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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \Large {B 2. SUITES : ÉTUDE ALGÉBRIQUE}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


\begin{center}
SENS DE VARIATION, SUITES BORN\'{E}ES\hfill\ 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item : \'{E}tudier le sens de variation de la suite $\left( u_{n}\right) $ d%
\'{e}finie par $u_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{n}{2}\right) ^{n}}{n!}.$

\item :

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier la relation d\'{e}finie dans $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ par
: $\left( u_{n}\right) ~R~\left( v_{n}\right) \Leftrightarrow \left(
v_{n}-u_{n}\right) $ est born\'{e}e ; deux telles suites seront dites
"presque \'{e}gales".

\item * Une suite est dite presque (d\'{e})croissante si elle est presque 
\'{e}gale \`{a} une suite (d\'{e})croissante. Quelles sont les suites qui
sont \`{a} la fois presque croissantes et presque d\'{e}croissantes ?
\end{enumerate}

\item : D\'{e}montrer que toute suite $\left( u_{n}\right) \in \mathbb{R}^{%
\mathbb{N}}$ est somme d'une suite croissante et d'une suite d\'{e}%
croissante.

Indication : poser $v_{n}=\max \left( u_{n}-u_{n-1},0\right) ,$ $w_{n}=\min
\left( u_{n}-u_{n-1},0\right) ,$ $u_{n}^{+}=u_{0}+\overset{n}{\underset{k=1}{%
\dsum }}v_{k}$ et $u_{n}^{-}=\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum }}w_{k}.$

CALCULS DE TERMES G\'{E}N\'{E}RAUX

\item : On pose $f(x)=\overset{n}{\underset{k=0}{\dsum }}x^{k}$ ;

\begin{enumerate}
\item A l'aide de la fonction $f$ d\'{e}terminer des expressions sans $\sum $
des sommes suivantes, pour $x\neq 1$ : 
\begin{equation*}
\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum }}kx^{k-1},\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum 
}}kx^{k},\overset{n}{\underset{k=0}{\dsum }}\left( n-k\right) x^{k},\overset{%
n}{\underset{k=1}{\dsum }}k^{2}x^{k}
\end{equation*}

\item * D\'{e}terminer en fonction de $f$ $,\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum 
}}k^{p}x^{k}.$

Pour cela, on d\'{e}montrera que pour tout $p$ il existe des nombres $\alpha
_{1},..,\alpha _{p}$ tels que $k^{p}=\overset{p}{\underset{i=1}{\dsum }}%
\alpha _{i}k\left( k-1\right) ..(k-i+1)$ pour tout entier $k.$

Ces nombres, appel\'{e}s nombres de Stirling, ne sont pas \`{a} calculer.
\end{enumerate}

\item : Soit $\left( u_{n}\right) $ une suite telle que pour tout $n\in 
\mathbb{N}^{\ast }$ , $u_{n}=r\,u_{n-1}+n,$ o\`{u} $r\in \mathbb{R}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{n}$ en fonction de $u_{0},r$ et $n$ (on pourra utliser la
fonction $f$ de l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent).

\item Compl\'{e}ter ce programme python de calcul de $u_{n}$ utilisant la
formule de r\'{e}currence.

u = .....;n=.....\newline
for $k$ in ..............:\newline
...............

\item D\'{e}terminer la suite $v_{n}$ de la forme $an+b$ v\'{e}rifiant pour
tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ , $v_{n}=r\,v_{n-1}+n.$\newline
\newline
V\'{e}rifier de $\left( u_{n}-v_{n}\right) $ est g\'{e}om\'{e}triqu de
raison $r$ et en d\'{e}duire de nouveau $u_{n}$ en fonction de $u_{0},r$ et $%
n$.
\end{enumerate}

\item Soit $\left( u_{n}\right) $ une suite telle que pour tout $n\in 
\mathbb{N}^{\ast }$ , $u_{n}=n+\dfrac{\underset{k=0}{\overset{n-1}{\tsum }}%
u_{k}}{n};$

\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et $u_{n-1}$ pour $n\geqslant 2$ ;
sens de variation de $\left( u_{n}\right) $ ?

