%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0


\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}

\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{Created=Mon Aug 28 07:53:23 2000}
%TCIDATA{LastRevised=Friday, August 26, 2016 21:47:26}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="General\Blank Document">}
%TCIDATA{Language=French}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}

\def \go{\char"AB ~\ignorespaces}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\setlength{\headsep}{5mm}
\setlength{\topmargin}{-15mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
\setlength{\textwidth}{190mm}
\setlength{\textheight}{245mm}
\newcommand{\trans}[1]{\hbox{$\hspace{0.2em}^t\hspace{-0.2em}#1$}}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ \Large{COURS MPSI}}\chead{ \LARGE {A.1.IV.FONCTIONS, APPLICATIONS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}
\input{tcilatex}

\begin{document}


IV) FONCTIONS ET APPLICATIONS.\bigskip

\qquad 1) Introduction.

\bigskip

\qquad 2) Fonctions.

a) D\'{e}finitions.

DEF : une \textit{fonction} $f$ est d\'{e}finie par la donn\'{e}e :

\qquad - d'un ensemble de d\'{e}part $E$ et d'un ensemble d'arriv\'{e}e $F$

\ \ \ \ \ \ - d'un ensemble $G$ de couples $\left( x,y\right) $ avec $x$
dans $E$ et $y$ dans $F$, autrement dit une partie $G$ de $E\times F$ ,
telle que pour tout $x$ dans $E$ il existe au plus un $y$ dans $F$ tel que $%
\left( x,y\right) $ appartienne \`{a} $G,$ soit 
\begin{equation*}
\forall x\in E\;\;\forall y_{1},y_{2}\in F\;\;\;\left( \left( x,y_{1}\right) 
\text{ et }\left( x,y_{2}\right) \right) \in G\Rightarrow y_{1}=y_{2}
\end{equation*}

$G$ est appel\'{e} le graphe de la fonction ; si $\left( x,y\right) $ est
dans le graphe, on dit que $y$ est l'\textit{image} de $x$ par $f$ et que $x$
est un \textit{ant\'{e}c\'{e}dent} de $y$ par $f.$

L'ensemble des \'{e}l\'{e}ments de $E$ ayant une image par $f$ est appel\'{e}
l'\textit{ensemble de d\'{e}finition} de la fonction, et not\'{e} $D_{f}.$

\bigskip

On utilise une notation fonctionnelle : l'unique image de $x\in D_{f}$ par $%
f $ est not\'{e} $f(x)$ ; autrement dit : 
\begin{equation*}
\left( x,y\right) \in G\Leftrightarrow x\in D_{f}\text{ et }y=f\left(
x\right)
\end{equation*}

L'ensemble des fonctions de $E$ vers $F$ sera not\'{e} $\mathcal{F}\left(
E,F\right) .$

\bigskip

Pour d\'{e}finir une fonction de $E$ vers $F$, on \'{e}crit : 
\begin{equation*}
f:\left\{ 
\begin{array}{l}
E\rightarrow F \\ 
x\mapsto f(x)%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\bigskip

REM 1\ : bien se garder de confondre la \textit{fonction} $f$ (qui est un 
\'{e}l\'{e}ment de $\mathcal{F}\left( E,F\right) )$ et la \textit{valeur} $%
f\left( x\right) $ de $f$ en $x$ qui est un \'{e}l\'{e}ment de $F$ ; ne pas 
\'{e}crire par exemple \textquotedblright la fonction $\sin x",$ mais
\textquotedblright la fonction $\sin $"$,$ ou \textquotedblright la fonction 
$x\mapsto \sin x".$

\bigskip

REM 2 : deux fonctions $f$ et $g$ de $E$ vers $F$ sont \'{e}gales si et
seulement si : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
1.\;D_{f}=D_{g} \\ 
2.\forall x\in D_{f}\;\;\;f(x)=g(x)%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

Pour que deux fonctions soient distinctes, il suffit donc que les valeurs en
un point le soient.

\bigskip

b) Exemples.

\bigskip

\qquad $\alpha $) Fonctions d\'{e}finies par une ou plusieurs formules.

Il faut alors en chercher l'ensemble de d\'{e}finition.

