\documentclass{article}
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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \large {A.4. DÉNOMBREMENTS ET PROBABILITÉS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL 16/17}}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\fbox{I. \textbf{D\'{E}NOMBREMENTS}}
\begin{enumerate}
\item : Soit $\mathbb{E}$ un ensemble de taille $n$ et $A$ une partie de $%
E\; $de taille $p$ ; d\'{e}nombrer les parties $X$ de $\mathbb{E}$ v\'{e}%
rifiant :
\begin{enumerate}
\item $A\cup X=A$
\item $A\cap X=\emptyset $
\item $A\cap X=A$
\item $A\cup X=\mathbb{E}$
\end{enumerate}
\item : Soit $\mathbb{E}$ un ensemble de cardinal $n$.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le nombre de couples $(A,B)$ de parties de $E$ v\'{e}%
rifiant $B\subset A.$\newline
Indication : discuter suivant le nombre d'\'{e}l\'{e}ments de $A$, et d\'{e}%
terminer le nombre de parties $B$ possibles dans chaque cas.
\item En d\'{e}duire le nombre de couples $(A,B)$ de parties de $E$ v\'{e}%
rifiant $A\cap B=\mathbb{\emptyset }.$
\item En d\'{e}duire le nombre de triplets $(A,B,C)$ de parties de $E$ v\'{e}%
rifiant $A\sqcup B\sqcup C=\mathbb{E}.$\newline
(la notation de la r\'{e}union avec des symboles \`{a} angles droit : $%
A\sqcup B\sqcup C$ signifie que les ensembles sont 2 \`{a} 2 disjoints)%
\newline
Retrouver ce dernier r\'{e}sultat par un raisonnement direct.
\item * G\'{e}n\'{e}raliser (c) \`{a} un nombre $p$ de parties de $\mathbb{E}
$.
\end{enumerate}
\item : Soit $\mathbb{E}$ un ensemble de cardinal $n$\thinspace , $p$ et $q$
deux entiers naturels dont la somme est $\leqslant n$ ;
\begin{enumerate}
\item On demande de d\'{e}nombrer de trois fa\c{c}ons diff\'{e}rentes les
couples $(A,B)$ o\`{u} $A$ et $B$ sont des parties disjointes de $E$ de
cardinaux respectifs $p$ et $q.$
\item En d\'{e}duire que $\left(
\begin{array}{c}
n \\
p%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{c}
n-p \\
q%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{c}
n \\
q%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{c}
n-q \\
p%
\end{array}%
\right) =\left(
\begin{array}{c}
n \\
p+q%
\end{array}%
\right) \left(
\begin{array}{c}
p+q \\
p%
\end{array}%
\right) $.
\item En d\'{e}duire par exemple : $\left( n-p\right) \left(
\begin{array}{c}
n \\
p%
\end{array}%
\right) =n\left(
\begin{array}{c}
n-1 \\
p%
\end{array}%
\right) =\left( p+1\right) \left(
\begin{array}{c}
n \\
p+1%
\end{array}%
\right) $
\end{enumerate}
\item :
\begin{enumerate}
\item Combien le mot \textit{mississippi }poss\`{e}de-t-il d'anagrammes ?
\item Quel est le coefficient de $mp^{2}s^{4}i^{4}$ dans $\left(
m+p+s+i\right) ^{11}$ ?
\item * G\'{e}n\'{e}raliser (a) et (b).
\end{enumerate}
\item *
\begin{enumerate}
\item D\'{e}nombrer les diagonales d'un polygone convexe \`{a} $n$ sommets.
\item Dans la suite, les diagonales sont consid\'{e}r\'{e}es comme des
droites (et non simplement comme le segment joignant deux sommets non cons%
\'{e}cutifs), et on consid\`{e}re un polygone convexe \`{a} $n$ sommets tel
que si deux diagonales se coupent, il n'y a pas d'autre diagonale passant
par leur point d'intersection.
On demande de d\'{e}nombrer les points d'intersection de diagonales situ\'{e}%
s \`{a} l'int\'{e}rieur du polygone et de d\'{e}nombrer ceux situ\'{e}s \`{a}
l'ext\'{e}rieur (\'{e}ventuellement \`{a} l'infini si les diagonales sont
parall\`{e}les).
REP : $n\left( n-3\right) /2,n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left(
n-3\right) /24,n\left( n-3\right) \left( n-4\right) \left( n-5\right) /12.$
\end{enumerate}
\item * : D\'{e}nombrement des surjections (voir aussi l'exercice 18).
