%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0
\documentclass{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Created=Mon Aug 28 07:53:23 2000}
%TCIDATA{LastRevised=Tuesday, December 06, 2016 08:12:00}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{Language=French}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article (bright).cst}
\def \go{\char"AB ~\ignorespaces}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\setlength{\headsep}{5mm}
\setlength{\topmargin}{-15mm}
\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
\setlength{\textwidth}{190mm}
\setlength{\textheight}{245mm}
\newcommand{\trans}[1]{\hbox{$\hspace{0.2em}^t\hspace{-0.2em}#1$}}
\pagestyle{fancy}
\lhead{ \Large{COURS MPSI}}\chead{ \Large {A.1.V.NOTIONS DE BASE : RELATIONS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL 16/17}}
\input{tcilatex}
\begin{document}
V) RELATIONS.
\bigskip
\qquad 1) D\'{e}finition.
\bigskip
DEF : dans son acception la plus g\'{e}n\'{e}rale, une \textit{relation} est
d\'{e}finie par la donn\'{e}e d'une famille d'ensembles $E_{1},...,E_{n}$ et
d'un ensemble $\mathcal{G}$ de $n$-uplets $\left(
x_{1},x_{2},....,x_{n}\right) $ o\`{u} les $x_{i}$ apartiennent \`{a} $E_{i}$
(appel\'{e} le \textit{graphe}, ou la \textit{table} de la relation).
\bigskip
Question : si les ensembles $E_{1},...,E_{n}$ ont respectivement $%
p_{1},...,p_{n}$ \'{e}l\'{e}ments, combien y a t-il de relations possibles
associ\'{e}es \`{a} ces ensembles ?
\bigskip
R\'{e}ponse :..................
\bigskip D1
Exemples E1 :
- Le tableau :
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
\'{e}l\`{e}ve & date & colleur & mati\`{e}re & note \\ \hline
...... & ..... & .... & .... & ..... \\ \hline
\end{tabular}
\bigskip
d\'{e}finirait une relation associ\'{e}e \`{a} une famille de 5 ensembles.
Il y a ............... tableaux possibles, donc autant de relations
correspondantes.
\bigskip
- toute fonction est une relation associ\'{e}e \`{a} deux ensembles.
\bigskip
Dans ce chapitre on n'\'{e}tudie que les relations dites "binaires", associ%
\'{e}es \`{a} deux ensembles, et de plus dans le cas o\`{u} ces deux
ensembles sont \'{e}gaux.
\bigskip
DEF : une relation $R$ dans l'ensemble $E$ est d\'{e}finie par la donn\'{e}e
d'une partie $\mathcal{G}$ du produit cart\'{e}sien $E^{2}.$
\bigskip
On dit que $R$ est une relation \textit{de} l'ensemble $E$ \textit{vers} (ou
\textit{dans}) l'ensemble $F.$
\bigskip
Lorsque $\left( x,y\right) \in \mathcal{G},$ on dit que $x$ est \textit{reli%
\'{e}} \`{a} $y$ par la relation $R,$ et l'on exprime ceci par l'\'{e}%
criture :
\begin{equation*}
\fbox{$x\,R\,y$}\;
\end{equation*}
Autrement dit, $\mathcal{G}=\left\{ \left( x,y\right) \in
E^{2}\;/\;x\,R\,y\right\} .$
\bigskip
Repr\'{e}sentation par \textit{diagramme sagittal}, par \textit{table} ou
\textit{matrice d'incidence}.
\bigskip
Dans un ensemble quelconque, il y a au moins toujours 3 relations simples :
la relation vide (graphe vide) , la relation pleine (graphe plein), et la
relation d'\'{e}galit\'{e} (graphe = diagonale de $E$ = $\left\{ \left(
x,x\right) \;/\;x\in E\right\} =\mathcal{D}_{E}=\mathcal{G}_{=}).$
\bigskip
Question : combien y a-t-il de relations diff\'{e}rentes dans un ensemble
\`{a} $n$ \'{e}l\'{e}ments ?