\bigskip Ex 1 : $f:\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ 
x\mapsto \sqrt{4-\sqrt{3-1/x}}%
\end{array}%
\right. $

Ex 2 : $f:\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ 
t\mapsto \left( \sqrt{t},\sqrt{t-1}\right)%
\end{array}%
\right. $

\qquad $\beta )$ Fonctions d\'{e}finies "par morceaux", ou plus g\'{e}n\'{e}%
ralement, avec des conditions.

\bigskip Ex 3 : $f:\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ 
x\mapsto \left\{ 
\begin{array}{c}
x^{2}\text{ si }x\in \left[ 0,a\right[ ~\ (a>0) \\ 
\dfrac{b}{x}\text{si }x\in \left[ a,+\infty \right[%
\end{array}%
\right.%
\end{array}%
\right. $

Ex 4 : fonction caract\'{e}ristique d'une partie $A$ d'un ensemble $E$: $%
\mathbf{1}_{A}:\left\{ 
\begin{array}{l}
E\rightarrow \mathbb{R} \\ 
x\mapsto \left\{ 
\begin{array}{c}
1\text{ si }x\in A \\ 
0\ \text{si }x\in E\backslash A%
\end{array}%
\right.%
\end{array}%
\right. $

Par exemple la fonction $1_{\mathbb{Q}}$ pour $E=\mathbb{R}$ est appel\'{e}e
la fonction de Dirichlet.

\bigskip

\qquad $\gamma )$ Fonctions d\'{e}finies "r\'{e}cursivement".

\bigskip

Tr\`{e}s courant pour les suites (ensemble de d\'{e}part inclus dans $%
\mathbb{N})$:

\bigskip

Ex 5 :$\ f:\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} \\ 
n\mapsto \left\{ 
\begin{array}{c}
1\text{ si }n=0 \\ 
n.f\left( n-1\right) \text{ sinon}%
\end{array}%
\right.%
\end{array}%
\right. $

\bigskip Mais aussi pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ :

Ex 6 :$\ f:\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R} \\ 
x\mapsto \left\{ 
\begin{array}{c}
1\text{ si }0\leqslant x<1 \\ 
x.f\left( x-1\right) \text{ sinon}%
\end{array}%
\right.%
\end{array}%
\right. $

c) Restrictions d'une fonction.

DEF : si $A$ est une partie de $E,$ on appelle restriction de $f$ \`{a} $A,$
et on note $f_{|A}$ la fonction $:\left\{ 
\begin{array}{l}
A\rightarrow F \\ 
x\mapsto f(x)%
\end{array}%
\right. .$

\bigskip

REM 1 : la seule chose qui distingue $f$ et $f_{|A}$ est donc leur ensemble
de d\'{e}part ; leurs valeurs sur les \'{e}l\'{e}ments de $A$ sont les m\^{e}%
mes.

REM 2 : $D_{f_{|A}}=............$

\bigskip

\qquad 3) Applications.

\bigskip

\qquad \qquad a) D\'{e}finition.

\bigskip

DEF : une fonction est appel\'{e}e une \textit{application} lorsque son
ensemble de d\'{e}finition est \'{e}gal \`{a} son ensemble de d\'{e}part.

\bigskip

L'ensemble des applications de $E$ vers $F$ sera not\'{e} $\mathcal{A}\left(
E,F\right) $.

\bigskip

REM\ : si l'on restreint une fonction de $E$ vers $F$ \`{a} son ensemble de d%
\'{e}part $D_{f},$ on obtient une application de $D_{f}$ vers $F$ ; on fera
souvent la confusion entre ces deux notions : par exemple, la fonction $\ln $
peut \^{e}tre vue comme une \textit{application} de $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$
vers $\mathbb{R},$ ou comme une \textit{fonction} de $\mathbb{R}$ vers $%
\mathbb{R}.$

Exemples d'applications de $E$ dans $F$ :

\qquad - les applications constantes $x\mapsto a$ o\`{u} $a$ est un \'{e}l%
\'{e}ment fix\'{e} de $F$

\qquad - si $E=F,$ l'application identique (ou identit\'{e}), not\'{e}e $%
id_{E},$ d\'{e}finie par $id_{E}(x)=x$ pour tout $x$ dans $E.$

\bigskip \qquad

\qquad \qquad b) D\'{e}nombrement des applications et fonctions.