Soit $S\left( n,p\right) $ le nombre de surjections d'un ensemble $\mathbb{E}
$ \`{a} $n$ \'{e}l\'{e}ments vers un ensemble \`{a} $p$ \'{e}l\'{e}ments. $%
\left( n\geqslant p\geqslant 0\right) $
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p^{n}=\underset{k=0}{\overset{p}{\dsum }}\left(
\begin{array}{c}
p \\
k%
\end{array}%
\right) S\left( n,k\right) .$
\item En d\'{e}duire $S\left( n,p\right) =\underset{k=0}{\overset{p}{\dsum }}%
\left( -1\right) ^{k}\left(
\begin{array}{c}
p \\
k%
\end{array}%
\right) \left( p-k\right) ^{n}=p^{n}-p\left( p-1\right) ^{n}+\left(
\begin{array}{c}
p \\
2%
\end{array}%
\right) \left( p-2\right) ^{2}-.....$
\item Montrer que le nombre de partitions de $\mathbb{E}$ est $\dfrac{%
S\left( n,1\right) }{1!}+\dfrac{S\left( n,2\right) }{2!}+\cdots +\dfrac{%
S\left( n,n\right) }{n!}.$
\end{enumerate}
\item * : D\'{e}nombrer les applications surjectives d'un ensemble \`{a} $%
n+1 $ (resp. $n+2,n+3)$ \'{e}l\'{e}ments sur un ensemble \`{a} $n$ \'{e}l%
\'{e}ments ; ** g\'{e}n\'{e}raliser \`{a} $n+k.$
\item : On consid\`{e}re les $n^{p}$ $p$-listes d'entiers entre 1 et $n.$
\begin{enumerate}
\item Combien y en a -t -il parmi elles qui sont strictement croissantes ?
\item * Combien y en a-t-il parmi elles qui sont croissantes ?
Id\'{e}e : transformer bijectivement une liste croissante en liste
strictement croissante.
\end{enumerate}
\item * : Probl\`{e}me de Montmort.\newline
Soit $d_{n}$ le nombre de \textquotedblright d\'{e}rangements%
\textquotedblright\ d'un ensemble $E$ \`{a} $n$ \'{e}l\'{e}ments (un d\'{e}%
rangement est une application $f$ bijective de $E$ dans $E$ telle que $%
f(x)\neq x$ pour tout $x$ dans E).
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour $n\geqslant 3$ $d_{n}=\left( n-1\right) \left(
d_{n-1}+d_{n-2}\right) $
\item En d\'{e}duire que pour $n\geqslant 2$ $d_{n}=nd_{n-1}+\left(
-1\right) ^{n}.$
\item En d\'{e}duire une expression de $d_{n}.$
\item Quelle est la probabilit\'{e} qu'une secr\'{e}taire mettant au hasard
10 lettres dans 10 enveloppes, aucune des lettres ne soit dans son enveloppe
?
\end{enumerate}
\item : Le paradoxe des anniversaires (cf ausi un sujet d'\'{e}tude).
On choisit au hasard une application $f$ de $\mathbb{E}_{n}$ dans $\mathbb{E}%
_{N}$ ( $n\leqslant N)$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'{e} que $f$ soit injective ?
\item Quelle est la probabilit\'{e} que dans votre classe, il y ait au moins
deux \'{e}l\`{e}ves qui soient n\'{e}s le m\^{e}me jour de l'ann\'{e}e
(compter 365 jours par an) ?
\item * Quelle est la probabilit\'{e} qu'il y ait exactement deux \'{e}l\'{e}%
ments qui aient la m\^{e}me image par $f$ (et les autres ont des images
distinctes) ?
\item * Quelle est la probabilit\'{e} que dans votre classe, il y ait au
moins deux groupes disjoints de deux \'{e}l\`{e}ves qui soient n\'{e}s le m%
\^{e}me jour de l'ann\'{e}e ?
\end{enumerate}
\item * : Les familles intersectantes.
\'{E}tant donn\'{e} un ensemble fini $E$ ayant $n$ \'{e}l\'{e}ments, on d%
\'{e}signe par \textit{famille intersectante}, un ensemble $\mathcal{F}$ de
parties de $E$ telles que deux d'entre elles ont toujours au moins un \'{e}l%
\'{e}ment en commun.
