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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {B1.VII. INTEGRATION}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\begin{enumerate}
\item : Parmi les int\'{e}grales suivantes, lesquelles sont des int\'{e}%
grales de fonctions continues ou de fonctions prolongeables en des fonctions
continues sur l'intervalle (ferm\'{e}) d'int\'{e}gration ? Pour les autres,
peut-on quand-m\^{e}me leur donner un sens ? \ 
\begin{eqnarray*}
1 &:&\dint_{0}^{2}\frac{dx}{x-1}\quad ;\quad 2:\int_{0}^{2}\frac{%
x^{3}-x^{2}+x-1}{x-1}dx\quad ;\quad 3:\int_{0}^{1}\ln xdx\quad ;\quad
4:\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\tan xdx\quad ;\quad 5:\int_{0}^{\frac{1}{\pi }%
}\sin \frac{1}{x}dx \\
6 &:&\int_{0}^{\frac{1}{\pi }}x\sin \frac{1}{x}dx\quad ;\quad
7:\int_{0}^{\pi }\frac{\sin x}{x}dx\quad ;\quad 8:\int_{0}^{1}x^{x}dx\quad .
\end{eqnarray*}

\item : Moyenne, variance et \'{e}cart-type.

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b],$ $a\neq b$ ; on rappelle que la
(valeur) moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $M\left( f\right) =\dfrac{%
\int_{a}^{b}f}{b-a}$ ; on d\'{e}finit la variance de $f$ comme \'{e}tant la
moyenne du carr\'{e} de l'\'{e}cart de $f$ avec sa moyenne : 
\begin{equation*}
V\left( f\right) =M\left( \left( f-M\left( f\right) \right) ^{2}\right)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $V\left( f\right) =M\left( f^{2}\right) -\left( M\left(
f\right) \right) ^{2}.$

\item On d\'{e}finit l'\textit{\'{e}cart-type} de $f$ sur $[a,b]$ comme la
racine carr\'{e}e de sa variance ; montrer que l'\'{e}cart-type d'une
fonction sinuso\"{\i}dale sur une p\'{e}riode est \'{e}gal \`{a} son
amplitude divis\'{e}e par $\sqrt{2}$ ; faire le lien avec l'intensit\'{e}
efficace d\'{e}finie en \'{e}lectricit\'{e}.

\newline
\fbox{CALCULS DE PRIMITIVES}
\end{enumerate}

\item : Entra\^{\i}nement au calcul de primitives ou d'int\'{e}grales d\'{e}%
finies.\newline
- S'il y a plusieurs intervalles d'int\'{e}gration (sur lesquels $f$ est
continue) mentionnez-le.

- Abusez du changement de variables, m\^{e}me l\`{a} o\`{u} on int\'{e}grait
\textquotedblleft \`{a} vue\textquotedblright\ en terminale S.

\begin{enumerate}
\item \underline{premi\`{e}re s\'{e}rie} : 
\begin{eqnarray*}
\mathbf{1} &:&\int \left( 3x^{2}-5x\right) ^{2}\left( 6x-5\right) dx\quad ;\;%
\mathbf{2}:\int_{0}^{\pi /2}\cos ^{2}x\sin x~dx\;;\mathbf{3}:\int \tan
^{2}x~dx\;;\;4:\int \dfrac{dx}{1+\cos x} \\
5 &:&\int \frac{dx}{\left( a\cos x+b\sin x\right) ^{2}}\;\text{(\'{e}crire }%
a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos \left( x-\alpha \right) \text{) ; }%
\mathbf{6}:\int \cot ^{2}x~dx\quad ; \\
\;\mathbf{7} &:&\int \frac{x^{2}}{\left( x^{3}+2\right) ^{2}}dx\quad ;\;%
\mathbf{8}:\int \frac{\sin x}{\cos ^{4}x}dx\quad ;\;\mathbf{9}:\int_{0}^{1}%
\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+x+1}}dx\text{ }; \\
\quad \mathbf{10} &:&\int \frac{dx}{\cos ^{2}x\sqrt{\tan x}}\quad ;\mathbf{%
\;11}:\int_{0}^{\pi /2}\sin x\sin \left( \cos x\right) dx\quad ;\;\mathbf{12}%
:\int \sin ^{2}x~dx\quad ;\;\mathbf{13}:\int_{0}^{\pi /2}\cos ^{2}x~dx\;; \\
\,\mathbf{14} &:&\int \sin ^{3}x~dx\quad ;\;\mathbf{15}:\int_{0}^{\pi
/2}\cos ^{3}x~dx\quad ;\;\mathbf{16:}\int \frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{4}x}%
dx\quad ;\;\mathbf{17}:\int \frac{dx}{\cos ^{4}x} \\
\mathbf{18} &:&\int \frac{\ln x}{x}dx\text{ \thinspace };\;\mathbf{19}%
:\int_{0}^{1}x^{2}10^{x^{3}}dx\quad ;\;\mathbf{20}:\int \left( \cos x\right)
10^{\sin x}dx\quad ;\;\;
\end{eqnarray*}