\bigskip

PROP : le nombre d'applications d'un ensemble $E_{n}$ de taille $n$ vers un
ensemble $F_{p}$ de taille $p$ est \'{e}gal \`{a} $...........$

\bigskip D1

\bigskip

On peut donc \'{e}crire dans le cas fini : $\left\vert \mathcal{A}\left(
E,F\right) \right\vert =\left\vert F\right\vert ^{\left\vert E\right\vert }$ 
$;$ c'est la raison pour laquelle on note souvent aussi $\mathcal{A}\left(
E,F\right) $ : $F^{E},$ m\^{e}me pour des ensembles infinis.

\bigskip

Exercice : le nombre de \textit{fonctions} de $E_{n}$ vers $F_{p}$ est \'{e}%
gal \`{a} $........$

\bigskip D2

\bigskip \qquad 4) Compositions des fonctions.

\bigskip DEF : si $f$ est une fonction de $E$ vers $F$ et $g$ une fonction
de $F$ vers $G,$ on d\'{e}finit la compos\'{e}e $g\circ f$ de $f$ et $g$
(noter l'inversion de l'ordre), par 
\begin{equation*}
g\circ f:\left\{ 
\begin{array}{l}
E\rightarrow G \\ 
x\mapsto g\left( f(x)\right)%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\bigskip

ATTENTION : puisque 
\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}

\bigskip dans $g\circ f,$ la fonction qui est effectu\'{e}e en premier est $%
f $ et non $g$ !!!!

REM : l'ensemble de d\'{e}finition $D_{g\circ f}$ de $g\circ f$ est
l'ensemble des $x$ de $D_{f}$ tels que $f\left( x\right) \in D_{g}$ ; il
peut \^{e}tre plus petit que celui de $f,$ mais par contre, si $f$ et $g$
sont des applications, $g\circ f$ aussi.

\bigskip

Exemples E$2$ :

Ensemble de d\'{e}finition de $\ln \circ \ln $, g\'{e}om\'{e}trie etc.

\bigskip

PROP : si$\left\{ 
\begin{array}{c}
f\text{ est une fonction de }E\text{ vers }F \\ 
g\text{ est une fonction de }F\text{ vers }G \\ 
h\text{ est une fonction de }G\text{ vers }H%
\end{array}
\right. $ , alors $\left( h\circ g\right) \circ f=h\circ \left( g\circ
f\right) $ (que l'on \'{e}crit $h\circ g\circ f$)

D3

\bigskip REM : en toute rigueur, cette propri\'{e}t\'{e} ne peut s'appeler
''associativit\'{e} de la loi $\circ "$ que lorsque $E=F=G.$

\bigskip Notation : si $f$ est une application de $E$ dans $E,$ on note $%
f^{n}$ l'application $\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{f\circ ...\circ f}%
}$ pour $n$ entier $\geqslant 1$ ; par convention, on pose $f^{0}=id_{E}$ ;
attention, pour $E=\mathbb{R},$ cette notation est en conflit avec celle de
la puissance $n-$i\`{e}me ($f^{n}\left( x\right) =\left( f\left( x\right)
\right) ^{n}),$ et c'est cette derni\`{e}re interpr\'{e}tation qui prime en g%
\'{e}n\'{e}ral.

\bigskip

\qquad 5) Images directes et r\'{e}ciproques d'une partie par une
application.