D$^{\prime }$1
\bigskip
REM 1 : ne pas confondre relation et op\'{e}ration : par exemple, $X\subset
Y $ exprime une relation (l'inclusion), tandis que $x+y$ est le r\'{e}sultat
d'une op\'{e}ration. Le premier est un \'{e}nonc\'{e}, pas le second.
Autre exemple : la divisibit\'{e} ($a$ \TEXTsymbol{\vert} $b$ si $b=ka$ avec
$k$ entier) est une relation, tandis que la division ($\dfrac{a}{b})$ est
une op\'{e}ration.
\bigskip
REM 2 : l'\'{e}nonc\'{e} $x\,R\,y$ se traduit par une phrase ''$x$
...verbe.... $y"$ (par exemple, $x$ a pour carr\'{e} $y)$ ; le verbe \`{a}
l'infinitif est appel\'{e} le \textit{lien verbal }de la relation.
\bigskip
Par exemple, la relation $R$ dans $\mathbb{R}$ de lien verbal
\textquotedblright avoir pour carr\'{e}\textquotedblright\ est d\'{e}finie
par
\begin{equation*}
x\,R\,y\Leftrightarrow y=x^{2}
\end{equation*}
E2 : \'{e}crire de m\^{e}me la relation $R$ dans $\mathbb{R}$ de lien verbal
\textquotedblright \^{e}tre le cube de\textquotedblright .
\bigskip
\qquad 2) Propri\'{e}t\'{e}s concernant ces relations.
\bigskip
On consid\`{e}re ici une relation $R$ dans $E,$ de graphe $\mathcal{G}_{R}.$
\bigskip
DEF 1 : la r\'{e}flexivit\'{e} :
on dit que $R$ est \textit{r\'{e}flexive} si
\begin{equation*}
\forall x\in E\;\;x\,R\,x
\end{equation*}
autrement dit, $\mathcal{D}_{E}\subset \mathcal{G}_{R}.$
\bigskip
Cela se traduit sur le diagramme sagittal par le fait que
..............................................................
et sur la matrice par le fait que .......................................
\bigskip
Exemples et contre-exemples : E3
\bigskip
DEF 2 : la transitivit\'{e} :
on dit que $R$ est \textit{transitive} si
\begin{equation*}
\forall x,y,z\in E\;\;\left\{
\begin{array}{c}
x\,R\,y \\
\text{et}\;y\,R\,z%
\end{array}%
\right. \Rightarrow xRz
\end{equation*}
\bigskip
Exemples et contre-exemples : E4
\bigskip
DEF 3 : la sym\'{e}trie :
on dit que $R$ est \textit{sym\'{e}trique} si
\begin{equation*}
\forall x,y\in E\;\;x\,R\,y\Rightarrow y\,R\,x
\end{equation*}
\bigskip Cela se traduit sur le diagramme sagittal par le fait que
..............................................................
et sur la matrice par le fait que .......................................
Exemples et contre-exemples : E5
\bigskip
DEF 4 : l'antisym\'{e}trie :
on dit que $R$ est \textit{antisym\'{e}trique} si
\begin{equation*}
\forall x,y\in E\;\;\left\{
\begin{array}{c}
x\,R\,y \\
\text{avec }x\neq y%
\end{array}
\right. \Rightarrow y\,\NEG{R}\,x
\end{equation*}
REM : cette d\'{e}finition est la meilleure pour comprendre cette notion,
mais en pratique, on utilise la condition \'{e}quivalente
\begin{equation*}
\forall x,y\in E\;\;\left\{
\begin{array}{c}
x\,R\,y \\
\text{et }y\,R\,x%
\end{array}%
\right. \Rightarrow \,x=y
\end{equation*}
Preuve de cette \'{e}quivalence D2
\bigskip L'antisym\'{e}trie se traduit sur le diagramme sagittal par le fait
que ..............................................................
et sur la matrice par le fait que .......................................
Exemples et contre-exemples : E6
\bigskip
REM 1 : l'antisym\'{e}trie n'est pas le contraire de la sym\'{e}trie, mais
son oppos\'{e}.
\bigskip
REM 2 : Retenir :
\begin{eqnarray*}
\text{sym\'{e}trie } &=&\text{ pas de sens unique} \\
\text{antisym\'{e}trie } &=&\text{ pas de double sens }
\end{eqnarray*}
Mais par contre, il peut y avoir ou ne pas avoir de boucles dans les deux
cas.