\item \underline{deuxi\`{e}me s\'{e}rie} : autour de $\dint \dfrac{du}{u}%
=\ln \left\vert u\right\vert +C$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{l}
$\mathbf{21}:\dint \dfrac{dx}{x\ln x}\;\mathbf{22}:\dint \tan x~dx\quad ;\;2%
\mathbf{3}:\dint \cot x~dx\quad ;\;$ \\ 
$2\mathbf{4:}\dint \dfrac{dx}{\sin x}\quad $a) $u=\cos x$ ; b) $t=\tan \frac{%
x}{2}$ (r\'{e}sultat $\ln \left\vert \tan \dfrac{x}{2}\right\vert $\`{a}
conna\^{\i}tre) \\ 
$\mathbf{25}:\dint \dfrac{dx}{\cos x}\quad a)$ se ramener au cas pr\'{e}c%
\'{e}dent ; b) en poser $u=\sin x;$ \\ 
$\mathbf{26}:\dint \dfrac{dx}{a\cos x+b\sin x}\;\text{(\'{e}crire }a\cos
x+b\sin x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin \left( x+\alpha \right) \text{)}$ \\ 
$\mathbf{27}:f\left( x\right) =\dint \dfrac{\cos x~dx}{\cos x+\sin x}\text{
et }g\left( x\right) =\dint \dfrac{\sin x~dx}{\cos x+\sin x}\text{ }\text{%
(calculer }f(x)\pm g(x)\text{)};$%
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\newline

\item \underline{troisi\`{e}me s\'{e}rie} : int\'{e}gration par parties 
\begin{eqnarray*}
\;\mathbf{28} &:&\int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx\quad ;\;\mathbf{29}:\int x^{2}\sin
xdx\quad ;\;\,\,\,\mathbf{30}:\int x\arctan xdx\quad ;\;\mathbf{31}\int x\ln
xdx\quad ;\; \\
\mathbf{32} &:&\int e^{\sqrt{x}}dx\,\,\,;\mathbf{7}:\int_{0}^{\pi ^{2}}\sin 
\sqrt{x}dx\;;\;33:\int e^{x}\sin xdx\;;\;34:\int \cos (\ln x)dx\,\;
\end{eqnarray*}

\item \underline{quatri\`{e}me s\'{e}rie} : autour de $\int \dfrac{du}{%
1+u^{2}}=\arctan u+C$%
\begin{eqnarray*}
\mathbf{36} &:&\int \frac{dx}{x\left( 1+\ln ^{2}x\right) }\quad ;\;\mathbf{37%
}:\int \frac{xdx}{1+x^{4}};\mathbf{38}:\int \frac{dx}{\limfunc{ch}x}\quad ;\;%
\mathbf{39}:\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}\quad (a>0)\,;\;\quad \\
\mathbf{40} &:&\int \frac{x^{k}}{x^{2}+1}dx\text{ pour }k=0,1,2,3;\;\mathbf{%
41}:\int \frac{x^{k}}{x^{2}+x+1}dx\text{ (idem)}
\end{eqnarray*}

