la mutiplication.

\item : Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n\geqslant 1.$ D\'{e}nombrer
dans $E$ :

\begin{enumerate}
\item les lois de composition internes.

\item les lois commutatives.

\item les lois admettant un \'{e}l\'{e}ment neutre.

\item les lois commutatives admettant un \'{e}l\'{e}ment neutre.

\item * les lois admettant un \'{e}l\'{e}ment neutre et telles que tout \'{e}%
l\'{e}ment admet un sym\'{e}trique unique.\newline
Rep : (e) : $n!\left( n-1\right) ^{\left( n-1\right) \left( n-2\right) }$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Montrer que dans $\mathbb{R}_{+},$ la loi $\ast $ d\'{e}finie par $%
x\ast y=\left\vert x-y\right\vert $ est commutative, poss\`{e}de un \'{e}l%
\'{e}ment neutre et qu'elle est telle que tout \'{e}l\'{e}ment poss\`{e}de
un unique sym\'{e}trique, mais que $(\mathbb{R}_{+},\ast )$ n'est pas un
groupe.

\item Cette table d\'{e}finit-elle un groupe ? 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
{*}$\nearrow $ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
$e$ & $e$ & $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline
$a$ & $a$ & $e$ & $d$ & $b$ & $c$ \\ \hline
$b$ & $b$ & $c$ & $e$ & $d$ & $a$ \\ \hline
$c$ & $c$ & $d$ & $a$ & $e$ & $b$ \\ \hline
$d$ & $d$ & $b$ & $c$ & $a$ & $e$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item Trouver une loi associative, mais non commutative et sans \'{e}l\'{e}%
ment neutre.

\item Trouver une loi dans un ensemble $\mathbb{E}$ telle que tout \'{e}l%
\'{e}ment soit simplifiable, associative, ayant un \'{e}l\'{e}ment neutre
mais qui ne conf\`{e}re pas \`{a} $\mathbb{E}$ la structure de groupe.
\end{enumerate}

\item Montrer qu'une partie stable \textit{finie} non vide d'un groupe en
est un sous-groupe.

\item * : Soit $\ast $ une loi de composition dans $E$ associative, ayant un 
\'{e}l\'{e}ment neutre $e.$ Pour $a\in \mathbb{E},$ on pose : 
\begin{equation*}
f:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{E}\rightarrow \mathbb{E} \\ 
x\mapsto a\ast x%
\end{array}%
\right\vert \text{ et }g:\left\vert 
\begin{array}{c}
\mathbb{E}\rightarrow \mathbb{E} \\ 
x\mapsto x\ast a%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est injective ssi $a$ est simplifiable \`{a} gauche,
et que $f$ est surjective ssi $a$ poss\`{e}de un sym\'{e}trique \`{a} droite
; que dire de similaire pour $g$ ?

\item On suppose de plus $E$ fini. D\'{e}duire de (a) qu'alors sont \'{e}%
quivalentes les propositions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $a$ poss\`{e}de un sym\'{e}trique \`{a} droite

\item $a$ est simplifiable \`{a} droite

\item $a$ poss\`{e}de un sym\'{e}trique \`{a} gauche

\item $a$ est simplifiable \`{a} gauche

\item $a$ poss\`{e}de un sym\'{e}trique

\item $a$ est simplifiable.

Indication : commencer par montrer $i)\Rightarrow ii)\Rightarrow
iii)\Rightarrow iv)\Rightarrow i)$
\end{enumerate}

\item Que peut-on donc dire de $\left( E,\ast \right) $ si $E$ est fini et
si tout \'{e}l\'{e}ment de $E$ est simplifiable pour $\ast $ ?

\item En d\'{e}duire qu'une partie stable finie d'un groupe, contenant l'%
\'{e}l\'{e}ment neutre $e,$ en est un sous-groupe (plus faible que 9...)
\end{enumerate}

\item : Dans $E=\left] -1,1\right[ $ on pose $x\ast y=\dfrac{x+y}{1+xy}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x\ast y\in E$ (indication : $a\in E\Longleftrightarrow
a^{2}<1)$

\item Montrer que $\left( E,\ast \right) $ est un groupe commutatif.

\item * Montrer que $\left( E,\ast \right) $ est isomorphe \`{a} un groupe
bien connu.
\end{enumerate}

\item : Un produit semi-direct de deux groupes.