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ un \'{e}l\'{e}ment d'une famille intersectante $\mathcal{F}$
; que peut-on dire de $\overline{F}$ ? En d\'{e}duire que $\left\vert
\mathcal{F}\right\vert \leqslant 2^{n-1}$ .
\item Montrer qu'il existe une famille intersectante compos\'{e}e de $%
2^{n-1} $ parties.
\end{enumerate}
\fbox{II. \textbf{PROBABILIT\'{E}S}}
\item Concernant les exp\'{e}riences al\'{e}atoires suivantes, on demande de
donner l'univers des possibles $\Omega $ correspondant, ainsi que la valeur
de la probabilit\'{e} des \'{e}v\`{e}nements \'{e}l\'{e}mentaires.
\begin{enumerate}
\item Tirer simultan\'{e}ment 8 cartes d'un jeu de 32 cartes.
\item Jeter $k$ fois un d\'{e} \'{e}quilibr\'{e} \`{a} $n$ faces.
\item L'exp\'{e}rience concerne les sexes des enfants des familles \`{a} $n$
enfants, et l'on sait que la proportion des filles parmi les naissances vaut
$p$. A quelle exp\'{e}rience classique est-elle (math\'{e}matiquement !)
\'{e}quivalente ?
\item L'exp\'{e}rience consiste en la recherche r\'{e}p\'{e}t\'{e}e $k$ fois
de la bonne cl\'{e} parmi $n$ cl\'{e}s devant ouvrir une porte :
\begin{enumerate}
\item avec remise de la cl\'{e} en jeu \`{a} chaque fois.
\item avec mise de c\^{o}t\'{e} de la cl\'{e}.
\end{enumerate}
\item L'exp\'{e}rience consiste en $p$ tirages successifs d'une boule d'une
urne renfermant $n$ boules blanches et $n$ boules noires.
\begin{enumerate}
\item Avec remise
\item Sans remise.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item 6 personnes lancent chacune un d\'{e}. Quelle est la probabilit\'{e}
\begin{enumerate}
\item que tout le monde ait un six?
\item qu'au moins une personne ait un six?
\item que personne n'ait de 6 ni de 5 ?
\item que tout le monde ait un nombre diff\'{e}rent ?
\item Qu'il y ait trois 6 exactement ?
\end{enumerate}
\item On tire simultan\'{e}ment 4 cartes d'un jeu de 32 cartes. Quelles sont
les probabilit\'{e}s des \'{e}v\`{e}nements suivants :
\begin{enumerate}
\item A : avoir un as au moins
\item B : avoir 4 as
\item C : avoir la dame de coeur.
\end{enumerate}
\item Les $n$ chansons d'une play-list arrivent dans un ordre al\'{e}atoire
; quelle est la probabilit\'{e} que les chansons 1 et 2 arrivent l'une apr%
\`{e}s l'autre dans cet ordre ?
\item $n$ personnes lancent chacune successivement un d\'{e} \`{a} 6 faces.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'{e} $p_{n}$ d'obtenir une liste de r\'{e}%
sultats strictement croissante ? Donner les $p_{n}$ en pourcentages approch%
\'{e}s pour $n$ entre 1 et 6.
\item Quelle est la probabilit\'{e} $q_{n}$ d'obtenir une liste de r\'{e}%
sultats croissante ? (cf ex 8). Donner les $q_{n}$ en pourcentages approch%
\'{e}s pour $n$ entre 1 et 6.
\item Soit $r_{n}$ la probabilit\'{e} que tous les nombres de 1 \`{a} 6
soient sortis au moins une fois.
\begin{enumerate}
\item Donner $r_{k}$ pour $1\leqslant k\leqslant 6.$
\item * Calculer $r_{n}$ \`{a} l'aide de la formule de Poincar\'{e}
(exercice suivant).
R\'{e}ponse : $\dfrac{1}{6^{n}}\overset{6}{\underset{k=1}{\dsum }}\left(
-1\right) ^{k}\left(
\begin{array}{c}
6 \\
k%
\end{array}%
\right) k^{n}$
\item D\'{e}terminer la limite de $r_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item *: La formule du crible (ou de Poincar\'{e}).