\bigskip

DEF : soient $f$ une application de $E$ vers $F$, $A$ une partie de $E$ et $%
B $ une partie de $F$ ; on d\'{e}finit alors

\qquad - l'\textit{image directe} de $A$ par $f,$ not\'{e}e abusivement $%
f\left( A\right) ,$ comme l'ensemble des images des \'{e}l\'{e}ments de $A$
par $f$ (ou l'ensemble des valeurs prises par l'application sur $A).$

\qquad - l'\textit{image r\'{e}ciproque} (ou \textit{pr\'{e}image }ou\textit{%
\ ensemble ant\'{e}c\'{e}dent}) de $B$ par $f,$ not\'{e}e abusivement $%
f^{-1}\left( B\right) ,$ comme l'ensemble des \'{e}l\'{e}ments de $E$ dont
l'image par $f$ appartient \`{a} $B.$

Autrement dit : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f\left( A\right) =\left\{ y\in F\;/\;\exists x\in A\;/\;y=f\left( x\right)
\right\} =\left\{ f\left( x\right) \;/\;x\in A\right\} $ \\ \hline
$f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in E\;/\;f\left( x\right) \in B\right\} $
\\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

Par cons\'{e}quent pour $x$ dans $E$ et $y$ dans $F$: 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$y\in f\left( A\right) \Leftrightarrow \exists x\in A\;/\;y=f\left( x\right) 
$ \\ \hline
$x\in f^{-1}\left( B\right) \Leftrightarrow \;f\left( x\right) \in B$ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

NOTER\ QUE\ LA\ D\'{E}FINITION\ DE\ $f^{-1}\left( B\right) $ NE NECESSITE
PAS L'EXISTENCE D'UNE R\'{E}CIPROQUE POUR $f$ ;

CE QU'ON NE VEUT PAS VOIR : $x\in f^{-1}\left( B\right) \Leftrightarrow
x=f^{-1}\left( y\right) $ avec $y$ dans $B$ ; la bonne d\'{e}finition
n'est-elle pas nettement plus simple ?

\bigskip

E3 : sur un diagramme sagittal, pour des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $%
\mathbb{R}$, en g\'{e}om\'{e}trie, pure ou analytique.

\bigskip

REM : si $B$ est un singleton $\left\{ y\right\} ,$ on simplifie la notation 
$f^{-1}\left( \left\{ y\right\} \right) $ en $f^{-1}\left( y\right) $ ;
c'est l'ensemble $\left\{ x\in E\;/\;f\left( x\right) =y\right\} $ de tous
les ant\'{e}c\'{e}dents de $y$ par $f.$

Propri\'{e}t\'{e}s ; les lettres $A,B,C$ d\'{e}signent des parties
respectives de $E,F,G$ ; $f\in \mathcal{A}\left( E,F\right) ,g\in \mathcal{A}%
\left( F,G\right) $ , :

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
1. $A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow f\left( A_{1}\right) \subset f\left(
A_{2}\right) $ & 1'. $B_{1}\subset B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left(
B_{1}\right) \subset f^{-1}\left( B_{2}\right) $ \\ \hline
2. $f\left( \underset{i\in I}{\cup }A_{i}\right) =\underset{i\in I}{\cup }%
f\left( A_{i}\right) $ & 2'. $f^{-1}\left( \underset{i\in I}{\cup }%
B_{i}\right) =\underset{i\in I}{\cup }f^{-1}\left( B_{i}\right) $ \\ \hline
3. \fbox{$f\left( \underset{i\in I}{\cap }A_{i}\right) \subset \underset{%
i\in I}{\cap }f\left( A_{i}\right) $} & 3'. $f^{-1}\left( \underset{i\in I}{%
\cap }B_{i}\right) =\underset{i\in I}{\cap }f^{-1}\left( B_{i}\right) $ \\ 
\hline
4. \fbox{$f\left( \overline{A}\right) $ $\supset \;\overline{f\left(
A\right) }\cap f\left( E\right) \;$} & 4'. $f^{-1}\left( \overline{B}\right)
=\overline{f^{-1}\left( B\right) }$ \\ \hline
5. \fbox{$f^{-1}\left( f\left( A\right) \right) \supset A$} & 5'. $f\left(
f^{-1}\left( B\right) \right) =B\cap f\left( E\right) $ \\ \hline
6. $gof\left( A\right) =g\left( f\left( A\right) \right) $ & 6'. $\left(
gof\right) ^{-1}\left( C\right) =f^{-1}\left( g^{-1}\left( C\right) \right) $
\\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

Moralit\'{e} : c'est toujours \'{e}gal, sauf dans les trois cas encadr\'{e}s.

D4

\bigskip

\qquad 6) Restrictions d'une application.