On d\'{e}finit dans $E=\mathbb{R}^{\ast }\times \mathbb{R}$ l'op\'{e}ration $%
\ast $ par $\left( x,y\right) \ast \left( x^{\prime },y^{\prime }\right)
=\left( xx^{\prime },y+xy^{\prime }\right) $ . Que peut-on dire de la
structure de $\left( E,\ast \right) $ ?

\item * : Soit $E$ un ensemble, et $\ast $ une op\'{e}ration dans $E.$ On d%
\'{e}finit $\overline{\ast }$ par $x\overline{\ast }y=y\ast x,$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( E,\overline{\ast }\right) $ peut ne pas \^{e}tre
isomorphe \`{a} $\left( \mathbb{E},\ast \right) .$

\item Montrer que si $\left( E,\ast \right) $ est un groupe, alors $\left( E,%
\overline{\ast }\right) $ est isomorphe \`{a} $\left( E,\ast \right) .$
\end{enumerate}

\item : Montrer qu'un groupe fini d'ordre pair poss\`{e}de au moins un \'{e}l%
\'{e}ment unipotent, autre que l'\'{e}l\'{e}ment neutre.\newline
(L'ordre d'un groupe est le nombre de ses \'{e}l\'{e}ments, et $x$ est
unipotent si $x^{2}=e$).

\item * : $\ast $ est une op\'{e}ration associative dans $E$ et $E\mathbb{%
\neq \emptyset }.$ On suppose que pour tout $a,b\in E,$ les \'{e}quations $%
a\ast x=b$ et $y\ast a=b$ admettent chacune au moins une solution (en $x$ et 
$y$ respectivement). \newline
Montrer que $\left( E,\ast \right) $ est un groupe.

\item :

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un anneau est int\`{e}gre ssi ses \'{e}l\'{e}ments non nuls
sont tous r\'{e}guliers pour la multiplication.

\item En utilisant (9. (b)) montrer que dans un anneau fini, un \'{e}l\'{e}%
ment est r\'{e}gulier ssi il est inversible. Que peut-on donc dire d'un
anneau int\`{e}gre fini ?
\end{enumerate}

\item : On consid\`{e}re le sous-ensemble $\mathcal{A}$ de $\mathfrak{M}%
_{2}\left( \mathbb{R}\right) $ form\'{e} des matrices de la forme $\left[ 
\begin{array}{cc}
a & 0 \\ 
0 & 0%
\end{array}%
\right] $ ; montrer que $\mathcal{A}$ est stable pour l'addition et la
multiplication, que $\left( \mathcal{A},+_{A},\times _{A}\right) $ est un
anneau, mais que pourtant $\mathcal{A}$ n'est pas un sous-anneau de $%
\mathfrak{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) $ au sens donn\'{e} dans le cours.

\item : Soient $a$ et $b$ deux r\'{e}els ; on augmente (alg\'{e}briquement)
une somme $S$ d'un pourcentage $a$ (c'est-\`{a} dire que $S$ devient $%
S^{\prime }=$ $S+aS$) puis on augmente $S^{\prime }$ d'un pourcentage $b$
(elle devient $S^{\prime \prime }$) ; on note $a\ast b$ le pourcentage
d'augmentation faisant passer directement de $S$ \`{a} $S^{\prime \prime }$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $a\ast b$ ; que valent $\left( 10\%\right) \ast \left(
10\%\right) $ et $\left( 10\%\right) \ast \left( -10\%\right) $ ?

\item Montrer l'associativit\'{e}, d\'{e}terminer un \'{e}l\'{e}ment neutre.

\item Etudier l'existence d'un sym\'{e}trique pour $a\in \mathbb{R}$ ; quel
est le sym\'{e}trique de 10\% ?

\item Montrer que $G=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1\right\} $ est une
partie stable pour $\ast $ et que $\left( G,\ast \right) $ est un groupe
commutatif.

\item On pose $a\overset{.}{+}b=a+b+1$ ; montrer que $\left( 
\begin{array}{c}
\mathbb{R},\overset{.}{+},\ast%
\end{array}%
\right) $ est un corps commutatif.
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer tous les corps $\mathbb{K}$ tels que $\forall x\in 
\mathbb{K}^{\ast }\;\;x^{-1}=x.$
\end{enumerate}

\end{document}
