
\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{Created=Thu Oct 26 14:02:12 2000}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, January 28, 2017 12:11:46}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{Language=French}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\def \go{\char"AB ~\ignorespaces}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\setlength{\headsep}{5mm}
\setlength{\topmargin}{-15mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
\setlength{\textwidth}{190mm}
\setlength{\textheight}{245mm}
\newcommand{\trans}[1]{\hbox{$\hspace{0.2em}^t\hspace{-0.2em}#1$}}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \LARGE {B 2. SUITES : étude asymptotique}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


$\fbox{{\Large G\'{E}N\'{E}RALIT\'{E}S}}$

\begin{enumerate}
\item :

\begin{enumerate}
\item Soit $\left( u_{n}\right) $ une suite ne prenant que les valeurs 0 ou
1 dont la limite est 0 ; d\'{e}montrer en utilisant la d\'{e}finition de la
limite que $u_{n}=0$ \`{a} partir d'un certain rang.

\item Soit $\left( u_{n}\right) $ une suite convergente ne prenant que les
valeurs 0 ou 1 ; d\'{e}montrer que $\left( u_{n}\right) $ est constante \'{e}%
gale \`{a} $0$ ou 1 \`{a} partir d'un certain rang.

\item D\'{e}montrer plus g\'{e}n\'{e}ralement qu'une suite qui ne prend
qu'un nombre fini de valeurs et qui est convergente est constante \`{a}
partir d'un certain rang.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que si les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $\left(
u_{2n+1}\right) $ d'une suite r\'{e}elle $\left( u_{n}\right) $ ont la m\^{e}%
me limite $l,$ alors $\left( u_{n}\right) $ a pour limite $l.$

\item A-t-on la m\^{e}me conclusion si on suppose que les deux sous-suites $%
(u_{2n})$ et $\left( u_{3n}\right) $ de la suite $\left( u_{n}\right) $ ont
la m\^{e}me limite $l$ ?

\item Que peut-on dire si on suppose que les trois sous-suites $(u_{2n})$ , $%
\left( u_{2n+1}\right) $ et $\left( u_{3n}\right) $ de la suite $\left(
u_{n}\right) $ ont chacune une limite ?
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Montrer que si, dans la d\'{e}finition de la convergence vers $l$
d'une suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ , on intervertit le deuxi%
\`{e}me et le troisi\`{e}me quantificateur, ce qui donne : 
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0\;\;\forall n_{1}\;\;\exists n\geqslant
n_{1}\;/\;\;\left\vert u_{n}-l\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}%
on obtient la condition : 
\begin{equation*}
"\left( u_{n}\right) \text{ poss\`{e}de une sous-suite convergeant vers }l".
\end{equation*}%
REM : ceci est donc la d\'{e}finition de : \textquotedblright $l$ est une
valeur d'adh\'{e}rence de $\left( u_{n}\right) ".$

\item Montrer qu'une suite r\'{e}elle est non major\'{e}e si et seulement si
elle poss\`{e}de une sous-suite de limite $+\infty .$

\item Montrer qu'une suite r\'{e}elle tend vers $+\infty $ si et seulement
si elle ne poss\`{e}de pas de sous-suite major\'{e}e.
\end{enumerate}

\item * : Montrer, par l'absurde, que la suite $\left( \sin n\right) $ est
divergente ; indication : consid\'{e}rer diverses sous-suites de $\left(
\sin n\right) $ pour obtenir une contradiction.

\item : Dire si chacune des assertions suivantes est vraie ou fausse (pour
vrai : d\'{e}montrer, et pour faux : donner un contre-exemple).

\begin{enumerate}
\item Si $\lim u_{n}=0$ alors $\lim \left( u_{n}v_{n}\right) =0.$

\item Si $\lim \left( u_{n}v_{n}\right) =0$ alors $\lim u_{n}=0$ ou $\lim
v_{n}=0.$

\item Si $\lim \left( u_{n}+v_{n}\right) =+\infty $ alors $\lim
u_{n}=+\infty $ ou $\lim v_{n}=+\infty .$

\item Si $\left( u_{n}\right) $ est une suite strictement d\'{e}croissante 
\`{a} termes positifs ou nuls, alors $\lim u_{n}=0.$

\item Si $\lim u_{n}=$ $0$ et si $\left( u_{n}\right) $ est une suite \`{a}
termes positifs ou nuls, alors $\left( u_{n}\right) $ est d\'{e}croissante 
\`{a} partir d'un certain rang.

\item Si $u_{n}>0$ pour tout $n\in \mathbb{N},$ alors $nu_{n}\rightarrow
+\infty $

\item Si $u_{n}>1$ pour tout $n\in \mathbb{N},$ alors $\left( u_{n}\right)
^{n}\rightarrow +\infty $

\item Si $u_{n+1}-u_{n}\rightarrow 0,$ alors $\left( u_{n}\right) $ est
convergente.

\item Si pour tout $k\in \mathbb{N}^{\mathbb{\ast }},$ $\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n,k}=0$ alors pour tout $k\in \mathbb{N}%
^{\ast },$ $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\left(
u_{n,1}+u_{n,2}+\cdots +u_{n,k}\right) =0.$

\item Si pour tout $k\in \mathbb{N}^{\ast },$ $\underset{n\rightarrow
+\infty }{\lim }u_{n,k}=0$ alors $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }%
\left( u_{n,1}+u_{n,2}+\cdots +u_{n,n}\right) =0.$
\end{enumerate}

\item * : Suite de l'exercice pr\'{e}c\'{e}dent :

\begin{enumerate}
\item Si $\left( u_{n}\right) $ est convergente, alors $\left( \left\vert
u_{n}\right\vert \right) $ est convergente.

\item R\'{e}ciproque de l'assertion pr\'{e}c\'{e}dente.

\item Si $u_{n}\leqslant v_{n}\leqslant w_{n}$ , $\lim u_{n}=0$ et $\lim
w_{n}=1,$ alors $\lim v_{n}\in \left[ 0,1\right] .$

\item Si $\left( u_{n}\right) $ est convergente alors $\forall p\in \mathbb{%
N\;}$ $u_{n+p}-u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }0.$

\item R\'{e}ciproque de l'assertion pr\'{e}c\'{e}dente.

\item Si $\lim \left( u_{2n}-u_{n}\right) =0$ et $\left( u_{n}\right) $
croissante alors $\left( u_{n}\right) $ est convergente.

\item Si $\left( u_{n}\right) $ n'est pas major\'{e}e, alors $%
u_{n}\rightarrow +\infty .$

\item R\'{e}ciproque de l'assertion pr\'{e}c\'{e}dente.

\item Si $\lim u_{n}=+\infty $ alors $\left( u_{n}\right) $ est croissante 
\`{a} partir d'un certain rang.

\item Si $\left( u_{n}\right) $ n'est pas major\'{e}e, alors il existe une
suite extraite de $\left( u_{n}\right) $ de limite $+\infty .$

\item R\'{e}ciproque de l'assertion pr\'{e}c\'{e}dente.