\bigskip

DEF : si $f$ est une application de $E$ vers $F,$ $A$ une partie de $E$ et $%
B $ une partie de $F$ incluant $f\left( A\right) ,$ alors on d\'{e}finit la
restriction de $f$ \`{a} $A$ et $B$ , not\'{e}e $\left. f\right\vert
_{A}^{B} $ par $\left\{ 
\begin{array}{c}
A\rightarrow B \\ 
x\mapsto f\left( x\right)%
\end{array}%
\right. .$ Si $A=E,$ la notation est r\'{e}duite \`{a} $f^{|B},$ et si $B=F,$
elle est r\'{e}duite \`{a} $f_{|A},$ comme vu plus haut.

\bigskip \bigskip

7) Injectivit\'{e}.

\qquad \qquad a) D\'{e}finition.

DEF : Une application $f$ de $E$ vers $F$ est dite \textit{injective} si les 
\'{e}l\'{e}ments de $F$ ont \textit{au plus} un ant\'{e}c\'{e}dent par $f$ ;
ceci se traduit par 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $\forall y\in f\left( E\right) \;\;\exists !x\in E\;\;/\;\;y=f\left(
x\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

ou encore, puisque seule l'unicit\'{e} importe : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
2. $\forall x,x^{\prime }\in E\;\;f\left( x\right) =f\left( x^{\prime
}\right) \Rightarrow x=x^{\prime }$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}
ce qui par contrapos\'{e}e donne : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
3. $\forall x\neq x^{\prime }\in E\;\;f\left( x\right) \neq f\left(
x^{\prime }\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

Pour prouver pratiquement une injectivit\'{e}, utiliser la CNS 2.

\bigskip

Une application injective est appel\'{e}e une \textit{injection}.

\bigskip

REM : si $f$ est une fonction de $E$ vers $F$ et $I$ une partie de $D_{f},$
on dira que $f$ est \textit{injective sur} $I$ si la restriction de $f$ \`{a}
$I$ est injective\bigskip , autrement dit si $\forall x,x^{\prime }\in
I\;\;f\left( x\right) =f\left( x^{\prime }\right) \Rightarrow x=x^{\prime }.$

On rappelle qu'une fonction num\'{e}rique strictement monotone sur une
partie $I$ de $\mathbb{R}$ y est injective, MAIS QUE LA R\'{E}CIPROQUE EST
FAUSSE (voir cours sur les fonctions r\'{e}ciproques).

\bigskip

Exemples : E3.

\bigskip

\qquad \qquad b) Fonction r\'{e}ciproque.

\bigskip

DEF : si $f$ est une fonction de $E$ vers $F$ injective sur $I$, on d\'{e}%
finit la fonction r\'{e}ciproque $f_{|I}^{-1}$ de $f$ sur $I$ comme la
fonction de $F$ vers $E$ d\'{e}finie sur $J=f\left( I\right) $ qui \`{a} $y$
de $J$ fait correspondre l'ant\'{e}c\'{e}dent de $y$ par $f.$

On a donc 
\begin{equation*}
y=f(x)\text{ avec }x\in I\Leftrightarrow x=f_{|I}^{-1}(y)\text{ avec }y\in J
\end{equation*}

\bigskip

Si $I\supset D_{f},$ on \'{e}crit simplement $f^{-1}.$

\bigskip

Ex : $\arcsin =\left( \sin _{|..........}\right) ^{-1},\arccos =\left( \cos
_{|..........}\right) ^{-1},\arctan =\left( \tan _{|..........}\right)
^{-1}, $argch $=\left( \text{ch}_{|..........}\right) _{..........}^{-1}.$

\bigskip

PROP : Si $f$ est injective, $f^{-1}$ est aussi injective (sur $f\left(
E\right) )$, et $\left( f^{-1}\right) ^{-1}=f.$

\bigskip

D5

\qquad \qquad c) D\'{e}nombrement des injections.

