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\begin{document}


I DEFINITION PAR FOYER ET DIRECTRICE

\bigskip

DONN\'{E}ES dans le plan $\left( P\right) $ : $\left( D\right) $ droite,\ \ $%
F$ $\notin $ $\left( D\right) $, \ $\ e$ $>0$.

$\left( \Delta \right) $ droite perpendiculaire \`{a} $\left( D\right) $
passant par $F$, coupant $\left( D\right) $ en $K$ ;

\bigskip

DEF : la \textit{conique} de \textit{foyer} $F$, de \textit{directrice} $%
\left( D\right) $ et d'\textit{excentricit\'{e}} $e$ est par d\'{e}finition
l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\dfrac{MF}{MH}$= $e$ o\`{u} $H$
est le projet\'{e} orthogonal du point $M$ sur $\left( D\right) $ ;%
\begin{equation*}
\left( C\right) (F,D,e)\ \overset{def}{=}\{M\in P\text{\ /\ }\dfrac{MF}{MH}%
=e\}
\end{equation*}

FIG 1

\bigskip

\bigskip

REM 1 : $\left( \Delta \right) $ est un axe de sym\'{e}trie de $\left(
C\right) $ appel\'{e} \textit{axe focal} de $\left( C\right) $.

On pose :

$d=$ $FK=$ distance du foyer \`{a} la directrice.

\smallskip $p=$ $MF$ lorsque ($MF$) $\perp \left( \Delta \right) =ed$ = 
\textit{param\`{e}tre }de la conique (appel\'{e} aussi $\frac{1}{2}$\textit{%
corde focale} ou $\frac{1}{2}$\textit{latus rectum})

\bigskip

\smallskip REM 2 : L'excentricit\'{e} $e$ d\'{e}finit enti\`{e}rement la
conique \`{a} \textit{similitude} pr\`{e}s, tandis que deux des nombres $d$
, $p$ et $e$ d\'{e}finissent enti\`{e}rement la conique \`{a} \textit{isom%
\'{e}trie} pr\`{e}s.

PROP : l'\'{e}quation polaire de $\left( C\right) $ dans le rep\`{e}re ($F$,$%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$) o\`{u} $\overrightarrow{i}=\dfrac{%
\overrightarrow{FK}}{FK}$ est \fbox{$\rho =\dfrac{p}{1+e\cos \theta }$}

La directrice a pour \'{e}quation polaire : $\rho =\dfrac{d}{\cos \theta }.$

R\'{e}ciproquement, une \'{e}quation polaire du type :

\begin{center}
$\dfrac{1}{\rho }=A\cos \theta +B\sin \theta +C$ ($C>0$)
\end{center}

est celle d'une conique de foyer le p\^{o}le, de param\`{e}tre $p=\dfrac{1}{C%
}$ et d'excentricit\'{e} $e=p\sqrt{A^{2}+B^{2}}.$

\bigskip

D1

\smallskip \ 

II) \textbf{\ CAS \ \ \ \ }$e\neq 1$\textbf{\ \ \ \ \ : CONIQUES A CENTRE
(OU BIFOCALES)}

\smallskip

PROP : l'intersection de $\left( C\right) $ avec $\left( \Delta \right) \ $%
est form\'{e} de deux points $A,A^{\prime }$ d\'{e}finis par \fbox{$%
\left\vert 
\begin{array}{c}
\overrightarrow{AF}=-e\text{ }\overrightarrow{AK}\text{ \ \ (1)} \\ 
\overrightarrow{A^{\prime }F}=e\text{ }\overrightarrow{A^{\prime }K}\text{ \
(2)}%
\end{array}%
\right. $}

D2

DEF : $A$ et $A^{\prime }$ sont les \textit{sommets} de la conique, le
milieu $O$ de $[AA^{\prime }]$ est le \textit{centre} de la conique.

\bigskip

FIG 2

\bigskip

REM : $\dfrac{\overline{A^{\prime }F}}{\overline{A^{\prime }K}}=-\dfrac{%
\overline{AF}}{\overline{A^{\prime }K}}$ ; cela signifie que les points $%
A^{\prime },A,F,K$ forment dans cet ordre une "division harmonique".