REM 2 : une relation peut \^{e}tre \`{a} la fois sym\'{e}trique et antisym%
\'{e}trique ; d'ailleurs les relations \`{a} la fois sym\'{e}triques et
antisym\'{e}triques sont les relations o\`{u} deux \'{e}l\'{e}ments
distincts ne sont jamais reli\'{e}s entre eux, comme par exemple l'\'{e}galit%
\'{e}.
\bigskip \newpage
\qquad\ 3) Relations d'\'{e}quivalence.
\qquad \qquad a) D\'{e}finition et exemples.
\bigskip
DEF : une relation dans un ensemble $E$ est appel\'{e}e une \textit{relation
d'\'{e}quivalence} si elle est r\'{e}flexive, transitive et sym\'{e}trique.
\bigskip
Exemples dans un ensemble quelconque : l'\'{e}galit\'{e} et la relation
pleine.
\bigskip
Autres exemples : E7
\bigskip
REM : une relation dont le lien verbal est du type : ''avoir le m\^{e}me ...
que'' est toujours une relation d'\'{e}quivalence.
\bigskip
Exemples importants : les congruences.
\bigskip
\qquad \qquad \qquad $\alpha )$ Congruences dans les entiers.
DEF : on dit que deux entiers $a$ et $b$ sont \textit{congrus modulo} un
entier naturel non nul $n$ si leur diff\'{e}rence est un multiple de $n$ :
\begin{eqnarray*}
a &\equiv &b\;\;[n]\Leftrightarrow n\;|\;b-a \\
&\Leftrightarrow &\exists k\in \mathbb{Z}\;/\;b=a+kn
\end{eqnarray*}
On \'{e}crit aussi $a\equiv b\;\;\func{mod}n,$ ou, de fa\c{c}on abusive car
la congruence n'est pas une \'{e}galit\'{e} : $a=b\;\;[n],$ ou $a=b\;\;\func{%
mod}n.$
\bigskip
D\'{e}monstration du fait que c'est une relation d'\'{e}quivalence : D3
\bigskip
\bigskip NB\ : modulo est l'ablatif du latin modulus ''mesure'' : modulo $n$
signifie donc ''\`{a} la mesure de $n".$
ATTENTION : ne pas confondre la congruence modulo $n$, qui est une \textit{%
relation} dans $\mathbb{Z}$, et l'\textit{op\'{e}ration} parfois not\'{e}e
"mod" (et not\'{e}e \% en python) d\'{e}finie par :
\begin{equation*}
a\func{mod}b=a~\%~b=\text{ reste de la division euclidienne de }a\;\text{par
}b=b.\text{frac}\left( \dfrac{a}{b}\right) \;(a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N}%
^{\ast })
\end{equation*}
Les relations entre ces deux notions sont :
\bigskip
P1 : si $b>0,$ $a\ \%\ b$ est l'unique entier congru \`{a} $a$ modulo $b$
compris entre 0 et $b-1$ :
\begin{equation*}
c=a\ \%\ b\Leftrightarrow c\equiv a\;\;[b]\;\text{et\ }0\leqslant c\leqslant
b-1
\end{equation*}
P2 : $a$ et $b$ sont \textit{congrus modulo} $n$ si et seulement s'ils ont m%
\^{e}me reste dans la division euclidienne par $n$ :
\begin{equation*}
a\equiv b\;\;[n]\Leftrightarrow a\ \%\ n=b\ \%~n
\end{equation*}
D4
$\qquad \qquad \beta )$ Congruences dans les r\'{e}els.
DEF : on dit que deux r\'{e}els $x$ et $y$ sont \textit{congrus modulo} un r%
\'{e}el $a>0$ si leur diff\'{e}rence est un multiple entier de $a$ :
\begin{equation*}
x\equiv y\;\;[a]\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}\;/\;y=x+ka
\end{equation*}
On \'{e}crit aussi $x\equiv y\;\;\func{mod}a,$ ou, de fa\c{c}on abusive car
la congruence n'est pas une \'{e}galit\'{e}, $x=y\;[a]\;,$ ou $x=y\;\;\func{%
mod}a.$
\bigskip
D\'{e}monstration du fait que c'est une relation d'\'{e}quivalence : D5
\bigskip
\qquad b) Classes d'\'{e}quivalence.