\bigskip

PROP : le nombre d'injections d'un ensemble $E_{n}$ de taille $n$ vers un
ensemble $F_{p}$ de taille $p\geqslant n$ est \'{e}gal \`{a} $p\left(
p-1\right) ...\left( p-n+1\right) =\dfrac{p!}{\left( p-n\right) !}$ not\'{e} 
$p^{\underline{n}}$ ou encore $A_{p}^{n}.$

\bigskip D6

Remarque : le fait que

$%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
nombre d'applications de $E_{n}$ vers $F_{p}$ = nombre de listes d'ordre $n$
form\'{e}es \`{a} partir de $p$ objets \\ \hline
nombre d'injections de $E_{n}$ vers $F_{p}$ = nombre d'arrangements d'ordre $%
n$ form\'{e}s \`{a} partir de $p$ objets \\ \hline
nombre d'applications de $E_{n}$ vers $F_{2}$ = nombre de parties de $E_{n}$
\\ \hline
\end{tabular}%
\ $

\bigskip N'est pas fortuit !

D7

\qquad \qquad 8) Surjectivit\'{e}.

\bigskip

DEF : Une application $f$ de $E$ vers $F$ est dite \textit{surjective} si
les \'{e}l\'{e}ments de $F$ ont \textit{au moins} un ant\'{e}c\'{e}dent par $%
f$ ; ceci se traduit par 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $\forall y\in F\;\;\exists x\in E\;\;/\;\;y=f\left( x\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

ce qui peut s'\'{e}crire tout simplement : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
2. $f\left( E\right) =F$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

Une application surjective est appel\'{e}e une \textit{surjection}.

\bigskip

REM : la surjectivit\'{e} ne concerne que la d\'{e}finition de l'ensemble
d'arriv\'{e}e de l'application ; si l'on restreint l'ensemble d'arriv\'{e}e
de $F$ \`{a} $f\left( E\right) ,$ l'application obtenue est surjective !

\bigskip

Exemples : E4.

\bigskip

Le d\'{e}nombrements des surjections est plus difficile que celui des
injections (voir exercices).

\qquad \qquad

\qquad 9) Bijectivit\'{e}.

\bigskip \qquad \qquad a) D\'{e}finition.

DEF : Une application $f$ de $E$ vers $F$ est dite \textit{bijective} si les 
\'{e}l\'{e}ments de $F$ ont \textit{exactement} un ant\'{e}c\'{e}dent par $f$
, autrement dit si elle est \`{a} la fois injective et surjective ; ceci se
traduit par 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\forall y\in F\;\;\exists !x\in E\;\;/\;\;y=f\left( x\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

Une application bijective est appel\'{e}e une \textit{bijection} ;
l'ensemble des bijections de $E$ vers $F$ est not\'{e} $\mathcal{B}ij\left(
E,F\right) ,$ et $\mathcal{B}ij\left( E\right) $ si $E=F.$

\bigskip Une autre fa\c{c}on d'exprimer la condition ci-dessus, est de dire
que l'\'{e}quation 
\begin{equation*}
\left( E_{y}\right) :y=f\left( x\right)
\end{equation*}

D'inconnue $x$ et de param\`{e}tre $y$ poss\`{e}de une solution unique pour
tout $y$ dans $F.$

\bigskip

Lorsqu'on vous demande d'\'{e}tudier l'injectivit\'{e} et la surjectivit\'{e}
d'une application $f,$ \'{e}crivez :

\bigskip

Soit $y\in F$ ; pour $x$ dans $E$ :

\begin{equation*}
\left( E_{y}\right) :y=f\left( x\right) \Leftrightarrow ....\Leftrightarrow
.....
\end{equation*}

Si vous arrivez \`{a} exprimer $x$ en fonction de $y$ de fa\c{c}on unique
pour tout $y$, c'est que $f$ est bijective.

Si l'\'{e}quation $\left( E_{y}\right) $ n'a pas toujours de solution, mais
que si elle existe, cette solution est unique, c'est que $f$ est .....

\bigskip

Si l'\'{e}quation $\left( E_{y}\right) $ a toujours des solutions, mais que
pour certains $y$ elle en a plusieurs, c'est que $f$ est ....

\bigskip

Si l'\'{e}quation $\left( E_{y}\right) $ n'a pas toujours des solutions, et
que pour certains $y$ elle en a plusieurs, c'est que $f$ .....
......................................

\bigskip

Exemples : E5.

