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\lhead{ \Large{COURS MPSI}}\chead{ \LARGE {B2. SUITES NUMÉRIQUES}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
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\begin{document}


A) \'{E}TUDE ALG\'{E}BRIQUE DES SUITES NUM\'{E}RIQUES.

\bigskip

I) G\'{E}N\'{E}RALIT\'{E}S

\bigskip

1) D\'{e}finition.

DEF : une suite d'\'{e}l\'{e}ments d'un ensemble $E$ est une fonction de $%
\mathbb{N}$ vers $E$ dont l'ensemble de d\'{e}finition est du type $\left[
\left\vert n_{0},+\infty \right\vert \right[ $ avec $n_{0}\in \mathbb{N}$ ;
si $E=\mathbb{R},$ on parle de suite \textit{r\'{e}elle}, et si $E=\mathbb{C}%
,$ de suite \textit{complexe}, ou \textit{num\'{e}rique}.

\bigskip

Au lieu de la notation fonctionnelle : $u\left( n\right) $, on utilise une
notation indicielle : $u_{n}$ ; $u_{n}$ est appel\'{e} le \textit{terme g%
\'{e}n\'{e}ral} de la suite, et la suite est not\'{e}e $(u_{n})_{n\geqslant
n_{0}},$ voire $(u_{n})$ s'il n'y a pas d'ambigu\"{\i}t\'{e}.

\bigskip

Il ne faut donc pas confondre \textquotedblright\ $u_{n}$ \textquotedblright%
\ qui est un \'{e}l\'{e}ment de $E$ et : \textquotedblright\ $\left(
u_{n}\right) $ \textquotedblright\ qui est une fonction de de $\mathbb{N}$
vers $E.$

\bigskip

Exemple : $(u_{n})=(v_{n})$ signifie :
.....................................................

et $(u_{n})\neq (v_{n})$ signifie :
..........................................................

\bigskip

2) Sens de variation d'une suite r\'{e}elle.

\bigskip

a) DEF : soit $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ une suite r\'{e}elle
; on dit que $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textit{croissante} ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n}\leqslant
u_{n+1}$ \\ \hline
\textit{strictement croissante }ssi & $\forall n\geqslant
n_{0}\;\;\;u_{n}<u_{n+1}$ \\ \hline
\textit{d\'{e}croissante} ssi & $\forall n\geqslant
n_{0}\;\;\;u_{n}\geqslant u_{n+1}$ \\ \hline
\textit{strictement d\'{e}croissante }ssi & $\forall n\geqslant
n_{0}\;\;\;u_{n}>u_{n+1}$ \\ \hline
\textit{monotone} ssi & $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est
croissante ou d\'{e}croissante \\ \hline
\textit{strictement monotone} ssi & $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$
est strictement croissante ou strictement d\'{e}croissante \\ \hline
\textit{constante (ou\ stationnaire) }ssi & $\forall n\geqslant
n_{0}\;\;\;u_{n}=u_{n+1}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

Remarque 1: il se peut que le sens de variation d'une suite ne soit stable
qu'\`{a} partir d'un indice sup\'{e}rieur \`{a} $n_{0}$ ; si donc $n_{1}$
est un entier $\geqslant n_{0},$ on dira que la suite $\left( u_{n}\right)
_{n\geqslant n_{0}}$ est\textit{\ croissante \`{a} partir }de $n_{1}$ si la
suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{1}}$ est croissante (idem pour
les autres d\'{e}finitions). On a donc : 
\begin{equation*}
\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}\text{est\textit{\ croissante \`{a}
partir d'un certain rang }(APCR)}\Leftrightarrow \exists n_{1}\geqslant
n_{0}\;\;\forall \mathit{\ }n\geqslant n_{1}\;\;\;u_{n}\leqslant u_{n+1}
\end{equation*}

Et donc :

$\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$\textit{n'est croissante \`{a}
partir d'aucun rang }$\Leftrightarrow ...$

Ceci \'{e}quivaut \`{a} ce qu'il existe une infinit\'{e} de $n$ pour
lesquels $u_{n}>u_{n+1}.$

\bigskip

Exemples E1 : $u_{n}=\left( n-10\right) ^{2}$ , $u_{n}=\left( -1\right)
^{n}. $

\bigskip Remarque 2 : $\left( u_{n}\right) $ est d\'{e}croissante ssi $%
\left( -u_{n}\right) $ est croissante (idem pour strictement).