\item Si $\lim \left( u_{n+1}-u_{n}\right) =0,$ alors $\lim \dfrac{u_{n+1}}{%
u_{n}}=1.$

\item R\'{e}ciproque de ($l$).

\item Si $\left( u_{n}\right) $ et $\left( \dfrac{1}{u_{n,}}\right) $ sont
born\'{e}es, alors $\lim \left( u_{n+1}-u_{n}\right) =0,$ \'{e}quivaut \`{a} 
$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1$.

\item Si $\left( u_{n+1}-u_{n}\right) $ est monotone, alors $\left(
u_{n}\right) $ aussi \`{a} partir d'un certain rang.

\item Si $\lim \left( u_{n+1}-u_{n}\right) =0,$ et si $\left( u_{n}\right) $
est born\'{e}e, alors $\left( u_{n}\right) $ est convergente.
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer la limite des suites de terme g\'{e}n\'{e}ral $u_{n}$
suivantes en utilisant le th\'{e}or\`{e}me des gendarmes :

\begin{enumerate}
\item $u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{n^{2}+k}$

\item $u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}$

\item $u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{k}{\sqrt{n+k}}$

\item $u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{k}{n+k}$

\item $u_{n}=\dfrac{1!+2!+3!+\cdots +n!}{n!}$

\item $u_{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\dsum }}\dfrac{1}{\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) }$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Soient $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ deux suites 
\`{a} valeurs dans $\left[ 0,1\right] $ et telles que $\lim u_{n}v_{n}=1.$
Que peut-on dire de $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ ?

\item Soit $\left( u_{n}\right) $ une suite \`{a} termes $>0$ monotone ;
montrer que si $\lim \dfrac{u_{n+2}}{u_{n}}=1$ alors $\lim \dfrac{u_{n+1}}{%
u_{n}}=1.$
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'\'{e}quation $x^{n}=x^{n-1}+\cdots +x^{2}+x+1$ poss\`{e}%
de une unique solution $x_{n}\in \mathbb{R}_{+}$ (REM : $x_{2}$ est le
nombre d'or, $x_{3}$ celui d'argent, $x_{4}$ celui de bronze... Les $x_{n}$
ont donc \'{e}t\'{e} d\'{e}cr\'{e}t\'{e}s "nombres m\'{e}talliques").

\item Etudier la suite $\left( x_{n}\right) .$
\end{enumerate}

\item : On donne deux suites $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $
\`{a} termes strictement positifs et convergeant toutes les deux vers $0.$%
\newline
Calculer $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\left( \underset{%
p\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{u_{n}-v_{p}}{u_{n}+v_{p}}\right) $ et de 
$\underset{p\rightarrow +\infty }{\lim }\left( \underset{n\rightarrow
+\infty }{\lim }\dfrac{u_{n}-v_{p}}{u_{n}+v_{p}}\right) $ ? Pourquoi est-ce 
\'{e}tonnant ?

\item * : Autour du lemme de C\'{e}saro.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\lim u_{n}=0,$ alors $\lim \dfrac{u_{1}+u_{2}+\cdots
+u_{n}}{n}=0$ .

\item Montrer que la r\'{e}ciproque de l'assertion pr\'{e}c\'{e}dente est
fausse.

\item D\'{e}duire du (a) que si $\lim u_{n}=l\in \mathbb{C}$ alors $\lim 
\dfrac{u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}=l$ (\textit{lemme de C\'{e}saro}).

\item D\'{e}duire du (a) que si $\lim \left( u_{n}-u_{n-1}\right) =a\neq 0$
alors $u_{n}\sim na$ (propri\'{e}t\'{e} appel\'{e}e \textit{lemme de
l'escalier }: si la hauteur des marches tend vers\textit{\ }$a$ alors la
hauteur totale d'un escalier de $n$ marches \'{e}quivaut \`{a} $na$).

\item En d\'{e}duire que si $\left( u_{n}\right) $ est \`{a} termes
strictement positifs, et si $\lim \dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}=a>0$ alors $\lim 
\sqrt[n]{u_{n}}=a$ (c'est la comparaison des crit\`{e}res de D'Alembert et
de Cauchy).

\item D\'{e}duire de (a) que si $\lim u_{n}=0$ et $(v_{n})$ est born\'{e}e,
alors $\lim \dfrac{u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+\cdots +u_{n}v_{1}}{n}=0.$

\item En d\'{e}duire que si $\lim u_{n}=l\in \mathbb{R}$ et $\lim
v_{n}=l^{\prime }\in \mathbb{R},$ alors $\lim \dfrac{%
u_{1}v_{n}+u_{2}v_{n-1}+\cdots +u_{n}v_{1}}{n}=ll^{\prime }.$
\end{enumerate}

\item * : Lemme de C\'{e}saro \`{a} l'infini.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\lim u_{n}=+\infty ,$ alors $\lim \dfrac{%
u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}=+\infty ,$ mais que la r\'{e}ciproque est
fausse.

\item Montrer que par contre, si $\lim u_{n}=+\infty $, $\dfrac{%
u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}$ et $\left( u_{n}\right) $ ne sont pas forc%
\'{e}ment du m\^{e}me ordre : on donnera un exemple o\`{u} $\dfrac{%
u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}\sim \alpha \ u_{n}$ , et un exemple o\`{u} $%
\dfrac{u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}}{n}<<u_{n}$ .
\end{enumerate}

\item * : On pose $u_{n}=\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}$ et $v_{n}=%
\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k!}$ ; montrer SANS UTILISER LE
FAIT QUE CES SUITES SONT CONVERGENTES, que $\lim \left( v_{n}-u_{n}\right)
=0.$

$\fbox{{\Large SUITES MONOTONES}}$\newline

Remarque : dans les exercices suivants, lorsqu'on demande de calculer un
nombre $a$ \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s, on cherche un entier $N$ tel que $%
N10^{-2}-0,01\leqslant a\leqslant N10^{-2}+0,01$ ; tout encadrement de
largeur $\leqslant 0,01$ permet de d\'{e}terminer un tel encadrement.\newline
Par exemple, $1,49877\leqslant a\leqslant 1,50354$ permet d'\'{e}crire : $%
1,49\leqslant a\leqslant 1,51,$ que l'on note : $a=1,50\pm 10^{-2}.$\newline

Notons qu'il n'y a pas unicit\'{e} de l'\'{e}criture : $a=1,54426$ peut, 
\`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s, s'\'{e}crire $a=1,54\pm 10^{-2}$ ou $a=1,55\pm
10^{-2}.$

Il n'existe pas de largeur minimale d'encadrement permettant de d\'{e}%
terminer pour tout $a$ un encadrement du type : $N10^{-2}\leqslant
a\leqslant N10^{-2}+0,01.$\newline
Par exemple, si $a=1,500001$ , seul un encadrement de largeur $\leqslant
10^{-6}$ permettra de d\'{e}terminer \`{a} coup sur si $a\geqslant 1,5.$

