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\def \go{\char"AB ~\ignorespaces}
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\lhead{ \Large{COURS MPSI}}\chead{ \LARGE {B1.I. INÉGALITÉS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


\fbox{1) \textbf{IN\'{E}GALITES }}

Rappel : $\mathbb{R=R}_{+}\cup \mathbb{R}_{-}=\mathbb{R}_{+}^{\ast }\cup 
\mathbb{R}_{-}^{\ast }\cup \{0\}.$

DEF : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l}
$a\leqslant b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb{R}_{+}$ \\ 
$a<b\Leftrightarrow b-a\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }\Leftrightarrow a\leqslant
b $ et $a\neq b$%
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip PROPRI\'{E}T\'{E}S : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. R\'{e}flexivit\'{e} : $a\leqslant a$ \\ \hline
2. Antisym\'{e}trie : $a\leqslant b$ et $b\leqslant a\Leftrightarrow a=b$ \\ 
\hline
3. Transitivit\'{e} : $a\leqslant b$ et $b\leqslant c\Rightarrow a\leqslant
c $ \\ \hline
4. Caract\`{e}re total : $a$ $\nleq b\Leftrightarrow b<a$ \\ \hline
5. Compatibilit\'{e} avec $+$ : $a\leqslant b\Leftrightarrow a+c\leqslant
b+c $ \\ \hline
6. Somme d'in\'{e}galit\'{e}s de m\^{e}me sens : $\left\{ 
\begin{array}{c}
a\leqslant b \\ 
c\leqslant d%
\end{array}%
\Rightarrow a+c\leqslant b+d\right. $ \\ \hline
7. Changement de signe : $a\leqslant b\Leftrightarrow -b\leqslant -a$ \\ 
\hline
8. Compatibilit\'{e} avec $\times $ : si $c>0,\;\;a\leqslant
b\Leftrightarrow ac\leqslant bc$ \\ \hline
9. Inversion : $0<a\leqslant b\Leftrightarrow 0<\dfrac{1}{b}\leqslant \dfrac{%
1}{a}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

D1

\fbox{2) INTERVALLES DE $\mathbb{R}$.}

Notations : pour $a\leqslant b\in \mathbb{R}$, on pose 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\left[ a,b\right] =\left[ b,a\right] =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }%
a\leqslant x\leqslant b\right\} $ \\ \hline
$\left[ a,b\right[ =\left] b,a\right] =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }%
a\leqslant x<b\right\} $ \\ \hline
$\left] a,b\right] =\left[ b,a\right[ =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }%
a<x\leqslant b\right\} $ \\ \hline
$\left] a,b\right[ =\left] b,a\right[ =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }%
a<x<b\right\} $ \\ \hline
$\left[ a,+\infty \right[ =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }a\leqslant
x\right\} ,\left] -\infty ,a\right] =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }%
x\leqslant a\right\} $ \\ \hline
$\left] a,+\infty \right[ =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }a<x\right\} ,%
\left] -\infty ,a\right[ =\left\{ x\in \mathbb{R\;}\text{/\ }x<a\right\} $
\\ \hline
$\left] -\infty ,+\infty \right[ =\mathbb{R}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\fbox{3)\textbf{\ VALEUR ABSOLUE et fonctions apparent\'{e}es.}}\newline

\bigskip DEF : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\;\min \left( a,b\right) =\left\{ 
\begin{array}{c}
a\text{ si }a\leqslant b \\ 
b\text{ si }b\leqslant a%
\end{array}%
\right. ,\max \left( a,b\right) =\left\{ 
\begin{array}{c}
b\text{ si }a\leqslant b \\ 
a\text{ si }b\leqslant a%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$x_{+}=\max \left( x,0\right) $(= partie positive de $x$) \\ \hline
$x_{\_}=\min \left( x,0\right) $(= partie n\'{e}gative de $x$) \\ \hline
signe$\left( x\right) =\left\{ 
\begin{array}{c}
1\text{ si }x>0 \\ 
0\text{ si }x=0 \\ 
-1\text{ si }x<0%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$\left\vert x\right\vert =\left\{ 
\begin{array}{c}
x\text{ si }x\geqslant 0 \\ 
-x\;\text{si }x\leqslant 0%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
PROPRI\'{E}T\'{E}S : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1) $x=x_{+}+x_{\_}$ \\ \hline
2) $\left\vert x\right\vert =\max \left( x,-x\right) =x_{+}-x_{\_}=x.\text{%
signe}(x)=\sqrt{x^{2}}$ \\ \hline
3) $\min \left( a,b\right) =\dfrac{a+b-\left\vert b-a\right\vert }{2},\max
\left( a,b\right) =\dfrac{a+b+\left\vert b-a\right\vert }{2}$ \\ \hline
4) $-a\leqslant x\leqslant a\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert
\leqslant a$ \ ;\ $\left\vert x-x_{0}\right\vert \leqslant a\Leftrightarrow
x_{0}-a\leqslant x\leqslant x_{0}+a\Leftrightarrow x\in \left[
x_{0}-a,x_{0}+a\right] $ \\ \hline
5) $\left\vert xy\right\vert =\left\vert x\right\vert \left\vert
y\right\vert ,$ $\left\vert \dfrac{x}{y}\right\vert =\dfrac{\left\vert
x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }$ \\ \hline
6) In\'{e}galit\'{e} triangulaire : $\left\vert x+y\right\vert \leqslant
\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert $ \\ \hline
7) In\'{e}galit\'{e} triangulaire gauche : $\left\vert \left\vert
x\right\vert -\left\vert y\right\vert \right\vert \leqslant $ $\left\vert
x+y\right\vert $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
D2

