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\lhead{ COURS MPSI}\chead{ \LARGE {B1 IV. LIMITES ET CONTINUITÉ}} \rhead {{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


IV.1) LIMITE D'UNE FONCTION EN UN POINT

Dans tout ce chapitre $f$ d\'{e}signe une fonction de $\mathbb{R}$ dans $%
\mathbb{R}$.

La notation $\overline{\mathbb{R}}$ d\'{e}signe l'ensemble $\mathbb{R}\cup
\left\{ +\infty \right\} \cup \left\{ -\infty \right\} .$

\bigskip

\qquad 1) D\'{e}finition g\'{e}n\'{e}rale intuitive (une d\'{e}finition pr%
\'{e}cise sera donn\'{e}e dans le cours d'analyse niveau 2)

Donn\'{e}es : $x_{0}$ et $l$ des \'{e}l\'{e}ments de $\overline{\mathbb{R}}$
(on n'impose pas que $x_{0}$ appartienne \`{a} $D_{f})$ ;

on dit que $f$ a pour \textit{limite} $l$ \textit{en} $x_{0}$ ( ou que $%
f\left( x\right) $ a pour \textit{limite} $l$ quand $x$\textit{\ tend vers} $%
x_{0},$ ou encore que $f\left( x\right) $ \textit{tend vers} $l$ quand $x$ 
\textit{tend vers} $x_{0})$ si $f\left( x\right) $ peut \^{e}tre rendu aussi
voisin qu'on veut de $l,$ \`{a} condition de prendre $x$ assez voisin de $%
x_{0}$. \bigskip

Notations : $l=\underset{x_{0}}{\lim }f=\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }%
f\left( x\right) ,$ ou $f\underset{x_{0}}{\rightarrow }l$ ou encore $f\left(
x\right) \underset{x\rightarrow x_{0}}{\rightarrow }l.$

\bigskip

\qquad 2) Limite restreinte, limite stricte, limite \`{a} droite ou \`{a}
gauche.

\bigskip \qquad $\qquad $a$)$ Limite restreinte

DEF : si $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, $x_{0}$ et $l$ des \'{e}l\'{e}%
ments de $\overline{\mathbb{R}},$ on dit que $f$ admet pour $A$-limite $l$,
ou que $f\left( x\right) $ a pour \textit{limite} $l$ quand $x$\textit{\
tend vers} $x_{0}$ \textit{en restant dans} $A$ si la restriction de $f$ 
\`{a} $D_{f}\cap A$ poss\`{e}de $l$ pour limite $.$

On \'{e}crit : $l=\underset{x_{0}}{\lim }f_{|A}=\underset{x\overset{x\in A}{%
\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left( x\right) ,$ ou $f_{|A}\underset{x_{0}}{%
\rightarrow }l$ ou encore $f\left( x\right) \underset{x\overset{x\in A}{%
\rightarrow }x_{0}}{\rightarrow }l.$

PROP : si $f$ admet pour $A$-limite $l$ en $x_{0},$ alors elle admet pour $%
A^{\prime }$-limite $l$ pour tout $A^{\prime }$ inclus dans $A$:

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
\underset{x\overset{x\in A}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left( x\right) =l \\ 
A^{\prime }\subset A%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\underset{x\overset{x\in A^{\prime
}}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left( x\right) =l$}}
\end{equation*}

REM : ce th\'{e}or\`{e}me sert principalement \`{a} montrer qu'une fonction
n'admet pas de limite en un point.

\bigskip

Application A1 : $\cos $ et $\sin $ n$^{\prime }$admettent pas de limite en $%
+\infty ,$ la fonction signe n'admet pas de limite en 0.

\bigskip

\qquad $\qquad $b) Limite stricte.