\item : On pose $h_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k}.$

\begin{enumerate}
\item Pour $k\geqslant 1,$ montrer que : $\dfrac{1}{k+1}\leqslant \ln \left(
k+1\right) -\ln k\leqslant \dfrac{1}{k}$ et en d\'{e}duire un encadrement de 
$\dfrac{1}{k}$ pour $k\geqslant 2$ , et un encadrement de $h_{n}.$

\item On pose $u_{n}=h_{2n}-h_{n}$ ; montrer que $(u_{n})$ est convergente
de limite $\in \lbrack 1/2,1].$

\item Gr\^{a}ce \`{a} l'encadrement de $1/k$ du (a), d\'{e}terminer un
encadrement de $u_{n}$ et en d\'{e}duire sa limite.
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item On pose $r_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{\sqrt{k}}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\lim r_{n}=+\infty ,$ sans utiliser $h_{n}.$

\item Montrer que pour $k\geqslant 1,$ $\dfrac{1}{2\sqrt{k+1}}\leqslant 
\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{k}},$ soit en utilisant une m%
\'{e}thode d'int\'{e}gration, soit en utilisant la quantit\'{e} conjugu\'{e}%
e de $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$

\item En d\'{e}duire un encadrement de $\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ puis de $r_{n}$
; montrer par exemple que $18\leqslant r_{100}\leqslant 20.$

\item D\'{e}terminer un \'{e}quivalent de $r_{n}.$
\end{enumerate}

\item G\'{e}n\'{e}ralisation : $s_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}%
\dfrac{1}{k^{\alpha }}$ avec $0<\alpha <1.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\lim s_{n}=+\infty ,$ sans utiliser $h_{n}.$

\item D\'{e}montrer que pour $k\geqslant 1$ 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{(k+1)^{\alpha }}\leqslant \dfrac{\left( k+1\right) ^{1-\alpha
}-k^{1-\alpha }}{1-\alpha }\leqslant \dfrac{1}{k^{\alpha }}
\end{equation*}%
en d\'{e}duire un encadrement de $\dfrac{1}{k^{\alpha }}$ pour $k\geqslant
2, $ puis de $s_{n}$ et donner enfin un \'{e}quivalent de $s_{n}$ ; montrer
le d\'{e}veloppement : $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{%
k^{\alpha }}=\dfrac{n^{1-\alpha }}{1-\alpha }+O(1).$

\item Donner par exemple un encadrement de $s_{10},$ pour $\alpha =\dfrac{1}{%
3}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item On pose $q_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k^{2}}$.

\begin{enumerate}
\item Pour $k\geqslant 2,$ v\'{e}rifier $\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}%
\leqslant \dfrac{1}{k^{2}}\leqslant \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

\item Montrer que $\left( q_{n}\right) $ est convergente de limite $q$ v\'{e}%
rifiant $1,5\leqslant q\leqslant 2$.

\item D\'{e}terminer, en utilisant (i), un encadrement de $q_{N}-q_{n}$ pour 
$N\geqslant n>0$ et en d\'{e}duire : 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^{2}}\leqslant \dfrac{1}{n+1}\leqslant
q-q_{n}\leqslant \dfrac{1}{n}
\end{equation*}

\item Calculer $q$ \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s.

Sur casio : SUM(SEQ(1/X \symbol{94}2,X,1,n))

\item On d\'{e}montrera ult\'{e}rieurement que $q=\dfrac{\pi ^{2}}{6}$ ;
admettant ce r\'{e}sultat, d\'{e}duire de (iii) le d\'{e}veloppement : $\pi
^{2}=6\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{6}{n}+O(%
\dfrac{1}{n^{2}}).$
\end{enumerate}

\item G\'{e}n\'{e}ralisation : On pose $s_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{%
\sum }}\dfrac{1}{k^{\alpha }}$ avec $\alpha >1$.

\begin{enumerate}
\item Pour $k\geqslant 2,$ montrer que $\dfrac{1}{\alpha -1}\left( \dfrac{1}{%
k^{\alpha -1}}-\dfrac{1}{\left( k+1\right) ^{\alpha -1}}\right) \leqslant 
\dfrac{1}{k^{\alpha }}\leqslant $ $\dfrac{1}{\alpha -1}\left( \dfrac{1}{%
\left( k-1\right) ^{\alpha -1}}-\dfrac{1}{k^{\alpha -1}}\right) .$

\item Montrer que $\left( s_{n}\right) $ est convergente ; soit $s$ sa
limite.

\item D\'{e}terminer, en utilisant (i), un encadrement de $s_{N}-s_{n}$ pour 
$N\geqslant n>0$ et en d\'{e}duire un encadrement de $s-s_{n}$ similaire 
\`{a} celui de a.(iii).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item : $f$ est une fonction continue, positive et d\'{e}croissante sur $%
\left[ 1,+\infty \right[ $.\newline

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que pour $k\geqslant 1,$ $f(k)\geqslant
\dint_{k}^{k+1}f(x)dx\geqslant f(k+1).$

\item On pose $u_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\dsum }}f(k)-%
\dint_{1}^{n}f(x)dx$ ; montrer que $\left( u_{n}\right) $ converge vers $%
l\in \lbrack 0,f(1)].$

\item Application 1 : montrer que $\left( \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}%
\dfrac{1}{k}-\ln n\right) $ converge vers $\gamma \in \lbrack 0,1]$ ; en d%
\'{e}duire le d\'{e}veloppement : $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1%
}{k}=\ln n+\gamma +o\left( 1\right) .$

\item Application 2 : $w_{n}=2\sqrt{n}-\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}%
\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ ; montrer que $\left( w_{n}\right) $ converge vers $R$ $%
\in \lbrack 1,2]$ ; en d\'{e}duire le d\'{e}veloppement : $\underset{k=1}{%
\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}-R+o(1).$
\end{enumerate}

\item * : Quelques s\'{e}ries \`{a} signes altern\'{e}s.

On rappelle que $h_{N}=\underset{n=1}{\overset{N}{\sum }}\dfrac{1}{n}=\ln
N+\gamma +\varepsilon _{N}$ avec $\lim \varepsilon _{N}=0.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la valeur de la somme infinie : 
\begin{equation*}
1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...\text{ 
}
\end{equation*}

\item D\'{e}terminer maintenant la valeur de la somme infinie : 
\begin{equation*}
\underset{\text{2 impairs}}{\underbrace{1+\dfrac{1}{3}}}-\dfrac{1}{2}+%
\underset{\text{2 impairs}}{\underbrace{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}}}-\dfrac{1%
}{4}+\underset{\text{ 2 impairs}}{\underbrace{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{11}}}-%
\dfrac{1}{6}...\text{ }
\end{equation*}

Qu'y a-t-il de paradoxal dans ce r\'{e}sultat ?
\end{enumerate}

\item * : Soit $\left( u_{n}\right) $ une suite r\'{e}elle ; on pose $%
u_{n}^{-}=\underset{p\geqslant n}{\inf }~u_{p}$ .