\bigskip
DEF : \'{e}tant donn\'{e} une relation d'\'{e}quivalence $R$ dans un
ensemble $E,$ les classes d'\'{e}quivalences associ\'{e}es \`{a} $R$ sont
les sous-ensembles de $E$ non vides regroupant les \'{e}l\'{e}ments \'{e}%
quivalents (c'est-\`{a} dire reli\'{e}s par la relation $R)$ ; autrement dit
, pour $X\subset E$%
\begin{equation*}
X\text{ est une classe d'\'{e}quivalence de la relation }R\Leftrightarrow
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1.\ $X\neq \emptyset $ \\ \hline
2.\ $\forall x,y\in X\;\;x\;R\;y$ \\ \hline
3.\ $\forall x\in X\;\;\forall y\in \;E\backslash X\;\;\;x\;\NEG{R}\;y$ \\
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}
\bigskip Exemples E8
\bigskip
PROP : l'ensemble des classes d'\'{e}quivalences associ\'{e}es \`{a} une
relation d'\'{e}quivalence dans $E$ est une partition de $E.$
D6
\bigskip
Vocabulaire : tout \'{e}l\'{e}ment $x\;$de $E$ appartient donc \`{a} une
unique classe d'\'{e}quivalence, not\'{e}e classe$_{R}\left( x\right) ,$ qui
est l'ensemble des \'{e}l\'{e}ments qui lui sont \'{e}quivalents :
\begin{equation*}
\text{classe}_{R}\left( x\right) =\left\{ x^{\prime }\in
E\;/\;x\;R\;x^{\prime }\right\}
\end{equation*}
\bigskip
D'apr\`{e}s la proposition pr\'{e}c\'{e}dente, \`{a} toute relation d'\'{e}%
quivalence est associ\'{e}e une partition ; la proposition suivante montre
que la r\'{e}ciproque est vraie :
\bigskip
PROP : \'{e}tant donn\'{e} une partition $\mathcal{E}$ de $E$ il existe une
unique relation d'\'{e}quivalence dans $E$ dont l'ensemble des classes d'%
\'{e}quivalence est $\mathcal{E}$ ; c'est la relation $R$ d\'{e}finie par
\begin{equation*}
x\;R\;y\Leftrightarrow \exists X\in \mathcal{E\;}/\;x\text{ et }y\in X
\end{equation*}
D7
Ceci signifie donc qu'il y a bijection entre les relations d'\'{e}quivalence
et les partitions ; dans un ensemble fini, il existe donc autant de
relations d'\'{e}quivalence que de partitions.
\bigskip
\qquad 4) Relations d'ordre.
\qquad \qquad
\qquad a) D\'{e}finition et exemples.
DEF : une relation dans un ensemble $E$ est appel\'{e}e une \textit{relation
d'ordre} (ou plus simplement \textit{un ordre}) si elle est r\'{e}flexive,
transitive et \textit{anti}sym\'{e}trique.
Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit \textit{ordonn\'{e}}.
\bigskip
\bigskip Repr\'{e}sentation par diagramme sagittal, ou de Hasse.
Exemples dans un ensemble quelconque : l'\'{e}galit\'{e}.
Autres exemples E9.
\bigskip Le symbole $\leqslant $ \'{e}tant r\'{e}serv\'{e} \`{a} la relation
d'ordre habituelle dans les r\'{e}els, nous utiliserons, pour une relation
d'ordre arbitraire dans un ensemble $E$ le symbole $\preccurlyeq .$
\bigskip
PROP : si $\preccurlyeq $ est une relation d'ordre dans $E,$ la relation
inverse, not\'{e}e $\succcurlyeq $ et d\'{e}finie par
\begin{equation*}
x\succcurlyeq y\Leftrightarrow y\preccurlyeq x
\end{equation*}
est aussi une relation d'ordre.