\item \underline{cinqui\`{e}me s\'{e}rie} : autour de $\dint \dfrac{du}{%
\sqrt{1-u^{2}}}=\arcsin u+C$%
\begin{eqnarray*}
4\mathbf{1} &:&\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\quad (a>0)\text{ };\;4%
\mathbf{2}:\int \frac{dx}{\sqrt{-x^{2}-2x}}\quad ;4\mathbf{3}:\int \sqrt{%
\frac{1+x}{1-x}}dx\quad ;\mathbf{44}:\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}dx\quad ;
\\
\;\;4\mathbf{5} &:&\int \frac{x+1}{\sqrt{\left( x-1\right) \left( 2-x\right) 
}}dx
\end{eqnarray*}

REP : 45 : $-\sqrt{\left( x-1\right) \left( 2-x\right) }+\dfrac{5}{2}$arcsin$%
(2x-3).$

\item \underline{sixi\`{e}me s\'{e}rie} : fractions rationnelles

\begin{equation*}
\mathbf{46}:\int \frac{dx}{x^{2}-1}\quad ;\;\mathbf{47}:\int \frac{x^{3}}{%
x^{2}-1}dx\quad ;\mathbf{48}:I_{n}=\int \frac{1}{\left( x^{2}+1\right) ^{n}}%
dx\text{ ; int\'{e}grer par partie et en d\'{e}duire que }
\end{equation*}%
$\;$ 
\begin{equation*}
\quad \text{ }I_{n+1}=\dfrac{1}{2n}\dfrac{x}{\left( x^{2}+1\right) ^{n}}+%
\dfrac{2n-1}{2n}I_{n};\text{ en d\'{e}duire }I_{2}\text{\textbf{\ ; }}%
\mathbf{49}:\int \frac{dx}{\left( x^{2}+x+1\right) ^{2}}.
\end{equation*}

\item \underline{septi\`{e}me s\'{e}rie} : fractions rationnelles en $\cos $
et $\sin $%
\begin{eqnarray*}
\mathbf{50} &:&\int \frac{\sin ^{3}x}{\cos x}dx\text{ (poser }u=\cos x\text{)%
}\;;\;\mathbf{51}:\int \frac{dx}{\cos ^{3}x}\text{ (poser }u=\sin x\text{)}\;
\\
\mathbf{52} &:&\int \frac{dx}{a^{2}\cos ^{2}x+b^{2}\sin ^{2}x};a,b>0\;\text{%
(poser }u=\frac{b}{a}\tan x\text{) ; }\mathbf{53}:\int \frac{dx}{a+b\cos x}%
\;;a>\left\vert b\right\vert \;\text{(poser }t=\tan \frac{x}{2}\text{)}
\end{eqnarray*}%
pour $\mathbf{52}$ et $\mathbf{53}$ en d\'{e}duire la moyenne sur une p\'{e}%
riode de la fonction \`{a} int\'{e}grer.

Rep : \ 52 : $\dfrac{1}{ab}\arctan \left( \dfrac{b}{a}\tan x\right) +C$ ;
moyenne = $\dfrac{1}{ab}$ ;

53 : $\dfrac{2}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\arctan \left( \sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}%
\tan \dfrac{x}{2}\right) +C$ ; moyenne = $\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}.$

\item \underline{huiti\`{e}me s\'{e}rie} : fractions rationnelles en $\exp $
(poser $u=e^{x})$ 
\begin{equation*}
\;\mathbf{54}:\int \frac{dx}{\left( e^{x}+1\right) ^{2}}\quad ;\;\mathbf{55}%
:\int \frac{dx}{2+\limfunc{ch}x}\quad ;\;\mathbf{56}:\int \frac{\limfunc{ch}%
2x}{\limfunc{sh}3x}dx
\end{equation*}

Rep : 55 : $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ln \dfrac{e^{x}+2-\sqrt{3}}{e^{x}+2+\sqrt{3}}%
+C$ ; 56 : $\dfrac{1}{3}\ln \left( \text{th}\dfrac{x}{2}\right) +\dfrac{1}{6}%
\ln \left( \dfrac{e^{2x}-e^{x}+1}{e^{2x}+e^{x}+1}\right) +C.$