PROP : \fbox{$\overrightarrow{OF}=e$ $\overrightarrow{OA}$ et $%
\overrightarrow{OK}=\dfrac{1}{e}$ $\overrightarrow{OA}$}$.$

D3 (effectuer (1) + (2) et (2) - (1)).

On pose alors:

$a$ $=OA=\dfrac{d}{\left\vert e-\dfrac{1}{e}\right\vert }=$ \textit{\ rayon
focal }de la conique ($\mathit{2a}$ = \textit{diam\`{e}tre focal})

$c=$ $OF=$ $ea=$ $\dfrac{p}{\left\vert e-\dfrac{1}{e}\right\vert }=\frac{1}{2%
}$\textit{distance focale }de la conique

$b$ = $\sqrt{\left\vert a^{2}-c^{2}\right\vert }$ = $\sqrt{\left\vert
1-e^{2}\right\vert }\;a=$ \textit{rayon non focal }de la conique ($\mathit{2b%
}$ = \textit{diam\`{e}tre non focal})

On a alors les relations :$\left\{ 
\begin{array}{c}
e=\dfrac{c}{a} \\ 
d=\left\vert e-\dfrac{1}{e}\right\vert a=\dfrac{b^{2}}{c} \\ 
p=\left\vert 1-e^{2}\right\vert a=\dfrac{b^{2}}{a} \\ 
OK=\dfrac{a}{e}=\dfrac{a^{2}}{c}%
\end{array}%
\right. $

D4

PROP\ : Dans le rep\`{e}re orthonorm\'{e} (O,$\overrightarrow{i},%
\overrightarrow{j}$) , $\left( C\right) $ a pour \'{e}quation : \fbox{$%
\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$}$.$

\bigskip

$\left( C\right) $ est donc aussi sym\'{e}trique par rapport \`{a} la droite 
$\left( D_{0}\right) $, perpendiculaire \`{a} $\left( \Delta \right) $
passant par $O$, appel\'{e}e \textit{axe non focal}.

Si $s$ est la sym\'{e}trie orthogonale par rapport \`{a} $D_{0}$ , $%
F^{\prime }=s(F)$, $D^{\prime }=s(D),K^{\prime }=s\left( K\right) ,$

alors%
\begin{equation*}
\left( C\right) (F,D,e)=\left( C\right) (F^{\prime },D^{\prime },e)\text{ (d%
\'{e}finition bifocale de }\left( C\right) \text{)}
\end{equation*}%
.

$F$ et $F^{\prime }$ sont les deux \textit{foyers} de $\left( C\right) $, $D$
et $D^{\prime }$ ses deux \textit{directrices}.

Le \textit{rectangle des axes} est le rectangle d\'{e}limit\'{e} par les
droites : $x=\pm a,$ \ $y=\pm b.$

On d\'{e}finit les points : $B(0,b)$ $B^{\prime }(0,-b)$ et $C\left(
a,b\right) .$

\bigskip

\textbf{III) CAS}$\ \ \ e<1$\textbf{\ \ \ \ : \ \ \ ELLIPSE}

Alors $c<a$ et $b^{2}=a^{2}-c^{2}$ ; $\left( C\right) $ a pour \'{e}quation
: \fbox{$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$}.

$a$ s'appelle aussi dans ce cas le $\tfrac{1}{2}$\textit{grand axe}, ou le 
\textit{grand rayon} et $b$ le $\tfrac{1}{2}$\textit{petit axe}, ou le 
\textit{petit rayon}.

$A$ et $A^{\prime }$ sont les sommets \textit{principaux} (rayon de courbure
: $\frac{b^{2}}{a}=p)$, $B$ et $B^{\prime }$ les sommets \textit{secondaires}
(rayon de courbure : $\frac{a^{2}}{b}).$

\bigskip

DEF : $\dfrac{b}{a}=\sqrt{1-e^{2}}$ est appel\'{e} le \textit{coefficient
d'applatissement} de l'ellipse (par rapport au cercle de rayon $a$).