DEF : si $x_{0}\in $ $\mathbb{R}$ et $l\in \overline{\mathbb{R}}$, $x_{0}$
adh\'{e}rent \`{a} $D_{f}\backslash \left\{ x_{0}\right\} ,$ on dit que $f$
admet pour limite \textit{stricte} $l$, ou que $f\left( x\right) $ a pour 
\textit{limite} $l$ quand $x$\textit{\ tend vers} $x_{0}$ \textit{en restant
diff\'{e}rent} de $x_{0}$ si $f$ admet pour $A$-limite $l$ avec $A=\mathbb{R}%
\backslash \left\{ x_{0}\right\} $

On \'{e}crit $l=\underset{x\overset{\neq }{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left(
x\right) ,$ ou encore $f\left( x\right) \underset{x\overset{\neq }{%
\rightarrow }x_{0}}{\rightarrow }l.$

Exemple : la fonction nulle en tout point sauf en $0$ o\`{u} elle prend la
valeur $1$ n'admet \textit{pas} de limite (au sens large) en $0,$ mais elle
admet $0$ pour limite \textit{stricte} en $0.$\bigskip

\qquad $\qquad $c$)$ Limites \`{a} droite et \`{a} gauche.

\bigskip DEF :

\qquad - limite \`{a} droite : si $x_{0}\in $ $\mathbb{R}$ et $l\in 
\overline{\mathbb{R}}$ , on dit que $f$ admet pour limite \textit{\`{a}
droite} $l$, ou que $f\left( x\right) $ a pour \textit{limite} $l$ quand $x$%
\textit{\ tend vers} $x_{0}$ \textit{en restant }$\geqslant $ $x_{0},$ si $f$
admet pour $A$-limite $l$ avec $A=[x_{0},+\infty \lbrack .$

\qquad - limite \`{a} gauche : si $x_{0}$ et $l\in $ $\overline{\mathbb{R}}$ 
$,$ on dit que $f$ admet pour limite \textit{\`{a} gauche} $l$, ou que $%
f\left( x\right) $ a pour \textit{limite} $l$ quand $x$\textit{\ tend vers} $%
x_{0}$ \textit{en restant }$\leqslant $ $x_{0},$ si $f$ admet pour $A$%
-limite $l$ avec $A=\left] -\infty ,x_{0}\right] ,$

On d\'{e}finit de mani\`{e}re similaire des limites strictes \`{a} droite ou 
\`{a} gauche.

\bigskip

TH : si $\underset{x\overset{\leqslant }{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left(
x\right) =l$ et $\underset{x\overset{\geqslant }{\rightarrow }x_{0}}{\lim }%
f\left( x\right) =l$ alors $\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }f\left(
x\right) \ =l$.

\bigskip

3) Propri\'{e}t\'{e}s des limites.

\qquad a) Op\'{e}rations.

PROP 1 (th\'{e}or\`{e}me de limite de somme pour les fonctions) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\underset{x_{0}}{\lim }f=l_{1}\in \mathbb{R} \\ 
\underset{x_{0}}{\lim }g=l_{2}\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\underset{x_{0}}{\lim }\left(
f+g\right) =l_{1}+l_{2}$}}
\end{equation*}

PROP 2 : (th\'{e}or\`{e}me de limite de produit pour les fonctions) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\underset{x_{0}}{\lim }f=l_{1}\in \mathbb{R} \\ 
\underset{x_{0}}{\lim }g=l_{2}\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ }\ \fbox{(C) : $\underset{x_{0}}{\lim }\left(
fg\right) =l_{1}l_{2}$}
\end{equation*}

\bigskip CORO : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\underset{x_{0}}{\lim }f=l\in \mathbb{R}$}\;\;\text{%
alors\ \ \fbox{(C) : $\forall \lambda \in \mathbb{R}\;\;\underset{x_{0}}{%
\lim }\lambda f=\lambda l$}}
\end{equation*}

PROP 3 : (th\'{e}or\`{e}me de limite de l'inverse d'une fonction de limite
non nulle) :\ 

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\underset{x_{0}}{\lim }f=l\neq 0\in \mathbb{R}$}\;\;%
\text{alors \fbox{(C) : $\underset{x_{0}}{\lim }\left( \dfrac{1}{f}\right) =%
\dfrac{1}{l}$}\ }
\end{equation*}

CORO (de PROP 3 et 4) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
\underset{x_{0}}{\lim }f=l_{1}\in \mathbb{R} \\ 
\underset{x_{0}}{\lim }g=l_{2}\neq 0\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\underset{x_{0}}{\lim }\left( 
\dfrac{f}{g}\right) =\dfrac{l_{1}}{l_{2}}$}}
\end{equation*}