\item \underline{neuvi\`{e}me s\'{e}rie} : fractions rationnelles en $x$ et
en $\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$ (poser $u=\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$) 
\begin{equation*}
\mathbf{57}:\int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x}dx\;\text{\ };\;\mathbf{58}:\int \sqrt{%
1+\dfrac{1}{x}}dx\ \ ;\ \mathbf{59}:\int \dfrac{\sqrt[3]{x+1}}{x}dx
\end{equation*}

Rep 58 : $\sqrt{x+x^{2}}+\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}-x}{\sqrt{%
x^{2}+x}+x}+C.$

Aide pour 59 : $\dfrac{3}{u^{3}-1}=\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{u+2}{u^{2}+u+1}.$

\item \underline{dixi\`{e}me s\'{e}rie} : (fractions rationnelles en $x$ et $%
\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ ; $a\neq 0$) 
\begin{eqnarray*}
\mathbf{60} &:&\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}dx\;\left( a>0\right) \quad (x=a\text{
sh}u)\;;\mathbf{61:}\int \sqrt{x^{2}+x+1}dx\;;\,\mathbf{62}:\int \frac{dx}{%
\left( x^{2}+1\right) ^{3/2}}\; \\
\mathbf{63} &:&\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx\quad \left( a>0\right) \quad
(\left\vert x\right\vert =a\text{ ch}u);\quad ;\;\mathbf{64}:\int \sqrt{%
x^{2}+x}dx\,\;;\mathbf{65}:\int \frac{dx}{\left( x^{2}-1\right) ^{3/2}} \\
\mathbf{66} &:&\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\quad \left( a>0\right) \quad
(x=a\sin u);\;\mathbf{67}:\int \sqrt{-x^{2}-x}dx\,\;;\mathbf{68}:\int \frac{%
dx}{\left( 1-x^{2}\right) ^{3/2}}
\end{eqnarray*}%
Rep : 60 : $\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln \left( x+\sqrt{%
x^{2}+a^{2}}\right) \right) +C$

63 : $\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{x^{2}-a^{2}}-a^{2}\ln \left( x+\sqrt{%
x^{2}-a^{2}}\right) \right) +C$

66: $\dfrac{1}{2}\left( x\sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2}\arcsin \dfrac{x}{a}\right)
+C$

\item \underline{* derni\`{e}re s\'{e}rie} : pour les pros 
\begin{eqnarray*}
\mathbf{69} &:&\int x^{2}e^{x}\sin xdx\;;\mathbf{70}:\int \dfrac{\sqrt[3]{%
1+x^{3}}}{x}dx\quad (\text{{\small lfa 615}) };\mathbf{71}:\int \frac{\sqrt{%
\cos \left( 2x\right) }}{\cos x}dx\quad (u=\sin x,\text{ puis}\sqrt{2}u=\sin
v);\;\; \\
\mathbf{72} &:&\int \dfrac{\ln x}{\left( \ln x+1\right) ^{2}}dx
\end{eqnarray*}

Rep 69 : $\dfrac{e^{x}}{2}\left( x-1\right) \left( \left( x+1\right) \sin
x-\left( x-1\right) \cos x\right) +C$

Rep 70 : $\sqrt[3]{1+x^{3}}+\dfrac{1}{2}\ln \left\vert \dfrac{\sqrt[3]{%
1+x^{3}}-1}{x}\right\vert -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{2\sqrt[3]{%
1+x^{3}}+1}{\sqrt{3}}+C$

Rep 71 : $\sqrt{2}\arcsin \left( \sqrt{2}\sin x\right) -\arctan \dfrac{\sin x%
}{\sqrt{\cos 2x}}+C.$
\end{enumerate}

\newline
\fbox{INT\'{E}GRALES D\'{E}FINIES}

\item : Calculer les int\'{e}grales d\'{e}finies suivantes : 
\begin{equation*}
I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\sin ^{2}x\cos ^{2}xdx\;\;;\;I_{2}=\int_{0}^{%
\frac{\pi }{6}}\frac{\cos x}{\cos 2x}dx\;;\;I_{3}=\int_{0}^{2a}\left( x\sqrt{%
2ax-x^{2}}\right) dx(a>0)
\end{equation*}

REP : $\dfrac{\pi }{32}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left( 3+2\sqrt{2}\right) $%
, $\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{3}\right) a^{3}.$

\item :

\begin{enumerate}
\item Calculer $I=\dint_{0}^{1}x^{4}\left( 1-x\right) ^{4}dx$.