\bigskip
REM : les notions de petitesse et d'inf\'{e}riorit\'{e} ou de grandeur et de
sup\'{e}riorit\'{e} sont donc interchangeables et arbitraires.
\bigskip
DEF : si $\preccurlyeq $ est une relation d'ordre dans $E,$ on d\'{e}finit
la relation d'ordre strict associ\'{e}e, not\'{e}e $\prec $ par
\begin{equation*}
x\prec y\Leftrightarrow x\preccurlyeq y\text{ et }x\neq y
\end{equation*}
Remarquons que la relation d'ordre strict n'est plus une relation d'ordre
puisque non r\'{e}flexive. Mais elle reste transitive et antisym\'{e}trique.
\bigskip
\qquad \qquad b) Ordre total.
\bigskip
DEF : un ordre est dit \textit{total} lorsque deux \'{e}l\'{e}ments
quelconques sont toujours comparables par cette relation, dans un sens ou
dans l'autre :
\begin{equation*}
\preccurlyeq \;\text{est total}\Leftrightarrow \forall x,y\in
E\;\;x\preccurlyeq y\text{ ou\thinspace\ }y\preccurlyeq x
\end{equation*}
PROP : $\preccurlyeq \;$est total(e) si et seulement si
\begin{equation*}
\forall x,y\in E\;\;x\not\preccurlyeq y\Leftrightarrow x\succ y
\end{equation*}
(autrement dit, le contraire de \textquotedblright \textit{inf\'{e}rieur ou
\'{e}gal \`{a}\textquotedblright } est \textquotedblright \textit{sup\'{e}%
rieur strictement \`{a}\textquotedblright }).
Une relation d'ordre non totale est dite \textit{partielle}.
D8
\bigskip
Exemples et contre-exemples : E10
\bigskip
PROP : un ordre sur un ensemble fini $E$ est total ssi on peut \'{e}crire $%
E=\left\{ x_{1},x_{2},....,x_{n}\right\} $ avec
\begin{equation*}
x_{1}\prec x_{2}\prec ....\prec x_{n}
\end{equation*}
(autrement dit si on peut classer ses \'{e}l\'{e}ments dans l'ordre
croissant).
\bigskip
Corollaire : le nombre de relations d'ordre total sur un ensemble \`{a} $n$
\'{e}l\'{e}ments est \'{e}gal \`{a}.........
\bigskip
\qquad c) Majorant, maximum, borne sup\'{e}rieure d'une partie d'un ensemble
ordonn\'{e}.
\bigskip
\qquad \qquad $\alpha )$ Majorant et minorant.
\bigskip
Dans ce paragraphe $E$ d\'{e}signe un ensemble ordonn\'{e} par $\preccurlyeq
$ et $A$ une de ses parties.
\bigskip
DEF : un \'{e}l\'{e}ment $m$ de $E$ est appel\'{e} un $\left\{
\begin{array}{c}
\text{majorant} \\
.............%
\end{array}
\right. $ de $A$ (pour la relation $\preccurlyeq )$ s'il est $\left\{
\begin{array}{c}
\text{sup\'{e}rieur ou \'{e}gal} \\
......................%
\end{array}
\right. $ \`{a} tous les \'{e}l\'{e}ments de $A$ ; l'ensemble des $\left\{
\begin{array}{c}
\text{majorants} \\
.............%
\end{array}
\right. $ de $A$ sera not\'{e} $\left\{
\begin{array}{c}
A^{+} \\
.............%
\end{array}
\right. $ ; autrement dit :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
m\in A^{+} \\
...........%
\end{array}
\right. \text{ }\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
\forall a\in A\;\;a\preccurlyeq m \\
...................%
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Une partie ayant au moins un $\left\{
\begin{array}{c}
\text{majorant} \\
.............%
\end{array}
\right. $ est dite $\left\{
\begin{array}{c}
\text{\textit{major\'{e}e}} \\
.............%
\end{array}
\right. .$
\bigskip
Exemples E11 : $\varnothing ^{+}=\varnothing ^{-}=E$
\bigskip
\qquad \qquad $\beta )$ Maximum et minimum.