Soient $A_{1},...,A_{n}$ $n$ \'{e}v\`{e}nements d'un espace probabilis\'{e}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P\left( \underset{k=1}{\overset{n}{\dbigcup }}%
A_{k}\right) =\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\left( -1\right)
^{k+1}\left( \underset{1\leqslant i_{1}<..0.$ V\'{e}rifier que%
\begin{equation*}
P\left( A|\left( B\cap C\right) \right) =P_{B}\left( A\cap B|C\right)
=P_{C}\left( A\cap C|B\right)
\end{equation*}
\item Soient $B$ et $C$ deux \'{e}v\`{e}nements ind\'{e}pendants de
probabilit\'{e} non nulle. V\'{e}rifier que%
\begin{equation*}
P\left( A|B\right) =P\left( A|B\cap C\right) P\left( C\right) +P\left(
A|B\cap \overline{C}\right) P\left( \overline{C}\right)
\end{equation*}
\item Un paradoxe classique sur le conditionnement.
Sachant qu'une famille \`{a} deux enfants a d\'{e}j\`{a} au moins une fille,
quelle est la probabilit\'{e} que l'autre enfant soit un gar\c{c}on ?
REP : 2/3, car $\Omega =\left\{ FF,FG,GF\right\} $ avec \'{e}quiprobabilit%
\'{e}.
\item On consid\`{e}re pour une famille de $n$ enfants les \'{e}v\`{e}%
nements :
A : il y a au plus une fille
B : il y a au moins une fille et au moins un gar\c{c}on.
Y a-t-il des valeurs de $n$ pour lesquelles ces \'{e}v\`{e}nements sont ind%
\'{e}pendants ?
REP : $X=$nombre de filles ; $P\left( A\right) =P\left( X=0\right) +P\left(
X=1\right) =\dfrac{1+n}{2^{n}}.$
$P\left( B\right) =P\left( 1\leqslant X\leqslant n-1\right) =1-P\left(
X=0\right) -P\left( X=n\right) =1-\dfrac{2}{2^{n}};$ $P\left( A\cap B\right)
=P\left( X=1\right) =\dfrac{n}{2^{n}}.$
Alors $P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) P\left( B\right)
\Leftrightarrow \left( n+1\right) \left( 2^{n}-2\right)
=n2^{n}\Leftrightarrow n=3.$
\item Une maladie frappe une proportion $m=1/1000$ de la population. Un test
est propos\'{e}, mais parmi les non-malades une proportion $a=5\%$ a un r%
\'{e}sultat positif au test, et parmi les malades, une proportion $b=2\%$
est d\'{e}tect\'{e}e n\'{e}gative.
Quelle est la probabilit\'{e} d'\^{e}tre malade quand on a un r\'{e}sultat n%
\'{e}gatif, et quelle est la probabilit\'{e} d'\^{e}tre bien portant quand
on a un r\'{e}sultat positif ?
REP : $bm/(bm+(1-a)(1-m))\simeq 2\%$ et $a(1-m)/(a(1-m)+m(1-b))$ $\simeq 95\%
$ .
L'\'{e}normit\'{e} de ce dernier r\'{e}sultat consiste est appel\'{e}e
"paradoxe du faux positif".
\item Paradoxe du faux positif, autre r\'{e}daction.
Une maladie a une pr\'{e}valence $p$ (proportion des malades dans la
population) ; un test d\'{e}tectant cette maladie a un taux de faux positifs
$q$ (proportion de r\'{e}sultats positifs parmi les non malades).
Une personne a un r\'{e}sultat positif au test ; soit $r$ la probabilit\'{e}
quelle soit malade.
Montrer que $r\leqslant \dfrac{p}{p+q\left( 1-p\right) }\leqslant \dfrac{p}{q%
}.$
Si $p$ est petit devant $q$, $r$ est alors petit, d'o\`{u} le paradoxe. Par
exemple, pour $p=1/10\ 000$ et $q=1\%,$ (le test est donc fiable \`{a}
99\%), $r\leqslant 1\%$ !!!
\item D\'{e}terminer la probabilit\'{e} d'avoir un full (i.e. un brelan,
soit 3 cartes de la m\^{e}me valeur, et une paire) dans une main de 5 cartes
prise au hasard dans un jeu de 32 cartes, en utilisant les probabilit\'{e}s
conditionnelles.
REP : 6/899.
\item : Huit \'{e}quipes de foot disputent les quarts de finale, 5
allemandes et les 3 autres de diff\'{e}rents pays. Quelle est la probabilit%
\'{e} que ces 3 pays rencontrent les Allemands ? Utiliser les probabilit\'{e}%
s conditionnelles.