Remarque 3 : $\left( u_{n}\right) $ est constante ssi $\left( u_{n}\right) $
est croissante et d\'{e}croissante, ssi $\exists a\in \mathbb{R}\;/$ $%
\forall n\geqslant n_{0}\;\;u_{n}=a.$

\bigskip

b) Diverses m\'{e}thodes pour d\'{e}terminer le sens de variation d'une
suite num\'{e}rique.

\bigskip

\qquad $\alpha $) Se ramener \`{a} l'\'{e}tude d'une fonction de $\mathbb{R}$
dans $\mathbb{R}$.

\bigskip

Ceci n'est possible que si on trouve une fonction $f$ d\'{e}finie sur $\left[
n_{0},+\infty \right[ ,$telle que pour $n$ entier $\geqslant n_{0},$ $%
u_{n}=f\left( n\right) ,$ et que le sens de variation de $f$ soit facile 
\`{a} d\'{e}terminer ; $\left( u_{n}\right) $ a alors m\^{e}me sens de
variation que $f.$

\bigskip

Exemple E2 : $u_{n}=\dfrac{n}{\ln n}.$

\bigskip

\qquad $\beta $) M\'{e}thode $u_{n+1}-u_{n}.$

\bigskip Cette m\'{e}thode marche bien quand $u_{n}$ est d\'{e}fini par des
sommes.

Si l'on pose $v_{n}=u_{n+1}-u_{n},$ on a \'{e}videmment : $\left(
u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textit{croissante} ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;v_{n}\geqslant 0$
\\ \hline
\textit{strictement croissante }ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;v_{n}>0$
\\ \hline
\textit{d\'{e}croissante} ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;v_{n}\leqslant
0 $ \\ \hline
\textit{strictement d\'{e}croissante }ssi & $\forall n\geqslant
n_{0}\;\;v_{n}<0$ \\ \hline
\textit{constante }ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;v_{n}=0$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

(Remarquer la similitude avec les d\'{e}riv\'{e}es pour les fonctions).

\bigskip

Variante : on peut prendre $u_{n}-u_{n-1}$ au lieu de $u_{n+1}-u_{n}$ ; le
signe est alors \`{a} v\'{e}rifier \`{a} partir du rang $n_{0}+1.$

\bigskip

Remarque : si $u_{n}=\underset{k=n_{0}}{\overset{n}{\sum }}v_{k},$ alors $%
u_{n}-u_{n-1}=v_{n}$ !!!!!

Exemples E3 : $h_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\dsum }}\dfrac{1}{k}$ (appel%
\'{e}e s\'{e}rie harmonique ); $u_{n}=h_{2n}-h_{n}.$

\bigskip

$\gamma $) M\'{e}thode $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}.$

\bigskip Cette m\'{e}thode marche bien quand $u_{n}$ est d\'{e}fini par des
produits, et de signe constant.

Si donc \fbox{$u_{n}>0$ pour tout $n\geqslant n_{0}$}$,$ et si l'on pose $%
v_{n}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}},$ on a \'{e}videmment : $\left( u_{n}\right)
_{n\geqslant n_{0}}$ est

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textit{croissante} ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;v_{n}\geqslant 1$
\\ \hline
\textit{strictement croissante }ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;v_{n}>1$
\\ \hline
\textit{d\'{e}croissante} ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;v_{n}\leqslant
1 $ \\ \hline
\textit{strictement d\'{e}croissante }ssi & $\forall n\geqslant
n_{0}\;\;v_{n}<1$ \\ \hline
\textit{constante }ssi & $\forall n\geqslant n_{0}\;\;v_{n}=1$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip

Variante : on peut prendre $\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}$ au lieu de $\dfrac{%
u_{n+1}}{u_{n}}$ ; la position par rapport \`{a} 1 est alors \`{a} v\'{e}%
rifier \`{a} partir du rang $n_{0}+1.$

\bigskip

Remarque : si $u_{n}=\underset{k=n_{0}}{\overset{n}{\prod }}v_{k},$ alors $%
\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}=v_{n}$ !!!!!