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left( u_{n}^{-}\right) $ poss\`{e}de toujours
une limite ; cette limite est appel\'{e}e limite inf\'{e}rieure de la suite $%
\left( u_{n}\right) $ : $\underline{\lim }\left( u_{n}\right) =\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }\left( \underset{p\geqslant n}{\inf }%
~u_{p}\right) .$

\item D\'{e}finir de la m\^{e}me fa\c{c}on la limite sup\'{e}rieure d'une
suite r\'{e}elle apr\`{e}s avoir justifi\'{e} son existence.

\item Montrer que $\left( u_{n}\right) $ poss\`{e}de une limite ssi $%
\underline{\lim }\left( u_{n}\right) =$ $\overline{\lim }\left( u_{n}\right)
.$

\item Montrer que la limite de toute sous-suite de $\left( u_{n}\right) $
est comprise entre $\underline{\lim }\left( u_{n}\right) $ et $\overline{%
\lim }\left( u_{n}\right) ,$ et que $\underline{\lim }\left( u_{n}\right) $
et $\overline{\lim }\left( u_{n}\right) $ sont eux-m\^{e}mes limites de
sous-suites de $\left( u_{n}\right) .$
\end{enumerate}

\item * : Etudier la suite r\'{e}currente d\'{e}finie par $\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{0}>0 \\ 
u_{n}=\dfrac{1}{u_{n-1}}+\dfrac{1}{n}\text{ pour }n\geqslant 1%
\end{array}%
\right. $

\item * : \textbf{Le surplomb de dominos}\newline
Soit $\left( A_{n}\right) $ une suite de points sur une droite. On pose $%
G_{n}=$Isobar$\left( A_{1},...,A_{n}\right) .$

($\overrightarrow{OG}_{n}=\dfrac{1}{n}\left( \overrightarrow{OA}_{1}+...+%
\overrightarrow{OA}_{n}\right) ).$On suppose que $\overrightarrow{%
G_{n}A_{n+1}}=\overrightarrow{u}$ (vecteur constant).

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en construisant $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}.$ (prendre $%
\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert $ assez grand).

\item D\'{e}montrer que $\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}=\dfrac{%
\overrightarrow{u}}{n}.$

\item En d\'{e}duire que $A_{1}A_{n}\underset{n\rightarrow \infty }{%
\rightarrow }+\infty .$

\item On empile des dominos au bord d'une table de fa\c{c}on \`{a} obtenir
le surplomb maximal. Calculer en fonction du nombre $n$ de dominos (chacun
de longueur $l$), ce surplomb maximal. Calculer le plus petit $n$ \`{a}
partir duquel ce surplomb est sup\'{e}rieur \`{a} $2l.$

$\fbox{{\Large SUITES ADJACENTES}}$
\end{enumerate}

\item : On pose $v_{n}=\left( \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k}%
\right) -\ln n$ et $u_{n}=\left( \underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\dfrac{1%
}{k}\right) -\ln n.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que ces deux suites sont adjacentes.

\item Calculer \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s leur limite commune $\gamma $
(constante d'Euler) .

\item En d\'{e}duire le d\'{e}veloppement : $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum 
}}\dfrac{1}{k}=\ln n+\gamma +O(\dfrac{1}{n})$
\end{enumerate}

\item : On pose $u_{n}=2\sqrt{n}-\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{%
\sqrt{k}}$ et $v_{n}=2\sqrt{n}-\underset{k=1}{\overset{n-1}{\sum }}\dfrac{1}{%
\sqrt{k}}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que ces deux suites sont adjacentes de limite commune $R$ que
l'on calculera \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s.

\item En d\'{e}duire le d\'{e}veloppement : $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum 
}}\dfrac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}-R+O(\dfrac{1}{\sqrt{n}}).$
\end{enumerate}

\item Soit $f$ une fonction continue d\'{e}croissante positive sur $%
[1,+\infty \lbrack $ ; on pose $u_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}f(k)$
; soit $F$ une primitive de $f$ sur $[1,+\infty \lbrack .$

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $F$ poss\`{e}de une limite finie $l$ en $+\infty $
alors les suites $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) =\left(
u_{n}+l-F(n)\right) $ sont adjacentes.

\item Application aux s\'{e}ries de Riemann : montrer que si $\alpha >1$
alors la somme $S_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\dfrac{1}{k^{\alpha }%
}$ poss\`{e}de une limite finie $S$ quand $n$ tend vers $+\infty $ et que $%
S=S_{n}+O\left( \dfrac{1}{n^{\alpha -1}}\right) .$
\end{enumerate}

\item : Moyenne arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique de deux r\'{e}els $a$ et 
$b>0$ $,$ $a\leqslant b$ $;$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $a\leqslant \sqrt{ab}\leqslant \dfrac{a+b}{2}\leqslant b.$

Soient $a_{0}=a,$ $b_{0}=b,$ puis pour tout $n\in \mathbb{N}$%
\begin{equation*}
a_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}\text{ et }b_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}
\end{equation*}

\item Montrer que $\left( a_{n}\right) $ et $\left( b_{n}\right) $ sont
adjacentes ; la limite commune est par d\'{e}finition la moyenne \textit{%
arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique} de $a$ et $b$.

Indication : $b_{n}-a_{n}\leqslant \dfrac{1}{2}\left( b_{n-1}-a_{n-1}\right)
.$

\item Calculer la moyenne arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique de $1$ et $2$ 
\`{a} 10$^{-8}$ pr\`{e}s.

Programme sur TI ou Casio :

1$\rightarrow A$

2$\rightarrow B$

Lbl 1

$\sqrt{}$(A*B)$\rightarrow C$

(A+B)/2$\rightarrow B$

C$\rightarrow A$

If B-A \TEXTsymbol{>}10 \symbol{94}(-8)

Then

Goto 1

End (EndIf pour Casio)

Disp A,B

\item * Calculer $b_{n}^{2}-a_{n}^{2}$ en fonction de $b_{n-1}$ et $a_{n-1}$
et en d\'{e}duire que si $\varepsilon _{n}=b_{n}-a_{n},$ $2\varepsilon
_{n}a_{n}+\varepsilon _{n}^{2}=\dfrac{\varepsilon _{n-1}^{2}}{4}$ puis que $%
\varepsilon _{n}\leqslant \dfrac{\varepsilon _{n-1}^{2}}{8a}\leqslant
8a\left( \dfrac{b-a}{8a}\right) ^{2^{n}}.$ Calculer par exemple le nombre
d'it\'{e}rations suffisantes pour calculer la moyenne arithm\'{e}tico-g\'{e}%
om\'{e}trique de $1$ et $2$ \`{a} 10$^{-100}$ pr\`{e}s.
\end{enumerate}

\item * : La moyenne arithm\'{e}tico-harmonique :

Pour $0<a\leqslant b$ on pose $m(a,b)=\dfrac{a+b}{2}$ et $h(a,b)=\dfrac{1}{%
m\left( \dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right) }$ (moyenne \textit{harmonique} de $%
a$ et $b)$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $a\leqslant h(a,b)\leqslant m(a,b)\leqslant b$ et que $%
h(a,b).m(a,b)=ab$.