\bigskip
PROP et DEF : il ne peut pas y avoir plus d'un $\left\{
\begin{array}{c}
\text{majorant} \\
.............%
\end{array}%
\right. $ de $A$ qui soit \'{e}l\'{e}ment de $A$ ; cet \'{e}l\'{e}ment,
{\LARGE s'il existe}, est appel\'{e} le $\left\{
\begin{array}{c}
\text{maximum} \\
.............%
\end{array}%
\right. $ ou encore le $\left\{
\begin{array}{c}
\text{plus grand \'{e}l\'{e}ment} \\
............................%
\end{array}%
\right. $ de $A$ :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
m=\max \left( A\right) \\
m=\min \left( A\right)%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
m\in A\text{ et }\forall a\in A\;\;a\preccurlyeq m \\
.........................................%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
m\in A\text{ }\cap A^{+} \\
.....................%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
D9
\bigskip On d\'{e}finit aussi le maximum et le minimum d'une liste d'\'{e}l%
\'{e}ments de $E$ :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\max \left( a_{1},a_{2},......a_{n}\right) =\max \left(
\{a_{1},a_{2},......a_{n}\}\right) \\
................................................................%
\end{array}
\right.
\end{equation*}
le maximum et le minimum d'une famille d'\'{e}l\'{e}ments de $E$ :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\underset{i\in I}{\max }\left( a_{i}\right) =\max \left( \{a_{i}\;/\;i\in
I\}\right) \\
................................................................%
\end{array}
\right.
\end{equation*}
le maximum et le minimum d'une fonction \`{a} valeurs dans $E$ sur une
partie de son ensemble de d\'{e}finition :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\underset{X}{\max }\left( f\right) =\underset{x\in X}{\max }\left(
f(x)\right) =\max \left( \{f\left( x\right) \;/\;x\in X\}\right) =\max
\left( f\left( X\right) \right) \\
................................................................%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\bigskip
Exemples E12
\bigskip
PROP : un ensemble fini totalement ordonn\'{e} (par exemple une partie finie
de $\left( \mathbb{R},\leqslant )\right) $ a toujours un maximum et un
minimum.
\bigskip
\qquad \qquad $\gamma )$ Borne sup\'{e}rieure et borne inf\'{e}rieure.
DEF : la $\left\{
\begin{array}{c}
\text{borne sup\'{e}rieure} \\
.................%
\end{array}%
\right. $ de $A,$ {\LARGE si elle existe}, est le plus$\left\{
\begin{array}{l}
\text{petit majorant} \\
.......%
\end{array}%
\right. $de $A$.
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
m=\sup \left( A\right) \\
m=\inf \left( A\right)%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
m=\min \left( A^{+}\right) \\
....................%
\end{array}%
\right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{c}
\left\{
\begin{array}{l}
1.\;\forall a\in A\;\;a\preccurlyeq m \\
2.\;\forall m^{\prime }\in E\;\;(\forall a\in A\;\;a\preccurlyeq m^{\prime
})\Rightarrow m\preccurlyeq m^{\prime }%
\end{array}%
\right. \\
\left\{
\begin{array}{l}
1.\; \\
2..................................................................%
\end{array}%
\right.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
On d\'{e}finit aussi les bornes sup\'{e}rieure et inf\'{e}rieure d'une liste
d'\'{e}l\'{e}ments de $E$ :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\sup \left( a_{1},a_{2},......a_{n}\right) =\sup \left(
\{a_{1},a_{2},......a_{n}\}\right) \\
................................................................%
\end{array}
\right.