\bigskip

\fbox{\textbf{4) PARTIE ENTI\`{E}RE et fonctions apparent\'{e}es}.}

\bigskip

DEF :

La \textit{partie enti\`{e}re (inf\'{e}rieure) }de $x$ : $\left\lfloor
x\right\rfloor =$ E$(x)=\underline{\text{E}}\left( x\right) $ est le plus
grand entier inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $x.$\newline
(python : $floor(x)$ qui est un flottant, ou $int(x)$ qui est un entier$)$

La \textit{partie enti\`{e}re sup\'{e}rieure} de $x$ : $\left\lceil
x\right\rceil $ $=\overline{\text{E}}(x)$ est le plus petit entier sup\'{e}%
rieur ou \'{e}gal \`{a} $x$ (python : $ceil(x)).$

L'\textit{arrondi (entier)} de $x$ : rnd$(x)=\left[ x\right] $ est l'entier
le plus proche de $x$ ; s'il y en a deux, on prend le plus grand pour $%
x\geqslant 0,$ et le plus petit pour $x<0$ (python : $round(x)).$

La \textit{partie fractionnaire} de $x$ est la diff\'{e}rence entre $x$ et
sa partie enti\`{e}re : frac$\left( x\right) =\{x\}=x-\left\lfloor
x\right\rfloor .$

\bigskip

Attention, dans les calculatrices, et en particulier en python, "int"
arrondit vers 0 (int(-4.8)=-4) ; il ne correspond \`{a} la partie enti\`{e}%
re que pour les positifs.

PROPRI\'{E}T\'{E}S : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$n=\left\lfloor x\right\rfloor \Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{c}
n\in \mathbb{Z} \\ 
n\leqslant x<n+1%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$\left\lceil x\right\rceil =-\left\lfloor -x\right\rfloor $ ; rnd$\left(
-x\right) =-$rnd$\left( x\right) $ \\ \hline
$n=$rnd$\left( x\right) \Leftrightarrow n\in \mathbb{Z}\text{ et }\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{ }n-\dfrac{1}{2}\leqslant x<n+\dfrac{1}{2}\text{ si }x\geqslant 0 \\ 
n-\dfrac{1}{2}<x\leqslant n+\dfrac{1}{2}\text{ si }x\leqslant 0%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
rnd$\left( x\right) =\left\lfloor x+\dfrac{1}{2}\right\rfloor $si $%
x\geqslant 0$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
D3 ; trac\'{e} des courbes.

On d\'{e}finit aussi :

La \textit{valeur approch\'{e}e d\'{e}cimale par d\'{e}faut }\`{a} l'ordre $%
n $ de $x$ : vad$_{n}\left( x\right) =\dfrac{\left\lfloor
10^{n}x\right\rfloor }{10^{n}}.$

\bigskip

La \textit{valeur approch\'{e}e d\'{e}cimale par exc\`{e}s} \`{a} l'ordre $n$
de $x$ : vae$_{n}\left( x\right) =\dfrac{\left\lceil 10^{n}x\right\rceil }{%
10^{n}}.$

\bigskip

L'\textit{arrondi d\'{e}cimal d'ordre }$n$ de $x$ : arrondi$_{n}\left(
x\right) =\dfrac{\text{arrondi}\left( 10^{n}x\right) }{10^{n}}.$

\bigskip

Par exemple, la conversion euros-francs est la fonction : $x\mapsto $arrondi$%
_{2}\left( 6,55957x\right) .$

\bigskip

E1 : remplir le tableau :

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
$n$ & vad$_{n}\left( \sqrt{3}\right) $ & vae$_{n}\left( \sqrt{3}\right) $ & 
arrondi$_{n}\left( \sqrt{3}\right) $ \\ \hline
0 & 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
\\ \hline
1 & 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
\\ \hline
2 & 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
&  &  \\ \hline
3 & 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
&  &  \\ \hline
4 & 
\begin{tabular}{l}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\end{tabular}
&  &  \\ \hline
\end{tabular}

\bigskip

Par convention, lorsqu'on \'{e}crit que $x\simeq N.10^{-n}$ avec $N$ entier,
cela signifie que $N.10^{-n}-10^{-n}<x<N.10^{-n}+10^{-n}.$

Par exemple, 
\begin{equation*}
x\simeq 31,109
\end{equation*}%
($N=31109$ et $n=3$) signifie : 
\begin{equation*}
31,108<x<31,110
\end{equation*}%
et 
\begin{equation*}
x\simeq 31,1090
\end{equation*}%
($N=311090$ et $n=4$) signifie 
\begin{equation*}
31,1089<x<31,1091
\end{equation*}

\bigskip

\end{document}