\bigskip

PROP : la longueur de l'ellipse est \'{e}gale \`{a} $4a\int {}_{0}^{\frac{%
\pi }{2}}\sqrt{1-e^{2}\sin ^{2}\theta }d\theta =2\pi a\left( 1-\left( \frac{1%
}{2}\right) ^{2}e^{2}-\left( \frac{1.3}{2.4}\right) ^{2}\dfrac{e^{4}}{3}%
-\left( \frac{1.3.5}{2.4.6}\right) ^{2}\dfrac{e^{6}}{5}-...\right) ;$

son aire est $\pi ab.$

\bigskip

REM : deux parmi les 6 nombres $a,b,c,d,e,p$ d\'{e}finissent enti\`{e}rement
l'ellipse \`{a} isom\'{e}trie pr\`{e}s.

\bigskip

PROP : l'ellipse $\left( C\right) $ a pour param\'{e}trisation : $\left\{ 
\begin{array}{c}
x=a\cos t \\ 
y=b\sin t%
\end{array}%
\right. $

\bigskip

PROP : l'ellipse $\left( C\right) $ est l'image par l'affinit\'{e} (ou
dilatation) $\left\{ M_{1}\left\vert 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
y_{1}%
\end{array}%
\right. \mapsto M\left\vert 
\begin{array}{c}
..... \\ 
.....%
\end{array}%
\right. \right. $du cercle \textit{principal} (ou \textit{circonscrit}, ou%
\textit{\ grand}) $Cercle(O,a)$ et aussi image par l'affinit\'{e} (ou
dilatation) $\left\{ M_{2}\left\vert 
\begin{array}{c}
x_{2} \\ 
y_{2}%
\end{array}%
\right. \mapsto M\left\vert 
\begin{array}{c}
..... \\ 
.....%
\end{array}%
\right. \right. $ du cercle \textit{secondaire} (ou \textit{inscrit},ou%
\textit{\ petit}) $Cercle(O,b)$.

\bigskip

COROLLAIRE : construction point par point de l'ellipse dite "PAR R\'{E}%
DUCTION D'ORDONN\'{E}E"

\bigskip

D5

FIG 3

\bigskip

PROP : construction du foyer et de la directrice connaissant le rectangle
des axes.

\bigskip

\qquad 1) $BF$ = $OA$ ($=a$) d'o\`{u} la construction de $F$ connaissant le
rectangle des axes.

\bigskip

\qquad 2) La droite $(BF)$ coupe la droite $x=a$ en $D$ tel que $BD=\dfrac{%
a^{2}}{c}=OK;$ d'o\`{u} la construction de $K$ connaissant le rectangle des
axes.

\bigskip

D6

FIG 4\smallskip

REM : Si $\mathcal{A}$ = $FA^{\prime }$ = $a+c$ = \textit{apog\'{e}e}, $\ \
\ $et$\ \ \mathcal{P}$ = $FA$= $a-c=$ $FA$ = p\'{e}rig\'{e}e, alors

\begin{center}
\fbox{$e=\dfrac{\mathcal{A-P}}{\mathcal{A+P}}$}
\end{center}

\smallskip

PROP : construction point par point par la M\'{E}THODE DE\ LA\ BANDE\ DE\
PAPIER :

\bigskip $\left( C\right) $ est l'ensemble des points $M$ du plan tels qu'il
existe $P$ sur $Ox$ et $Q$ sur $Oy$ v\'{e}rifiant :

$PM=b$, $QM=$ $a$, et $P,Q,M$ align\'{e}s.

D7

FIG 5

\bigskip

\bigskip PROP : d\'{e}finition bifocale : $M\in \left( C\right)
\Leftrightarrow MF+MF^{\prime }=2a$.

Application au trac\'{e} du jardinier.

D8

FIG 6

\bigskip En d\'{e}rivant cette relation, on obtient : $\left( \dfrac{%
\overrightarrow{MF}}{MF}+\dfrac{\overrightarrow{MF^{\prime }}}{MF^{\prime }}%
\right) .\overrightarrow{T}=0$, o\`{u} $\overrightarrow{T}$ est le vecteur
tangent.