\end{equation*}
les bornes sup\'{e}rieure et inf\'{e}rieure d'une famille d'\'{e}l\'{e}ments
de $E$ :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\underset{i\in I}{\sup }\left( a_{i}\right) =\sup \left( \{a_{i}\;/\;i\in
I\}\right) \\
................................................................%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
les bornes sup\'{e}rieure et inf\'{e}rieure d'une fonction \`{a} valeurs
dans $E$ sur une partie de son ensemble de d\'{e}finition :
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\underset{X}{\sup }\left( f\right) =\underset{x\in X}{\sup }\left(
f(x)\right) =\sup \left( \{f\left( x\right) \;/\;x\in X\}\right) =\sup
\left( f\left( X\right) \right) \\
................................................................%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
Exemples E13
\bigskip $\sup \left( \varnothing \right) =\min \left( E\right) $ ; $\inf
\left( \varnothing \right) =\max \left( E\right) .$
REM 1 : on a $m=\max \left( A\right) \Leftrightarrow m=\sup \left( A\right)
\;$et $m\in A.$
\bigskip D10
REM 2 : Pour une partie $A,$ on peut donc avoir les cas de figure suivants
et eux seuls :
\qquad 1er cas : $A$ non major\'{e}e
exemples :
\bigskip
\qquad 2\`{e}me cas : $A$ major\'{e}e, mais sans borne sup\'{e}rieure
exemple : $A=\left] 0,1\right[ $ dans $\mathbb{R}\backslash \{1\}$ muni de $%
\leqslant .$
\bigskip
\qquad 3\`{e}me cas : $A$ a une borne sup\'{e}rieure mais pas de maximum
exemples :
\bigskip
\qquad 4\`{e}me cas : $A$ a un maximum, qui est forc\'{e}ment aussi sa borne
sup\'{e}rieure.
exemple :
\bigskip
REM 3 : on trouve parfois \textit{infimum} et \textit{supremum} pour borne
inf\'{e}rieure et sup\'{e}rieure.
\bigskip
TH (admis) : dans $\left( \mathbb{R},\leqslant \right) ,$ toute partie non
vide major\'{e}e admet une borne sup\'{e}rieure et toute partie non vide
minor\'{e}e admet une borne inf\'{e}rieure.
\bigskip
REM : ceci est faux dans $\left( \mathbb{Q},\leqslant \right) $ ; par
exemple $\left\{ x\in \mathbb{Q}\;/\;x^{2}\leqslant 2\right\} $ n'a pas de
borne sup\'{e}rieure dans $\mathbb{Q}$.
\bigskip
d) Droite num\'{e}rique achev\'{e}e.
\bigskip
DEF : la droite num\'{e}rique achev\'{e}e, not\'{e}e $\overline{\mathbb{R}}$%
, est l'ensemble $\mathbb{R}$ auquel on a adjoint deux \'{e}l\'{e}ments, not%
\'{e}s $+\infty $ et $-\infty ,$ la relation d'ordre de $\mathbb{R}$ \'{e}%
tant prolong\'{e}e \`{a} $\overline{\mathbb{R}}$ de sorte que $\left\{
\begin{array}{c}
-\infty \\
+\infty%
\end{array}
\right. $ soit le $\left\{
\begin{array}{c}
\text{minimum} \\
\multicolumn{1}{l}{\text{maximum}}%
\end{array}
\right. $ de $\overline{\mathbb{R}}$.
\bigskip
On d\'{e}duit alors du th\'{e}or\`{e}me ci-dessus le\bigskip
COROLLAIRE : dans $\left( \overline{\mathbb{R}},\leqslant \right) ,$ toute
partie admet une borne sup\'{e}rieure et une borne inf\'{e}rieure.
\bigskip
\bigskip
Dor\'{e}navant, lorsque l'on parlera de la borne sup\'{e}rieure ou inf\'{e}%
rieure d'une partie de $\mathbb{R}$, cette partie sera toujours consid\'{e}r%
\'{e}e comme incluse dans $\overline{\mathbb{R}}$.
\bigskip REMARQUE : $\inf \left( \emptyset \right) =......$ et $\sup \left(
\emptyset \right) =.......$
Pour une partie $A$ non vide de $\mathbb{R},$ on peut donc avoir les cas de
figure suivants et eux seuls :
\qquad 1er cas : $A$ non major\'{e}e, cas \'{e}quivalent \`{a} $\sup \left(
A\right) =+\infty $
exemple :
\qquad 2\`{e}me cas : $A$ a une borne sup\'{e}rieure finie mais pas de
maximum, cas \'{e}quivalent \`{a} : $A<\sup \left( A\right) <+\infty $
exemple :
\qquad 3\`{e}me cas : $A$ a un maximum, cas \'{e}quivalent \`{a} $\sup
\left( A\right) \in A$.
exemple :
\end{document}