\item On pose $\left\{ 
\begin{array}{c}
a_{0}=a \\ 
b_{0}=b%
\end{array}%
\right. $ et $\forall n\in \mathbb{N}\left\{ 
\begin{array}{c}
a_{n+1}=h(a_{n},b_{n}) \\ 
b_{n+1}=m(a_{n},b_{n})\;%
\end{array}%
\right. \;.$\newline
Montrer que ces deux suites sont adjacentes ; soit $l\left( a,b\right) $ la
limite commune.

\item V\'{e}rifier que $\forall n\in \mathbb{N\;}a_{n}b_{n}=ab$; que vaut
donc $l\left( a,b\right) $ ? (la moyenne "arithm\'{e}tico-harmonique" n'est
donc autre que la moyenne g\'{e}om\'{e}trique !).

\item D\'{e}terminer une relation de r\'{e}currence simple v\'{e}rifi\'{e}e
par $(b_{n})$ (de la forme $b_{n+1}=f(b_{n})$) et comparer avec la m\'{e}%
thode de H\'{e}ron (exercice 41).
\end{enumerate}

\item * Algorithme de Borchardt : soient $a_{0}=a,$ $b_{0}=b$ avec $%
0<a\leqslant b,$ puis pour tout $n\in \mathbb{N}$%
\begin{equation*}
a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( a_{n}+b_{n}\right) \,\text{et }b_{n+1}=\sqrt{%
a_{n+1}b_{n}}
\end{equation*}%
(bien noter le $a_{n+1}b_{n}$ au lieu du $a_{n}b_{n}).$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( a_{n}\right) $ et $\left( b_{n}\right) $ sont
convergentes de m\^{e}me limite, que l'on notera $l$.

\item On pose $q_{n}=\dfrac{a_{n}}{b_{n}}$ ; v\'{e}rifier que $q_{n+1}=\sqrt{%
\dfrac{1+q_{n}}{2}}.$

\item En d\'{e}duire que si $\alpha =\arccos \dfrac{a}{b},$ $a_{n}=b_{n}\cos 
\dfrac{\alpha }{2^{n}},$ puis que $b_{n}=b_{0}\dfrac{\sin \alpha }{2^{n}\sin 
\dfrac{\alpha }{2^{n}}}.$

\item En d\'{e}duire que $l=b_{0}\dfrac{\sin \alpha }{\alpha }=\dfrac{\sqrt{%
b^{2}-a^{2}}}{\arccos \dfrac{a}{b}}$ et que $\left( b_{n}-a_{n}\right) $ $%
\sim b_{0}\dfrac{\alpha \sin \alpha }{2^{2n+1}}.$

\item Que vaut donc $\dfrac{1}{l}$ si $a=1/2,b=1/\sqrt{2}$ ?
\end{enumerate}

\item * Algorithme de Borchardt, bis : soient $a_{0}=a,$ $b_{0}=b$ avec $%
0<a\leqslant b,$ puis pour tout $n\in \mathbb{N}$%
\begin{equation*}
b_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left( a_{n}+b_{n}\right) \,\text{et }a_{n+1}=\sqrt{%
a_{n}b_{n+1}}
\end{equation*}%
(bien noter les subtiles diff\'{e}rences entre les exercices 25, 27 et 28 !$%
).$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( a_{n}\right) $ et $\left( b_{n}\right) $ sont
convergentes de m\^{e}me limite, que l'on notera $l$.

\item On pose $q_{n}=\dfrac{b_{n}}{a_{n}}$ ; v\'{e}rifier que $q_{n+1}=\sqrt{%
\dfrac{1+q_{n}}{2}}.$

\item En d\'{e}duire que si $\alpha =\arg $ch$\dfrac{b}{a},$ $b_{n}=a_{n}$ch$%
\dfrac{\alpha }{2^{n}},$ puis que $a_{n}=a\dfrac{\text{sh}\alpha }{2^{n}%
\text{sh}\dfrac{\alpha }{2^{n}}}.$

\item En d\'{e}duire que $l=a\dfrac{\text{sh}\alpha }{\alpha }=\dfrac{\sqrt{%
b^{2}-a^{2}}}{\arg \text{ch}\dfrac{b}{a}}$ et que $\left( b_{n}-a_{n}\right)
\sim a\dfrac{\alpha ~\text{sh~}\alpha }{2^{2n+1}}.$

\item Montrer que si on part de $a_{0}=\sqrt{ab},$ $b_{0}=\dfrac{a+b}{2}$ au
lieu de $a_{0}=a,$ $b_{0}=b,$ alors $l=\dfrac{b-a}{\ln b-\ln a}=$ \textit{%
moyenne logarithmique} de $a$ et $b.$
\end{enumerate}

\item * : Soit $x\in \mathbb{R}$ ; on pose $x_{n}=10^{-n}\left[ 10^{n}x%
\right] $ et $y_{n}=x_{n}+10^{-n}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $\left( x_{n}\right) $ et $\left( y_{n}\right) $ pour $%
x=9,898.$

\item Prouver que $\left( x_{n}\right) $ et $\left( y_{n}\right) $ sont
adjacentes de limite $x.$
\end{enumerate}

\item : Soit $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 1}$ une suite d\'{e}%
croissante de r\'{e}els convergeant vers $0.$ On pose 
\begin{equation*}
S_{n}=u_{1}-u_{2}+...+\left( -1\right) ^{n+1}u_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}%
{\sum }}\left( -1\right) ^{k+1}u_{k}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $\left( S_{2n}\right) _{n\geqslant 1}$ et $\left(
S_{2n-1}\right) _{n\geqslant 1}$ sont adjacentes et que donc $S=\underset{k=1%
}{\overset{+\infty }{\sum }}\left( -1\right) ^{k+1}u_{k}$ existe.

\item Montrer que $\left\vert S-S_{n}\right\vert \leqslant u_{n+1}$ et que $%
S-S_{n}$ est du signe de $\left( -1\right) ^{n}.$

\underline{Remarque} : ces r\'{e}sultats constituent le th\'{e}or\`{e}me dit
des s\'{e}ries \textit{altern\'{e}es} (car $S_{n}$ est alternativement au
dessous et au dessus de $S$).