COROLLAIRE : la tangente \`{a} $\left( C\right) $ en $M$ est la bissectrice
ext\'{e}rieure en $M$ du triangle $MFF^{\prime }$.

Application aux miroirs elliptiques, et \`{a} la g\'{e}n\'{e}ration
tangentielle de l'ellipse. \newline

\bigskip

D9 FIG 7

Equation cart\'{e}sienne de la tangente \`{a} $\left( C\right) $ en $%
M_{0}\left( x_{0},y_{0}\right) $ : \fbox{$\dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}y%
}{b^{2}}=1$}\newline

D10

\bigskip

IV) {CAS : $e>1$ : HYPERBOLE}

Alors $c>a$ et $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ ; $\left( C\right) $ a pour \'{e}quation
: \fbox{$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$}

PROP : l'hyperbole a pour param\'{e}trisation : $%
\begin{cases}
x=\dfrac{a}{\cos t} \\ 
y=b\tan t%
\end{cases}%
$ou : $%
\begin{cases}
x=\pm a\text{ch }t \\ 
y=b\text{ sh }t%
\end{cases}%
$ ou encore $%
\begin{cases}
x=t \\ 
y=\pm \dfrac{b}{a}\sqrt{t^{2}-a^{2}}%
\end{cases}%
$ .

\bigskip

D11

L'axe focal $(A^{\prime }A)$ est aussi appel\'{e} l'axe \textit{transverse}. 
$B(0,b)$ et $B^{\prime }(0,-b)$ sont appel\'{e}s les \textit{pseudo-sommets}.

\bigskip

\bigskip PROP : construction du foyer et de la directrice connaissant le
rectangle des axes.

$\qquad 1)\ \ OC=OF=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=c$ d'o\`{u} la construction de $F$
connaissant le rectangle des axes.

\qquad 2) Soit $D\in \lbrack OC]$ tel que $OD=a$ ; alors $K$ est le projet%
\'{e} de $D$ sur $Ox$ ($\dfrac{OK}{a}=\dfrac{a}{c})$.

\bigskip D12 FIG 8

PROP : Les asymptotes $\dfrac{x}{a}\pm \dfrac{y}{b}=0$ sont dirig\'{e}es par
les vecteurs unitaires $\overrightarrow{I}\left( \frac{a}{c},-\frac{b}{c}%
\right) $ et $\overrightarrow{J}\left( \frac{a}{c},\frac{b}{c}\right) .$

Si $\alpha $ est l'angle ($\overrightarrow{i},\overrightarrow{J}$), on a : $%
e=\dfrac{1}{\cos \alpha }$ ; $\cos \alpha =\dfrac{a}{c}$ $;\sin \alpha =%
\dfrac{b}{c}$ $;\tan \alpha =\dfrac{b}{a}$ .

\bigskip

D13

\bigskip

PROP et DEF : les asymptotes sont orthogonales $\Leftrightarrow
a=b\Leftrightarrow e=\sqrt{2}$ ; dans ce cas l'hyperbole est dite \textit{%
\'{e}quilat\`{e}re}.

\'{E}QUATION DE L'HYPERBOLE RAPPORT\'{E}E \`{A} SES ASYMPTOTES (i. e. dans $%
(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J}$) ) :

\begin{center}
\fbox{$XY$ = $\dfrac{c^{2}}{4}$}
\end{center}

Application au trac\'{e} \`{a} partir des asymptotes et d'un point.\bigskip

D14 FIG 9

\bigskip

PROP : D\'{e}finition bifocale : $M\in \left( C\right) \Leftrightarrow
\left\vert {MF^{\prime }}-{MF}\right\vert =2a.$\bigskip \bigskip

D15 FIG 10

En d\'{e}rivant cette relation, on obtient : 
\begin{equation*}
\left( \dfrac{\overrightarrow{MF^{\prime }}}{MF}-\dfrac{\overrightarrow{MF}}{%
MF}\right) .\overrightarrow{T}=0
\end{equation*}

, o\`{u} $\overrightarrow{T}$ est le vecteur tangent.