\item En d\'{e}duire un encadrement de $J=\dint_{0}^{1}\dfrac{x^{4}\left(
1-x\right) ^{4}}{1+x^{2}}dx$ par deux produits de $\pi $ par un rationnel 
\TEXTsymbol{>}0.

\item Calculer $J$ .

\item En d\'{e}duire un encadrement de $\pi $ par deux rationnels $>0$ ;
donner la meilleure valeur aproch\'{e}e d\'{e}cimale de $\pi $ d\'{e}%
ductible de cet encadrement.
\end{enumerate}

\item : Fonction $\beta $ (b\^{e}ta)\newline
Pour $x,y\geqslant 0,$ on pose 
\begin{equation*}
\beta \left( x,y\right) =\int_{0}^{1}t^{x}\left( 1-t\right) ^{y}dt
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Prouver : $\beta \left( x,y\right) =\beta \left( y,x\right) .$

\item Prouver : $\beta \left( x,y\right) =\beta \left( x,y+1\right) +\beta
\left( x+1,y\right) .$

\item Prouver : $\left( x+1\right) \beta \left( x,y+1\right) =\left(
y+1\right) \beta \left( x+1,y\right) .$

\item En d\'{e}duire une relation entre $\beta \left( x+1,y\right) $ et $%
\beta \left( x,y\right) .$

\item Montrer alors que $\beta \left( n,p\right) =\dfrac{n!p!}{\left(
n+p+1\right) !}$ pour $n$ et $p\in \mathbb{N}.$

\item Montrer que $\dint_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2x+1}\left( \theta
\right) \cos ^{2y+1}\left( \theta \right) d\theta =\frac{1}{2}\beta \left(
x,y\right) .$

\item Donner la valeur de $\beta \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) $ 
\`{a} l'aide d'un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique.

\item En d\'{e}duire un calcul rapide de $\dint_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin
^{4}\theta \cos ^{4}\theta d\theta .$\newline
\fbox{INT\'{E}GRALES R\'{E}CURRENTES}
\end{enumerate}

\item : On pose $I_{n}=\dint_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x^{2}}dx$

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{n}+I_{n-2}\;\;(n\geqslant 2).$

\item En d\'{e}duire que $\overset{p}{\underset{k=1}{\dsum }}\dfrac{\left(
-1\right) ^{k-1}}{2k-1}=I_{0}+\left( -1\right) ^{p-1}$ $I_{2p}$ et une \'{e}%
galit\'{e} similaire donnant $I_{2p+1}$.

\item Montrer que $\lim I_{n}=0.$

\item En d\'{e}duire les valeurs de $\overset{\infty }{\underset{k=1}{\dsum }%
}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k}$ et de $\overset{\infty }{\underset{k=1}{%
\dsum }}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k-1}.$
\end{enumerate}

\item : On pose $I_{n}\left( x\right) =\dint x^{n}e^{\alpha x}dx$

\begin{enumerate}
\item Trouver une relation de r\'{e}currence entre $I_{n}\left( x\right) $
et $I_{n-1}\left( x\right) .$

\item En d\'{e}duire que $I_{n}\left( x\right) =\dfrac{e^{\alpha x}}{\alpha }%
\left( \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\left( -1\right) ^{k}n^{\underline{k%
}}\dfrac{x^{n-k}}{\alpha ^{k}}\right) +C$ (on rappelle que $n^{\underline{k}%
}=n\left( n-1\right) ..\left( n-k+1\right) )$

\item En prenant $\alpha =\pm 1,$ en d\'{e}duire $\dint x^{n}.\limfunc{ch}%
x\;dx$ et $\dint x^{n}.\limfunc{sh}x\;dx$

\item Puis avec $\alpha =i,$ en d\'{e}duire $\dint x^{n}.\cos x\;dx$ et $%
\dint x^{n}.\sin x\;dx.$
\end{enumerate}