\item D\'{e}terminer \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s $S=1-1/2+1/3-1/4+...=\underset{%
k=1}{\overset{+\infty }{\dsum }}\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k}$ et $%
T=1-1/3+1/5-1/7+...=\underset{k=1}{\overset{+\infty }{\dsum }}\dfrac{\left(
-1\right) ^{k+1}}{2k-1}$ (on montre qu'en fait $S=\ln 2$ et $T=\dfrac{\pi }{4%
}).$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ sont
deux suites \`{a} termes $>0$ \ v\'{e}rifiant :

$\left( u_{n}\right) $ croissante, $\left( v_{n}\right) $ d\'{e}croissante,
et $\lim \dfrac{u_{n}}{v_{n}}=1$,

alors $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ sont adjacentes.

\item Montrer que les suites suivantes sont adjacentes : $\ u_{n}=\left( 1+%
\dfrac{1}{n}\right) ^{n}$ et $v_{n}=\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n+1}.$

Indication : \'{e}tudier les fonctions $x\mapsto \left( 1+\dfrac{1}{x}%
\right) ^{x}$ et $x\mapsto \left( 1+\dfrac{1}{x}\right) ^{x+1},$ ou bien
montrer que $\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}=\dfrac{\left( 1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)
^{n}}{1-\dfrac{1}{n}}$ et utiliser l'in\'{e}galit\'{e} de Bernoulli
(exercice 13 r\'{e}currences).

\item Quelle valeur approch\'{e}e de $e$ obtient-on en calculant $u_{1000}$
et $v_{1000}$ ?

\item V\'{e}rifier que $u_{n}^{v_{n}}=v_{n}^{u_{n}}$ avec $u_{n}$ et $v_{n}$
rationnels.
\end{enumerate}

\item : Montrer que les suites suivantes sont adjacentes (on pourra utiliser
31. a)) : \newline
$u_{n}=\sqrt{n}\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) }{4^{n}}$ et $v_{n}=\sqrt{n+1}\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) }{4^{n}};$ admettant avoir d\'{e}montr\'{e} que la limite commune
est $1/\sqrt{\pi },$ en d\'{e}duire un encadrement de $\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) $ ; quelle approximation de $\left( 
\begin{array}{c}
100 \\ 
50%
\end{array}%
\right) $ cet encadrement fournit-il ?

Rep : $1,01.10^{29}\pm 0,01.10^{29}$

\item : Soit $\theta \in ]0,\dfrac{\pi }{2}[$ ; montrer que les suites
suivantes sont adjacentes (on pourra utiliser 31. a)) : \newline
$u_{n}=n\sin \dfrac{\theta }{n},v_{n}=n\tan \dfrac{\theta }{n}.$

\item * : Montrer que les suites suivantes sont adjacentes et donner une
valeur approch\'{e}e de leur limite \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s.

\begin{enumerate}
\item $u_{n}=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{\cdots +\sqrt{n-1+\sqrt{n}}}}}$ et $v_{n}=%
\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{\cdots +\sqrt{n-1+\sqrt{2n}}}}}.$\newline
Indication : on pourra montrer en utilisant $n$ quantit\'{e}s conjugu\'{e}%
es, que $v_{n}-u_{n}\leqslant \dfrac{n}{2^{n-1}\sqrt{\left( n-1\right) !}}.$
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}monstration partielle de la formule de Stirling.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que la suite $\left( u_{n}\right) $ d\'{e}finie par $%
u_{n}=\dfrac{n!e^{n}}{n^{n}\sqrt{n}}$ est convergente de limite $l$ non
nulle, en montrant que $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right)
=\left( \dfrac{n!e^{n}}{n^{n}\sqrt{n+1}}\right) $ sont des suites adjacentes.

\item En d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $n!$ (on d\'{e}montrera gr\^{a}ce
aux int\'{e}grales de Wallis que $l=\sqrt{2\pi })$.

$\fbox{{\Large APPLICATIONS DU TH\'{E}OR\`{E}ME DE BOLZANO WEIERSTRASS}}$
\end{enumerate}

\item  : D\'{e}montrer que de toute suite complexe, on peut extraire une
sous suite convergente, sachant que de toute suite r\'{e}elle, on peut
extraire une sous suite convergente.

\item * : \textbf{Le crit\`{e}re de Cauchy.}

\begin{definition}
On dit que $\left( u_{n}\right) $ est une suite de Cauchy lorsque 
\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0\,\;\exists n_{1}\in \mathbb{N}\,\;\forall
n,p\geqslant n_{1}\;\;\;\left\vert u_{n}-u_{p}\right\vert \leqslant
\varepsilon 
\end{equation*}
\end{definition}

L'exercice a pour but de d\'{e}montrer que toute suite de nombres complexes
est convergente ssi elle est de Cauchy (on dit qu'elle \textquotedblright v%
\'{e}rifie le crit\`{e}re de Cauchy\textquotedblright ).

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une suite convergente est une suite de Cauchy.

\item Montrer qu'une suite de Cauchy est born\'{e}e.

\item En utilisant le th\'{e}or\`{e}me de Bolzano-Weierstrass complexe (ex.
pr\'{e}c\'{e}dent), montrer qu'une suite de Cauchy est convergente.

\item D\'{e}montrer \`{a} l'aide du crit\`{e}re de Cauchy qu'\'{e}tant donn%
\'{e} une suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 1},$ si la suite de terme g%
\'{e}n\'{e}ral $t_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\left\vert
u_{k}\right\vert $ est convergente, alors la suite de terme g\'{e}n\'{e}ral $%
s_{n}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}u_{k}$ est aussi convergente.\ 
\end{enumerate}

\item * :

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une suite r\'{e}elle born\'{e}e est divergente si et
seulement si elle poss\`{e}de deux sous-suites convergeant vers des limites
distinctes.

\item Montrer qu'une suite r\'{e}elle est divergente de deuxi\`{e}me esp\`{e}%
ce (autrement dit : n'a pas de limite, ni finie, ni infinie) si et seulement
si elle poss\`{e}de deux sous-suites ayant des limites distinctes.

\item \'{E}tendre le (a) aux suites complexes.

$\fbox{{\Large SUITES R\'{E}CURRENTES}}$
\end{enumerate}

\item : On consid\`{e}re la suite r\'{e}currente d\'{e}finie par son premier
terme $u_{0}$ et la relation $u_{n}=f\left( u_{n-1}\right) $ o\`{u} $f\left(
x\right) =ax\left( 4-x\right) .$

\begin{enumerate}
\item Cas $a=\dfrac{1}{2},u_{0}=1$ $;$ construire les premiers termes de la
suite dans une figure, puis l'\'{e}tudier.

\item Exceptionnellement on peut calculer $u_{n}$ dans le cas pr\'{e}c\'{e}%
dent : v\'{e}rifier que $1-\dfrac{u_{n}}{2}=\left( 1-\dfrac{u_{n-1}}{2}%
\right) ^{2},$ et en d\'{e}duire $u_{n}$ en fonction de $n.$

\item Cas $a=\dfrac{3}{4},u_{0}=2$ $;$ construire les premiers termes de la
suite dans une figure, puis l'\'{e}tudier.