\item En d\'{e}duire $u_{n}$ en fonction de $n$ et $u_{0}$ pour $n\geqslant
2.$
\end{enumerate}

\item : Visualiser les suites r\'{e}currentes $u_{n}=f\left( u_{n-1}\right) $
suivantes ; \'{e}tudier leur sens de variation pour $u_{0}>0$ ; calculer $%
u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ :

\begin{enumerate}
\item $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x+1}$

\item $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x+2}$
\end{enumerate}

\item : On donne $u_{0}>0$ et $u_{n}=\lambda \left( u_{n-1}\right) ^{a}$ \ ($%
\lambda >0$) ;

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{n}$ en fonction de $u_{0}$ et $n$.

\item * Pour quelles valeurs de $u_{0}>0$, $\lambda $ $>0$ et $a$ r\'{e}el
la limite de $u_{n}$ est-elle infinie ? Nulle ? N'existe pas ?
\end{enumerate}

\item : Relation entre taux et annuit\'{e}, m\'{e}thode n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ 1.

\begin{enumerate}
\item Une banque me pr\^{e}te un capital $C$ au taux $t$ annuel, que je
rembourse en $N$ ann\'{e}es, avec des annuit\'{e}s $x$ constantes.

\item D\'{e}composons le capital $C$ en $N$ parties $C=C_{1}+...+C_{N},$ $%
C_{n}$ \'{e}tant la partie du capital qui comptera dans le $n$-i\`{e}me
remboursement. Justifier que $C_{n}=\frac{x}{\left( 1+t\right) ^{n}}$ et en d%
\'{e}duire $x$ en fonction de $C,$ $t,$ et $N$ (expression sans somme).

\item \underline{Application num\'{e}rique} 1: $C=100\,000,$ $t=3\%,$ $N=20.$
Calculer le remboursement total et le "taux effectif global" $T=\dfrac{Nx}{C}%
-1$.

\item Application num\'{e}rique 2 : un organisme de cr\'{e}dit propose une
formule 10+1 : on verse chaque ann\'{e}e un dixi\`{e}me de la somme pr\^{e}t%
\'{e}e, ceci onze fois. Calculer cette fois le taux $t.$
\end{enumerate}

\item : Relation entre taux et annuit\'{e}, m\'{e}thode n$%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ 2.

Une banque me pr\^{e}te un capital $C$ au taux $t$ annuel, que je rembourse
en $N$ ann\'{e}es, avec des annuit\'{e}s $x$ constantes.

\begin{enumerate}
\item Posons $R_{0}=C$ et $R_{n}$ le capital restant d\^{u} juste apr\`{e}s
avoir vers\'{e} la $n$-i\`{e}me annuit\'{e} ; expliquer pourquoi $%
R_{n+1}=\left( 1+t\right) R_{n}-x,$ et calculer $R_{n}.$

\item En exprimant $R_{N},$ calculer $x$ en fonction de $C,$ $t,$ et $N$.

\item Faire les applications num\'{e}riques de l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent.
\end{enumerate}

\item * : Est-il possible de ranger dans un carr\'{e} de c\^{o}t\'{e} 1 tous
les carr\'{e}s de c\^{o}t\'{e} $1/n$ pour $n\geqslant 2$ sans que ces carr%
\'{e}s ne se chevauchent ?

\item * : La suite d'Ackermann (comparer avec l'exercice 23 sur les r\'{e}%
currences).\newline
On d\'{e}finit la suite double $A$ par

\begin{itemize}
\item $A\left( 0,n\right) =n+1$ pour $n\in \mathbb{N},$

\item $A\left( m,0\right) =2$ pour $m\in \mathbb{N},$

\item $A\left( m,n\right) =A\left( m-1,A\left( m,n-1\right) \right) $ pour $%
m,$ $n\geqslant 1$
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer $A\left( 1,n\right) ,$ $A\left( 2,n\right) ,$ $A\left(
3,n\right) ,A\left( 4,n\right) $ ; valeur approch\'{e}e de $A(4,3)$.

\item Calculer $A\left( 5,1\right) ;$ exprimer $A\left( 5,2\right) $.
\end{enumerate}

\item : Suites r\'{e}currentes lin\'{e}aires doubles : autre m\'{e}thode.

Consid\'{e}rons une suite complexe $(u_{n})$ v\'{e}rifiant $%
u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$ pour tout entier $n$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\lambda $ est solution de l'\'{e}quation caract\'{e}%
ristique (E) : $\lambda ^{2}=a\lambda +b$, alors la suite $(u_{n+1}-\lambda
u_{n})$ est g\'{e}om\'{e}trique de raison $a-\lambda $.