\bigskip

COROLLAIRE : la tangente \`{a} $\left( C\right) $ en $M$ est la bissectrice
int\'{e}rieure en $M$ du triangle $MFF^{\prime }$.

\bigskip

Application aux miroirs hyperboliques, et \`{a} la g\'{e}n\'{e}ration
tangentielle de l'hyperbole.

\bigskip D16 FIG 11

\'{E}quation cart\'{e}sienne de la tangente \`{a} $\left( C\right) $ en $%
M_{0}\left( x_{0},y_{0}\right) $ : 
\begin{equation*}
\fbox{$\dfrac{x_{0}x}{a^{2}}-\dfrac{y_{0}y}{b^{2}}=1$}
\end{equation*}

D17

\bigskip

\textbf{V) CAS} $\mathit{e=1}$ : PARABOLE

\bigskip

TRAC\'{E} M\'{E}CANIQUE \`{a} partir de la d\'{e}finition : $M\in \left(
C\right) \Leftrightarrow MF=MH.$

FIG 12

\bigskip

Notations :

$p=FK=d$ ; $O=$ milieu de $[FK]=$ \textit{sommet} de la parabole ($O$
correspond au point $A$ du cas des coniques \`{a} centre ; $A^{\prime }$ est
rejet\'{e} \`{a} l'infini).

PROP : \'{E}quation cart\'{e}sienne dans le rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(O,-%
\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ : $y^{2}=2px.$

\'{E}quation de la tangente $\left( T\right) $ : $y_{0}y=p(x+x_{0}).$

D18

PROP : $\left( T\right) $ est la bissectrice int\'{e}rieure de $FMH$.

\bigskip

D19 FIG 13

\bigskip

VI) R\'{E}DUCTION DE L'\'{E}QUATION\ CART\'{E}SIENNE D'UNE COURBE DE DEGR%
\'{E} 2.

\bigskip

\bigskip Soit $\left( C\right) $ la courbe d'\'{e}quation cart\'{e}sienne
dans un rep\`{e}re orthonorm\'{e} : $ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$ avec $%
\left( a,b,c\right) \neq \left( 0,0,0\right) $ .

\bigskip TH 1 : si $b\neq 0,$ en effectuant une rotation du rep\`{e}re
d'angle $\theta $ d\'{e}fini par $\cot 2\theta =\dfrac{a-c}{b},$ on obtient
une \'{e}quation du m\^{e}me type o\`{u} le terme en $xy$ est nul, et une
translation permet ensuite d'annuler les termes en $x$ et $y$ (si les termes
correspondants en $x^{2}$ et $y^{2}$ sont non nuls)

Toute courbe $\left( C\right) $ a donc une \'{e}quation r\'{e}duite du type
: $AX^{2}+CY^{2}+F=0$ avec $AC\neq 0,$ ou $CY^{2}+DX=0$ avec $C\neq 0,$ ou $%
AX^{2}+EY=0$ avec $A\neq 0.$

TH 2 : $\left( C\right) $ est

\qquad - une ellipse ou l'ensemble vide si $\Delta =b^{2}-4ac=-4AC<0$

\qquad - une hyperbole ou la r\'{e}union de deux droites s\'{e}cantes si $%
\Delta =b^{2}-4ac=-4AC>0$

\qquad - une parabole ou la r\'{e}union de deux droites parall\`{e}les si $%
\Delta =b^{2}-4ac=0$

\bigskip D20.

Exemple : $3x^{2}+3y^{2}-2xy-8=0$ .

\bigskip

REM : On montre que la courbe $\left( C\right) $ ci-dessus est une conique
ou l'ensemble vide (autrement dit qu'elle ne d\'{e}g\'{e}n\`{e}re pas en la r%
\'{e}union de deux droites) ssi

\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
2a & b & d \\ 
b & 2c & e \\ 
d & e & 2f%
\end{array}%
\right\vert \neq 0
\end{equation*}

\end{document}