Indication : $f\left( f\left( x\right) \right) -x=-\dfrac{x}{64}\left(
3x-8\right) ^{3}.$

\item Cas $a=1$ ; que se passe-t-il pour $u_{0}=3$ ? Et pour $u_{0}=3,1$ ?
(On ne demande pas d'\'{e}tude pr\'{e}cise mais de construire les premiers
termes de la suite). Commenter les figures ci-dessous.%
\begin{equation*}
\FRAME{itbpF}{3.0112in}{3.3541in}{0in}{}{}{Figure}{\special{language
"Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display
"USEDEF";valid_file "T";width 3.0112in;height 3.3541in;depth
0in;original-width 2.8476in;original-height 3.1756in;cropleft "0";croptop
"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'IABP9A00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\FRAME{itbpF}{3.0328in}{3.3217in}{%
0in}{}{}{Figure}{\special{language "Scientific Word";type
"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width
3.0328in;height 3.3217in;depth 0in;original-width 2.8684in;original-height
3.144in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'IABPAJ01.wmf';tempfile-properties "XPR";}}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item Etudier la suite d\'{e}finie par $u_{0}=\dfrac{1}{2}$, $%
\;u_{n}=1-u_{n-1}^{2}.$

\begin{enumerate}
\item Indication : $f\left( f\left( x\right) \right) -x=x\left( x-1\right)
\left( x-a\right) \left( x+1/a\right) $ avec $a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.$
\end{enumerate}

\item : M\'{e}thode de H\'{e}ron pour calculer une racine carr\'{e}e.\newline

(H\'{e}ron d'Alexandrie, math\'{e}matien grec du Ier si\`{e}cle apr\`{e}s
J.C. ; mais la m\'{e}thode \'{e}tait connue des Babyloniens).

Soit $a$ un r\'{e}el \TEXTsymbol{>}1.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $x$ est un r\'{e}el $>0$,\ $\;x<\sqrt{a}\Leftrightarrow 
\dfrac{a}{x}>\sqrt{a}.$

\item \'{E}tudier la suite r\'{e}currente (appel\'{e}e la suite de H\'{e}%
ron) d\'{e}finie par $u_{0}=a$, $u_{n}=\dfrac{1}{2}\left( u_{n-1}+\dfrac{a}{%
u_{n-1}}\right) $ apr\`{e}s avoir fait une figure.

\item On pose $v_{n}=\dfrac{a}{u_{n}}$; \'{e}tudier $\left( v_{n}\right) .$

\item D\'{e}terminer par cette m\'{e}thode une valeur approch\'{e}e de $%
\sqrt{2}$ \`{a} $10^{-5}$ pr\`{e}s.

\item Montrer que $u_{n}-v_{n}\leqslant \dfrac{1}{2}\left(
u_{n-1}-v_{n-1}\right) $ et en d\'{e}duire un majorant de $u_{n}-v_{n}.$%
\newline

nous allons mainetenant obtenir un meilleur majorant.

\item * On pose $U_{n}=\dfrac{u_{n}-\sqrt{a}}{u_{n}+\sqrt{a}}\left( =\dfrac{%
\sqrt{a}-v_{n}}{\sqrt{a}+v_{n}}\right) $ ; calculer $U_{n}$ en fonction de $%
U_{n-1}$ et en d\'{e}duire $U_{n}=\left( U_{0}\right) ^{2^{n}}$ puis en d%
\'{e}duire que $u_{n}-\sqrt{a}\;\leqslant \left( a+\sqrt{a}\right)
\varepsilon ^{2^{n}}$ avec $\varepsilon =\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}$ et $%
\sqrt{a}-v_{n}\;\leqslant \left( 2\sqrt{a}\right) \varepsilon ^{2^{n}}$.
Donner enfin un majorant de $u_{n}-v_{n}.$

\item * Pour obtenir $\sqrt{2}$ \`{a} $10^{-100}$ pr\`{e}s, pour quelle
valeur de $n$ suffit-il de calculer $u_{n}\ $et $v_{n.}?$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Etudier la suite r\'{e}currente (faire une figure) : $u_{0}=\dfrac{1}{2%
}$, $\;u_{n}=u_{n-1}-u_{n-1}^{2}.$

\item Montrer que $\lim \left( \dfrac{1}{u_{n}}-\dfrac{1}{u_{n-1}}\right) =1$
et en d\'{e}duire, en admettant le lemme de l'escalier (exercice 11. (d))
que $u_{n}\sim \dfrac{1}{n}.$
\end{enumerate}

\item :

\begin{enumerate}
\item Etudier la suite r\'{e}currente (faire une figure) : $u_{0}=1$ et $%
u_{n}=u_{n-1}+\dfrac{1}{u_{n-1}}.$

\item Montrer que $u_{n}^{2}-u_{n-1}^{2}\rightarrow 2$ et en d\'{e}duire, en
admettant le lemme de l'escalier (exercice 11. (d )), que $u_{n}\sim \sqrt{2n%
}.$

\item Autre m\'{e}thode \'{e}vitant le recours au lemme de l'escalier :
Montrer que $2\leqslant u_{k}^{2}-u_{k-1}^{2}\leqslant 2+u_{k}-u_{k-1}$ ;
sommer ces in\'{e}galit\'{e}s pour $k$ allant de 1 \`{a} $n$ ; en d\'{e}%
duire que $1-\dfrac{1}{u_{n}}\leqslant \dfrac{2n}{u_{n}^{2}}\leqslant 1-%
\dfrac{1}{u_{n^{2}}}$ et conclure.
\end{enumerate}

\item * : \'{E}tudier la suite d\'{e}finie par : 
\begin{eqnarray*}
1.\;u_{0} &=&a\in \mathbb{C} \\
2.\;u_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}\left( u_{n}+\left\vert u_{n}\right\vert \right)
\end{eqnarray*}

\begin{equation*}
\fbox{{\Large COMPARAISON DES SUITES}}
\end{equation*}

\item : \ 

\begin{enumerate}
\item Classer par ordre croissant pour la relation $<<.$\newline
$\left( \sqrt{n}\right) ^{n}\quad ;\quad 2^{n^{2}}\quad ;\quad \left(
2n\right) ^{n}\quad ;\quad n^{2^{n}}\quad ;\quad n^{\sqrt{n}}\quad ;\left( 
\dfrac{n}{2}\right) ^{n};\quad n^{2n}\quad ;\quad n^{n}$ $.$

\item Comparer $\left( \dfrac{n}{2}\right) ^{n}$ et $n!$ pour la relation $%
<< $ (indication : poser $u_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{n}{2}\right) ^{n}}{n!}$
et d\'{e}terminer $\lim $ $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}})$ ; en d\'{e}duire la
comparaison de $n^{2n}$ et $\left( 2n\right) !.$

\item Introduire $n!$ et $\left( 2n\right) !$ dans la liste du (a).
\end{enumerate}