REP : 4/7.
\item Je ne retrouve plus mes lunettes qui se trouvent dans l'une des $n$ pi%
\`{e}ces de mon appartement. J'\'{e}value \`{a} $p_{i}$ la probabilit\'{e}
que mes lunettes se trouvent dans la pi\`{e}ce num\'{e}ro $i$.
\begin{enumerate}
\item Mes lunettes ne sont pas dans la pi\`{e}ce $n%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
1$ ; quelle est la probabilit\'{e} qu'elles soient dans la pi\`{e}ce $n%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
2?$
\item Mes lunettes ne sont dans aucune des pi\`{e}ces de num\'{e}ros $1$
\`{a} $i-1$ ; quelle est la probabilit\'{e} qu'elles soient dans la pi\`{e}%
ce n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
i$ ?
REP : $\dfrac{p_{i}}{1-p_{1}-...-p_{i-1}}=\dfrac{p_{i}}{p_{i}+...+p_{n}}.$
\end{enumerate}
\item Transmission avec erreurs.
Des personnes num\'{e}rot\'{e}es 1,2,3, etc se transmettent dans cet ordre
une information ; mais chaque personne donne comme information \`{a} la
personne suivante le \textit{contraire} de l'information re\c{c}ue avec une
probabilit\'{e} $p$.
Quelle est la probabilit\'{e} $p_{n}$ que la $n-$i\`{e}me personne re\c{c}%
oive l'information correcte ? Quelle est la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend
vers l'infini ?
Indication : chercher d'abord la relation entre $p_{n}$ et $p_{n-1}.$
REP : $p_{n}=\left( 1-p\right) p_{n}+p\left( 1-p_{n}\right) =\left(
1-2p\right) p_{n-1}+p$ ; $\left( p_{n}-1/2\right) =\left( 1-2p\right) \left(
p_{n}-1/2\right) =\dfrac{\left( 1-2p\right) ^{n}}{2}.$\newline
Si $p=1,$ $p_{n}=\dfrac{1+\left( -1\right) ^{n}}{2},$ dans les autres cas, $%
p_{n}\rightarrow \dfrac{1}{2}.$
\item Les bonnes r\'{e}solutions.
Un fumeur imp\'{e}nitent essaie de ne plus fumer. La probabilit\'{e} qu'il
ne fume pas un jour donn\'{e} est $p$ s'il a fum\'{e} la veille et $q$ s'il
n'a pas fum\'{e} la veille.
Quelle est la probabilit\'{e} $p_{n}$ qu'il ne fume pas le $n$-i\`{e}me jour
?
Limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini ?
\fbox{IV. \textbf{VARIABLES AL\'{E}ATOIRES.}}
\item On joue $n$ fois \`{a} pile ou face, avec une probabilit\'{e}
d'apparition de pile \'{e}gale \`{a} $p$.
\begin{enumerate}
\item Quels sont l'esp\'{e}rance et l'\'{e}cart-type du nombre de pile ?
On rappelle la formule du pion : $\left(
\begin{array}{c}
n \\
k%
\end{array}%
\right) =\dfrac{n}{k}\left(
\begin{array}{c}
n-1 \\
k-1%
\end{array}%
\right) ;$
pour la variance, on pourra commencer par calculer $E\left( X\left(
X-1\right) \right) .$
\item 6 personnes lancent un d\'{e}. Quels sont l'esp\'{e}rance et l'\'{e}%
cart-type du nombre de 6 ?
\end{enumerate}
\item Les dominos.
On fabrique un jeu de dominos en utilisant tous les nombres de 0 \`{a} $n.$
Toutes les combinaisons de 2 nombres sont utilis\'{e}es, et il y a aussi $n+1
$ "doubles". Pour chaque question, on fera l'application num\'{e}rique $n=6$
(jeu de domino classique).
\begin{enumerate}
\item Combien y a -t il de dominos en tout ? Soit $u_{n}$ ce nombre.
\item Si l'on consid\`{e}re l'ensemble de ces $u_{n}$ dominos, combien de
fois un nombre donn\'{e} entre 0 et $n$ appara\^{\i}t-il ? En d\'{e}duire la
somme $S_{n}$ de tous les nombres \'{e}crits sur ces $u_{n}$ dominos.
\item En d\'{e}duire l'esp\'{e}rance de la somme $X$ des deux nombres \'{e}%
crits sur un domino.