\item : On pose $:I_{n,p}=\dint_{0}^{1}x^{n}\left( 1-x\right) ^{p}dx$ $;$

\begin{enumerate}
\item Trouver une relation entre $I_{n,p}$ et $I_{n+1,p-1}$ ; en d\'{e}duire
une relation entre $I_{n,p}$ et $I_{n+p,0},$ puis le calcul de $I_{n,p}.$

\item Montrer que $I_{n,n}=\dfrac{1}{2.4^{n}}\dint_{-1}^{1}\left(
1-u^{2}\right) ^{n}du.$

\item En d\'{e}duire que $\underset{k=0}{\overset{n}{\dsum }}\left(
-1\right) ^{k}\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) }{2k+1}=\dfrac{4^{n}}{\left( 2n+1\right) \left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) }$.
\end{enumerate}

\item : On pose $I_{n}=\dint_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{\sin nx}{\sin x}dx$

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $I_{n}.$

\item Calculer $I_{n}-I_{n-2}$ $\left( n\geqslant 2\right) $.

\item Calculer $I_{0}$ et $I_{1}.$

\item Exprimer $I_{2p}$ et $I_{2p+1}.$
\end{enumerate}

\item : On pose $I_{n}=\dint_{0}^{1}\dfrac{1-\left( 1-t\right) ^{n}}{t}dt$

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $I_{n}.$

\item Calculer $I_{n}$ par r\'{e}currence puis directement, et en d\'{e}%
duire que 
\begin{equation*}
h_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\sum_{k=1}^{n}\left( -1\right) ^{k+1}\dfrac{%
\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) }{k}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\fbox{INT\'{E}GRALE FONCTION DES BORNES}

\item : Simplifier l'expression, si elle a un sens, en pr\'{e}cisant la
propri\'{e}t\'{e} que $f$ et $g$ doivent v\'{e}rifier pour satisfaire aux
hypoth\`{e}ses des th\'{e}or\`{e}mes du cours.

\begin{enumerate}
\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{37}^{x}f\left( u\right) du\right) $

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{x}^{0}f\left( t\right) dt\right) $

\item $\frac{d}{dt}\left( \int_{1}^{x}f\left( t\right) dz\right) $

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{x}f\left( x\right) dx\right) $

\item $\frac{d}{dy}\left( \int_{x}^{1}f\left( x\right) dy\right) $

\item $\int_{x}^{y}\left( f\left( y\right) +g^{\prime }\left( z\right)
\right) dz$

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x^{2}}f\left( t\right) dt\right) $

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{2}^{2x}f\left( t\right) dt\right) $

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{1}^{-x}f\left( t\right) dt\right) $

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{2x+1}^{5}f\left( t\right) dt\right) $

\item $\frac{d}{dx}\left( \int_{x+2}^{2x^{2}+1}f\left( t\right) dt\right) $

\item $\frac{d}{dz}\left( \int_{\cos z}^{\sin z}f\left( \alpha \right)
d\alpha \right) $

\item $\frac{d}{d\theta }\left( \int_{\theta }^{\theta ^{2}}f\left( \varphi
^{2}\right) d\varphi \right) $

\item $\frac{d}{d\theta }\left( \int_{\frac{\pi }{2}}^{\theta ^{2}}\cos 
\sqrt{\alpha }~d\alpha \right) $
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Etudier $f:x\mapsto \dint_{x}^{2x}\dfrac{dt}{\sqrt{1+t^{4}}}$
(indication : $f(1/\sqrt{2})\simeq 0,47$).

\item * : D\'{e}terminer un \'{e}quivalent simple de $f\left( x\right) $ en $%
+\infty .$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\left\vert u\right\vert <1,\left( 1+u\right)
^{-1/3}\geqslant 1-\dfrac{u}{3}.$

\item Montrer que $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }%
\dint_{x}^{ax}\left( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{t^{3}+1}}\right)
dt=0\;\;\;\left( a>0\right) .$

\item En d\'{e}duire $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\dint_{x}^{ax}%
\dfrac{dt}{\sqrt[3]{t^{3}+1}};$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on : $0\in \left[ x,2x+1\right] $ ?

\item \'{E}tudier la fonction $f:x\mapsto \dint_{x}^{2x+1}\dfrac{dt}{e^{t}-1}
$ sans int\'{e}grer.\newline
\newline
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