\bigskip PROP 4 (limite infinie d'une somme ou d'un produit de fonctions) : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
si $\underset{x_{0}}{\lim }f=$ & et si $g$ & alors$\;\underset{x_{0}}{\lim }%
\left( f+g\right) =$ & alors $\underset{x_{0}}{\lim }\left( fg\right) =$ \\ 
\hline
$+\infty $ & a une limite finie en $x_{0}$ & $+\infty $ & ??? \\ \hline
$+\infty $ & a une limite finie $>0$ en $x_{0}$ & $+\infty $ & $+\infty $ \\ 
\hline
$-\infty $ & a une limite finie en $x_{0}$ & $-\infty $ & ??? \\ \hline
$-\infty $ & a une limite finie $>0$ en $x_{0}$ & $-\infty $ & $-\infty $ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

PROP 5 (limite infinie ou nulle de l'inverse) : si $f\left( x\right) $ est $%
\neq 0$ au voisinage de $x_{0}$, alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\underset{x_{0}}{\lim }f=0\Leftrightarrow \underset{x_{0}}{\lim }\dfrac{1}{%
\left\vert f\right\vert }=+\infty $ \\ \hline
$\underset{x_{0}}{\lim }f=+\infty \Leftrightarrow f(x)>0$ au voisinage de $%
x_{0}$ et $\underset{x_{0}}{\lim }\dfrac{1}{f}=0$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

PROP 6 $($th\'{e}or\`{e}me de composition des limites) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
\underset{x_{0}}{\lim }f=l \\ 
\underset{u_{0}}{\lim }g=x_{0} \\ 
u_{0}\;\text{adh\'{e}rent \`{a} }D_{f\circ g}%
\end{array}
\right. \grave{a}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\underset{u_{0}}{\lim }%
f\circ g=l$}}
\end{equation*}

\qquad b$)$ In\'{e}galit\'{e}s.

PROP 7 (th\'{e}or\`{e}me de conservation des in\'{e}galit\'{e}s LARGES par
passage \`{a} la limite finie, pour les fonctions) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f(x)\leqslant g(x)\; \\ 
\underset{x_{0}}{\lim }f=l_{1}\in \mathbb{R}\text{ ; }\underset{x_{0}}{\lim }%
g=l_{2}\in \mathbb{R}%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $l_{1}\leqslant l_{2}$}}
\end{equation*}

PROP\ 8 (th\'{e}or\`{e}me d'encadrement, ou \textquotedblright des
gendarmes\textquotedblright\ pour les fonctions) : si 
\begin{equation*}
\fbox{(H)$\left\{ 
\begin{array}{l}
g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\; \\ 
\underset{x_{0}}{\lim }g=\underset{x_{0}}{\lim }h=l\in \mathbb{R}%
\end{array}%
\right. $}\;\;\text{alors}\ \ \fbox{(C) : $\underset{x_{0}}{\lim }f=l$}
\end{equation*}

\bigskip

A1 : d\'{e}monstration du fait que $\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }\sin
x=\sin x_{0}$ et $\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }\cos x=\cos x_{0}$ .

D1

PROP 9 (th\'{e}or\`{e}me \textit{du} gendarme pour une fonction de limite
infinie) :

Une fonction$\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{minor\'{e}e} \\ 
\text{major\'{e}e}%
\end{array}%
\right. $ par une fonction de limite $\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}%
\right. $ est elle-m\^{e}me de limite $\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}%
\right. .$

\bigskip \qquad c) Techniques pour lever une ind\'{e}termination.

\bigskip i) Technique du terme pr\'{e}pond\'{e}rant.

Dans une somme, mettre en facteur le terme pr\'{e}pond\'{e}rant ( $f\left(
x\right) $ est pr\'{e}pond\'{e}rant sur $g(x)$ quand $x$ tend vers $x_{0}$
si $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ tend vers 0 (ou $\left\vert \dfrac{f\left( x\right) 
}{g\left( x\right) }\right\vert $ tend vers +$\infty )$ ; en effet, dans ce
cas :

\begin{equation*}
f\left( x\right) +g\left( x\right) =f\left( x\right) \left( 1+\dfrac{g(x)}{%
f(x)}\right) \text{ a m\^{e}me limite que }f\left( x\right)
\end{equation*}

E1

\bigskip ii) Technique de la quantit\'{e} conjugu\'{e}e.