\bigskip

\qquad \qquad b) Bijection r\'{e}ciproque.

\bigskip

PROP : si $f$ est une bijection de $E$ sur $F$ alors sa r\'{e}ciproque $%
f^{-1}$ est une bijection de $F$ sur $E,$ et 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f\circ f^{-1}=id_{F}$ \\ \hline
$f^{-1}\circ f=id_{E}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip D8

\bigskip

Inversement, supposons que, $f$ \'{e}tant une application de $E$ vers $F,$
l'on connaisse une application $g$ de $F$ vers $E$ telle que : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f\circ g=id_{F}$ \\ \hline
$g\circ f=id_{E}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\ \right.
\end{equation*}

\bigskip

alors $f$ est bijective, et $g$ est sa r\'{e}ciproque.

\bigskip

D9

\bigskip

Ceci est une deuxi\`{e}me fa\c{c}on de prouver une bijectivit\'{e}, qui
donne en m\^{e}me temps la r\'{e}ciproque, mais n\'{e}cessite d'intuiter
celle-ci \`{a} l'avance ; c'est pourquoi on appellera cette m\'{e}thode la m%
\'{e}thode ''deus ex machina''.

\bigskip

\qquad \qquad c) Cas fini.

Prop : si $E$ est fini, $f$ application de $E$ vers $F$, alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f$ est injective $\Leftrightarrow |f\left( E\right) |=|E|$ \\ \hline
$f$ est surjective $\Leftrightarrow |f\left( E\right) |=|F|$ \\ \hline
$f$ est bijective $\Leftrightarrow |f\left( E\right) |=|E|=|F|$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

On en d\'{e}duit que si $E$ et $F$ sont finis de m\^{e}me taille, $f$ est
injective ssi $f$ est surjective, ssi $f$ est bijective et que

si \TEXTsymbol{\vert}$E|=n,$ $|\mathcal{B}ij\left( E\right) |=n!\;.$

\bigskip

D10

\bigskip

\qquad 10) Compos\'{e}es d'injections, de surjections, de bijections.\bigskip

PROP : toute compos\'{e}e $\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
d'injections \\ \hline
de surjections \\ \hline
de bijections \\ \hline
\end{tabular}%
\ \right. $ est une$\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
injection \\ \hline
surjection \\ \hline
bijection \\ \hline
\end{tabular}%
\ \right. $ .

De plus si $f$ est une bijection de $E$ dans $F,$ et $g$ une bijection de $F$
dans $G,$ $\left( g\circ f\right) ^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.$

\bigskip

D11

\bigskip

\qquad 11) Exemples de bijections ; d\'{e}nombrabilit\'{e} et puissance du
continu.

\bigskip

\qquad \qquad a) Exemples de bijection de $\mathbb{N}$ sur une de ses
parties propres, de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{Z}$, de $\mathbb{N}$ sur $%
\mathbb{N}^{2},$ de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{Q}$.

D12

\bigskip

\qquad \qquad b) Exemple de bijection entre deux intervalles de $\mathbb{R}$
de m\^{e}me type , entre $[0,1]$ et$[0,1[.$

D13

\bigskip

DEF : un ensemble est dit \textit{d\'{e}nombrable} s'il est en bijection
avec $\mathbb{N}$ ; il est dit \textit{avoir la puissance du continu} s'il
est en bijection avec $\mathbb{R}$.

\bigskip

PROP : il n'y a pas de bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{R}$ ; un
ensemble d\'{e}nombrable ne peut donc jamais \^{e}tre mis en bijection avec
un ensemble ayant la puissance du continu (d\'{e}monstration dans le cours
sur les suites).

\bigskip

Exemple d'ensembles d\'{e}nombrables : $\mathbb{N}$, $2\mathbb{N}$, $\mathbb{%
Z}$, $\mathbb{N}^{2},\mathbb{Q}$.

Exemples d'ensembles ayant la puissance du continu : $\mathbb{R}$, tout
intervalle infini de $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^{2}$ , $\mathbb{R}^{3}$
etc... Il y a donc autant de points dans un segment de longueur 1 mm que
dans tout l'espace....

\end{document}