\item Dans le cas o\`{u} (E) a deux solutions distinctes $\lambda _{1}$ et $%
\lambda _{2}$, d\'{e}terminer $\lambda _{1}+$ $\lambda _{2}$ et calculer le
terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$ en fonction de $n,u_{0},u_{1},\lambda _{1}$ et 
$\lambda _{2}$ en utilisant les deux suites g\'{e}om\'{e}triques $%
(u_{n+1}-\lambda _{1}u_{n})$ et $(u_{n+1}-\lambda _{2}u_{n}).$

\item Dans le cas o\`{u} (E) a une solution double $\lambda \neq 0$, montrer
qu'$\left( \dfrac{u_{n}}{\lambda ^{n}}\right) $ est arithm\'{e}tique et en d%
\'{e}duire $u_{n}$.
\end{enumerate}

\item : Montrer que les suites $\left( u_{n}\right) $ \textit{r\'{e}elles} v%
\'{e}rifiant $u_{n}+u_{n+1}+u_{n+2}=0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ sont p%
\'{e}riodiques ; donner leur forme g\'{e}n\'{e}rale.

\item : On d\'{e}finit une suite $\left( u_{n}\right) $ par $\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{0}=1 \\ 
u_{n}=\overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}\left( n-k\right) u_{k}%
\end{array}%
\right. $

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},u_{2},u_{3}.$

\item Calculer $v_{n}=u_{n+1}-u_{n},$ puis $v_{n+1}-v_{n}$ ; en d\'{e}duire
une relation de r\'{e}currence lin\'{e}aire double v\'{e}rifi\'{e}e par $%
\left( u_{n}\right) $ et calculer $u_{n}$ par la m\'{e}thode du cours.

\item On donne la suite de Fibonacci $\left\{ 
\begin{array}{c}
F_{0}=0,F_{1}=1 \\ 
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}%
\end{array}%
\right. $ ; exprimer $u_{n}$ \`{a} l'aide de la suite de Fibonacci.
\end{enumerate}

\item : On se donne $a\in \mathbb{C}$ et $\left( v_{n}\right) \in \mathbb{C}%
^{\mathbb{N}}$ et on cherche toutes les suites $\left( u_{n}\right) $ $\in 
\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ v\'{e}rifiant 
\begin{equation*}
\left( E\right) :u_{n+1}-au_{n}=v_{n}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\left( p_{n}\right) $ est une solution particuli\`{e}%
re de $\left( E\right) ,$ on obtient toutes les solutions de $\left(
E\right) $ en ajoutant \`{a} $\left( p_{n}\right) $ la solution g\'{e}n\'{e}%
rale de $\left( E_{ssm}\right) $ : $u_{n+1}-au_{n}=0.$

\item Applications

\begin{enumerate}
\item R\'{e}soudre $u_{n+1}=2u_{n}+n.$

\item R\'{e}soudre les suites arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}triques $%
u_{n+1}=au_{n}+b$ par cette m\'{e}thode.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item * : dit \textquotedblleft probl\`{e}me de la mouche\textquotedblright

\begin{enumerate}
\item un train part de $A$ \`{a} la vitesse $v_{1},$ \`{a} la rencontre d'un
autre train partant de $B$ \`{a} la vitesse $v_{2}.$ Une mouche part de $%
M_{0}=A$ en m\^{e}me temps que le premier train, \`{a} la vitesse $v>v_{1}$
et $v>v_{2},$ se cogne contre le deuxi\`{e}me train en $M_{1,}$ repart en
sens inverse \`{a} la vitesse $v,$ se cogne en $M_{2}$ etc... Quelle
distance $L$ aura-t'elle parcourue lorsque les deux trains se rencontreront
? (on exprimera $L$ en fonction de $l=AB,$ de $v,$ $v_{1}$ et $v_{2}.$)

\item On pose $l_{n}=M_{n}M_{n+1}$ et $L_{n}=l_{0}+l_{1}+\cdots +l_{n}.$ V%
\'{e}rifier que $\left( l_{2p}\right) $ et $\left( l_{2p+1}\right) $ sont g%
\'{e}om\'{e}triques. Calculer $L_{2p}$ et $L_{2p+1},$ et v\'{e}rifier que $%
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }L_{n}=L.$\newline
\end{enumerate}

\item * : Existe-t-il une application $f$ de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$
telle que $\forall n\in \mathbb{Z}$ $\ \ \ \left( f\circ f\right) \left(
n\right) =n+1$ ?
\end{enumerate}

\end{document}