Ecrire $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ ;

E2 : $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}.$

iii) utilisation de la PROP : $\underset{u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\sin u%
}{u}=1,$ $\underset{u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{\tan u}{u}=1.$

D2 : utilisant le LEMME :

Pour $0<u<\dfrac{\pi }{2},$ $\cos u\leqslant \dfrac{\sin u}{u}\leqslant 1$

\bigskip

\bigskip IV.2) CONTINUIT\'{E} EN UN POINT.

\qquad 1) D\'{e}finition.

DEF : $f$ est $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{continue} \\ 
\text{continue \`{a} gauche} \\ 
\text{continue \`{a} droite}%
\end{array}%
\right. $ en un point $x_{0}$ de son ensemble de d\'{e}finition si $\left\{ 
\begin{array}{c}
\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }f\left( x\right) =f\left( x_{0}\right)
\\ 
\underset{x\overset{\leqslant }{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left( x\right)
=f\left( x_{0}\right) \\ 
\underset{x\overset{\geqslant }{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left( x\right)
=f\left( x_{0}\right)%
\end{array}%
\right. .$

\bigskip

\qquad 2) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip

PROP : $f$ est continue en $x_{0}\in D_{f}$ ssi elle y est continue \`{a}
gauche et \`{a} droite.

\bigskip

PROP : toute somme, produit, quotient, compos\'{e}e de fonctions continues
est continue ; plus pr\'{e}cis\'{e}ment :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ et $g$ sont continues en $x_{0}$}\;\;\text{alors\
\ \fbox{(C) : $f$ $+$ $g$ et $fg$ sont continues en $x_{0}$}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ et $g$ sont continues en $x_{0},$ avec $g\left(
x_{0}\right) \neq 0$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\dfrac{f}{g}$ est
continue en $x_{0}$}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;f$ est continue en $x_{0}$ et $g$ est continue en $%
f\left( x_{0}\right) $}\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $g\circ f$ est continue
en $x_{0}$}}
\end{equation*}

\bigskip REM : on a les m\^{e}mes propri\'{e}t\'{e}s pour la \textit{%
continuit\'{e} \`{a} gauche, ou \`{a} droite}.

E3 : Exemples.

a) les fonctions polynomiales : continues partout,

b) les fonction rationnelles : continues en tout point o\`{u} elles sont d%
\'{e}finies.

c) La fonction $\sqrt{}$ : idem.

d) la fonction $|.|$ (valeur absolue) : continue partout.

e) Les fonctions $sin,cos,tan$ : idem

f) les fonctions partie enti\`{e}re, partie fractionnaire ; discontinues en
tout point entier, continues ailleurs.

D3

\qquad 3) Prolongement par continuit\'{e}.

PROP et DEF : si $x_{0}\notin D_{f}$ $,$ et si $\underset{x_{0}}{\lim }%
f=l\in \mathbb{R},$ la fonction $\widetilde{f},$ d\'{e}finie par $\widetilde{%
f}\left( x_{0}\right) =l$ et $\widetilde{f}\left( x\right) =f\left( x\right) 
$ pour $x\in D_{f}$ est continue en $x_{0}$ ; cette fonction s'appelle le 
\textit{prolongement par continuit\'{e}} de $f$ en $x_{0}.$

\bigskip

Exemple E4

\bigskip

Remarque importante : lorsque vous devrez \'{e}tudier une fonction, il
faudra automatiquement la prolonger par continuit\'{e} aux bornes ouvertes
des intervalles composant l'ensemble de d\'{e}finition (si le cas se pr\'{e}%
sente), et c'est cette fonction prolong\'{e}e que vous devrez \'{e}tudier.

\bigskip

\qquad 4) Continuit\'{e} globale.

DEF : soit $I$ une partie de $D_{f}$ ; on dit que $f$ est continue \textit{%
sur} $I$ si la restriction de $f$ \`{a} $I$ est continue en chaque point de $%
I,$ autrement dit si 
\begin{equation*}
\forall x_{0}\in I\;\;\underset{x\overset{x\in I}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }%
f\left( x\right) =f\left( x_{0}\right)
\end{equation*}

\bigskip

\bigskip

\end{document}