\item Vrai ou faux ?

\begin{enumerate}
\item Soient $\left( u_{n}\right) ,$ $\left( u_{n}^{\prime }\right) ,\left(
v_{n}\right) $ des suites r\'{e}elles v\'{e}rifiant : $\left\{ 
\begin{array}{c}
\forall n\in \mathbb{N}\quad u_{n}>0,v_{n}>0 \\ 
u_{n}\sim u_{n}^{\prime }%
\end{array}%
\right. $ ; alors $u_{n}+v_{n}\sim u_{n}^{\prime }+v_{n}.$

\item Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\rightarrow a,$ alors $u_{n}\sim u_{0}a^{n}.$

\item Si $\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}\sim v_{n}$ alors $u_{n}\sim
u_{n-3}v_{n-2}v_{n-1}v_{n}.$

\item Si $\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}\sim v_{n}$ alors $u_{n}\sim
u_{0}v_{1}v_{2}\cdots v_{n-1}v_{n}$

\item Si $\lim nu_{n}=1$ alors $\lim nu_{n+1}=1.$

\item Si $\left\{ 
\begin{array}{c}
\forall n\in \mathbb{N}\quad u_{n}>0,v_{n}>0 \\ 
u_{n}<<v_{n}%
\end{array}%
\right. $ et $f$ est une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}%
_{+}^{\ast }$, alors $f\left( u_{n}\right) <<f\left( v_{n}\right) .$
\end{enumerate}

\item Soient $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ deux suites 
\`{a} termes \TEXTsymbol{>} 0 ; Montrer que 
\begin{eqnarray*}
u_{n} &=&o\left( v_{n}\right) \Leftrightarrow \forall \lambda >0\ \ \ \
u_{n}\leqslant \lambda v_{n}\text{ \ \ APCR} \\
u_{n} &=&O\left( v_{n}\right) \Leftrightarrow \exists \ \lambda >0\ \ \
u_{n}\leqslant \lambda v_{n}\ \ \ \text{APCR} \\
u_{n} &\sim &v_{n}\Leftrightarrow \forall \ \lambda >1\ \ \forall \mu \in
]0,1[\ \ \ \mu v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant \lambda v_{n}\ \ \ \text{APCR}
\end{eqnarray*}

\item * : Comparer $\left( \dfrac{n}{\alpha }\right) ^{n}$ et $n!$ ($\alpha
>0)$ pour la relation $<<.$

\begin{enumerate}
\item En utilisant la formule de Stirling.

\item Sans l'utiliser (sauf le cas $\alpha =e$).
\end{enumerate}

\item : Montrer que si $\lim u_{n}=0$ et $\lim v_{n}=0$ alors $\left( \sin
u_{n}-\sin v_{n}\right) \sim \left( u_{n}-v_{n}\right) $ et $\left(
e^{u_{n}}-e^{v_{n}}\right) \sim \left( u_{n}-v_{n}\right) .$

\item * : Aire d'un disque et aire des polygones r\'{e}guliers inscrits et
circonscrits.

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'un triangle isoc\`{e}le de c\^{o}t\'{e} $a$, de hauteur $h$
et d'angle au sommet $\theta $ a pour aire $\dfrac{1}{2}a^{2}\sin \theta
=h^{2}\tan \dfrac{\theta }{2}.$

\item Soit $D$ un disque de rayon $R$ ; montrer que l'aire d'un polygone r%
\'{e}gulier inscrit \`{a} $n$ c\^{o}t\'{e}s vaut $S_{n}=\dfrac{n}{2}\sin
\left( \dfrac{2\pi }{n}\right) R^{2}$ et d\'{e}terminer de m\^{e}me l'aire $%
S_{n}^{\prime }$ d'un polygone r\'{e}gulier circonscrit \`{a} $n$ c\^{o}t%
\'{e}s.

\item Montrer que $\lim S_{n}$ et $\lim S_{n}^{\prime }$ sont bien \'{e}%
gales \`{a} ce que l'on souhaite et d\'{e}terminer un \'{e}quivalent simple
de $S_{n}^{\prime }-S_{n}$ quand $n\rightarrow +\infty .$
\end{enumerate}

\item : D\'{e}terminer un \'{e}quivalent simple pour chacune des suites
ci-apr\`{e}s, puis leur limite si elle existe.

\begin{enumerate}
\item $\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor $

\item $\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}k$

\item $\left( _{k}^{n}\right) $ ($k$ \'{e}tant fix\'{e})

\item $\left( n+1\right) ^{p}-\left( n-1\right) ^{p}$ ($p$ entier positif fix%
\'{e})

\item $\left( n+1\right) ^{p}-n^{p-1}\left( p+n\right) $ ($p$ entier positif
fix\'{e})

\item $\sqrt{2n^{2}+n}-n$

\item $\sqrt{2n^{2}+n}-\sqrt{2}n$

\item $\sqrt{2n^{2}+n}-\sqrt{n}$

\item $\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{n^{3}}$

\item $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}$

\item $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$

\item $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n^{2}}$

\item $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n^{2}}$

\item $\ln ^{4}n-\dfrac{n}{\ln ^{2}n}$

\item $3^{\ln n}-n^{2}$

\item $2^{n+1}-2^{n}$

\item $2^{n^{2}+n}-2^{n^{2}}$

\item $\left( \sqrt{n}\right) ^{n}+n^{\sqrt{n}}+n^{\frac{n}{2}}$

\item $\left( 2^{n}\right) ^{n}+2^{n^{2}}+\left( 4^{n}\right) ^{2}$

\item $\left( 2n\right) !-n^{n}$

\item $\left( n+1\right) ^{n}$

\item $\left( n-1\right) ^{n}$

\item $\left( n+1\right) ^{n}-n^{n}$

\item $\left( n+1\right) ^{n}-en^{n}$

R\'{e}ponses : a. $\sqrt{n}$ ; b. \ $\dfrac{n^{2}}{2}$ ; c. $\dfrac{n^{k}}{k!%
}$ ; d. $2pn^{p-1}$ ; e. $\frac{p\left( p-1\right) }{2}n^{p-2}$ ; f. $\left( 
\sqrt{2}-1\right) n$ ; g. $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ ; h. $\sqrt{2}n$ ; i. $%
\dfrac{1}{n^{2}}$ ; j. $-\dfrac{1}{n^{2}}$ ; k . $\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\,;$l. 
$-\dfrac{1}{n^{3}}$ ; m. $-\dfrac{2}{n^{2}}$ ; n. $-\dfrac{n}{\left( \ln
n\right) ^{2}}$ ; o. $-n^{2}$ ; q. 2$^{n^{2}+n}$ ; r. $2n^{\frac{n}{2}}$ ;
s. $2.2^{n^{2}};$t. $\left( 2n\right) !$ ;u. $en^{n}$ ; v. $\dfrac{1}{e}%
n^{n} $ ; w. $\left( e-1\right) n^{n}$ .
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