\item * D\'{e}terminer l'\'{e}cart-type de cette somme.
REP : on peut mod\'{e}liser l'ensemble des dominos par $\Omega =\left\{
\left( i,j\right) \in \left[ \left\vert 0,n\right\vert \right] \ /\
i\leqslant j\right\} $
$u_{n}=\dfrac{\left( n+1\right) \left( n+2\right) }{2}=28;S_{n}=\dfrac{%
n\left( n+1\right) ^{2}}{2}=147$ ; $E\left( X\right) =\dfrac{S_{n}}{u_{n}}=n%
\dfrac{n+1}{n+2}=21/4.$
\end{enumerate}
\item Fonction g\'{e}n\'{e}ratrice d'une variable al\'{e}atoire enti\`{e}re.
Etant donn\'{e} une varable al\'{e}atoire $X$ \`{a} valeurs dans $\left[
\left\vert 0,n\right\vert \right] ,$ on pose pour $x$ r\'{e}el $G_{X}\left(
x\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{\dsum }}P\left( X=k\right) x^{k}.$
\begin{enumerate}
\item Dans le cas o\`{u} $X$ est le nombre de "pile" dans un jeu de $n$ pile
ou face, avec une probabilit\'{e} d'apparition de "pile" : $p,$ calculer $%
G_{X}\left( x\right) .$
\item D'une fa\c{c}on g\'{e}n\'{e}rale, que valent $G_{X}\left( 1\right)
,G_{X}^{\prime }\left( 1\right) ,G_{X}^{\prime \prime }\left( 1\right) $ ?
\item En d\'{e}duire le calcul de $E\left( X\right) $ et celui de $V\left(
X\right) $ dans le cas du a).
\end{enumerate}
\item Une marque de chocolat offre dans chaque tablette une image d'une
collection en comportant $n$.
Il y a \'{e}quir\'{e}partition des images de chaque type dans les diverses
tablettes.
\begin{enumerate}
\item *On ach\`{e}te $m$ tablettes. Quelle est l'esp\'{e}rance du nombre
d'images distinctes obtenues ?
\item ** Quelle est l'esp\'{e}rance du nombre de tablettes \`{a} acheter
pour avoir la collection compl\`{e}te ?
\end{enumerate}
\item * Un roller tente de sauter au-dessus de barri\`{e}res plac\'{e}es les
unes \`{a} la suite des autres. On suppose que s'il a r\'{e}ussi \`{a}
sauter $n-1$ barri\`{e}res, la probabilit\'{e} de succ\`{e}s de saut d'une
suite de $n$ barri\`{e}res est \'{e}gale \`{a} $1/n$. Le roller rajoute une
barri\`{e}re apr\`{e}s chaque saut et s'arr\`{e}te \`{a} son premier \'{e}%
chec.
Soit $X$ le nombre de barri\`{e}res que le roller arrive \`{a} sauter.
On demande la loi de probabilit\'{e} de $X,$ son esp\'{e}rance, et sa
variance.
REP : $E\left( X\right) =e-1,V\left( X\right) =e\left( e-3\right) .$
\item * D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance du minimum de $p$ nombres distincts
choisis au hasard dans $\left[ \left\vert 1,n\right\vert \right] $ ; en d%
\'{e}duire l'esp\'{e}rance de leur maximum.
\item Une loterie poss\`{e}de $n$ billets dont $p$ sont gagnants ;
\begin{enumerate}
\item Ayant achet\'{e} $q$ billets, quelle probabilit\'{e} ai-je d'en avoir
au moins un gagnant ? Application num\'{e}rique : $n=1000,p=30,\ $d\'{e}%
terminer $q$ pour que cette probabilit\'{e} soit sup\'{e}rieure \`{a} 1/2.\
\item * Quelle est la probabilit\'{e} d'avoir exactement $k$ billets
gagnants ?
\item * Quelle est l'esp\'{e}rance du nombre de billets gagnants parmi mes
billets ? Pour quel $q$ cette esp\'{e}rance est-elle sup\'{e}rieure \`{a} 1 ?
\item * Sachant que chaque lot vaut en moyenne $r$ euros et que chaque
billet co\^{u}te $s$ euros, d\'{e}terminer l'esp\'{e}rance de gain quand
j'ach\`{e}te $q$ billets (\`{a} savoir l'esp\'{e}rance de l'argent rapport%
\'{e} par les lots moins les $qs$ euros).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}