\bigskip

Exemples : E4 ; $u_{n}=\dfrac{\left( 1,1\right) ^{n}}{n^{100}},u_{n}=\dfrac{%
n!}{n^{n}},u_{n}=\dfrac{\left( 2n\right) !}{n^{n}}$

\bigskip

3) Suites r\'{e}elles major\'{e}es ou minor\'{e}es ; suites complexes born%
\'{e}es.

\bigskip

DEF : On dit que la suite r\'{e}elle $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant
n_{0}} $ est $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textit{major\'{e}e} \\ \hline
\textit{minor\'{e}e} \\ \hline
\end{tabular}
$ si l'ensemble de ses valeurs est une partie $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
major\'{e}e \\ \hline
minor\'{e}e \\ \hline
\end{tabular}
$ de $\mathbb{R}$ , autrement dit, si $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\exists m\in \mathbb{R}\;/$ $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n}\leqslant m$
\\ \hline
$\exists m\in \mathbb{R}\;/$ $\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n}\geqslant m$
\\ \hline
\end{tabular}
.$

\bigskip

REM : d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me d'existence des bornes sup\'{e}rieures
et inf\'{e}rieures dans $\mathbb{R},$ on peut donc dire que

$\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
major\'{e}e \\ \hline
minor\'{e}e \\ \hline
\end{tabular}
$ ssi $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\underset{n\geqslant n_{0}}{\sup }u_{n}\in \mathbb{R}$ \\ \hline
$\underset{n\geqslant n_{0}}{\inf }u_{n}\in \mathbb{R}$ \\ \hline
\end{tabular}
.$

Par cons\'{e}quent :

\bigskip $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
non major\'{e}e \\ \hline
non minor\'{e}e \\ \hline
\end{tabular}
$ ssi $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\forall ............................................$ \\ \hline
$\forall ............................................$ \\ \hline
\end{tabular}
$ , ssi $%
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\underset{n\geqslant n_{0}}{\sup }u_{n}=+\infty $ \\ \hline
$\underset{n\geqslant n_{0}}{\inf }u_{n}=-\infty $ \\ \hline
\end{tabular}
.$

\bigskip

ATTENTION\ : une suite non major\'{e}e n'est pas forc\'{e}ment croissante, m%
\^{e}me APCR !!!!

DEF\ : On dit que la suite complexe $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$
est \textit{born\'{e}e} si la suite des modules $\left( \left| u\right|
_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est major\'{e}e.

\bigskip

PROP\ : une suite r\'{e}elle est born\'{e}e ssi elle est major\'{e}e et minor%
\'{e}e.

\bigskip D1

E5 : $u_{n}=\left( -1\right) ^{n},v_{n}=\left( 1+i\right)
^{n},w_{n}=\int_{0}^{1}\sin \left( nx^{2}\right) dx,x_{n}=\sum_{k=1}^{n}%
\dfrac{1}{2^{k}},y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k}.$

REM : une suite est minor\'{e}e (resp. major\'{e}e, born\'{e}e) ssi elle est
minor\'{e}e (resp. major\'{e}e, born\'{e}e) APCR.

\bigskip

II$)$ SUITES D\'{E}FINIES PAR R\'{E}CURRENCE (ou R\'{E}CURRENTES).

\bigskip

1)Suites r\'{e}currentes simples.

\bigskip

On dit qu'une suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ est\textit{\ d%
\'{e}finie par r\'{e}currence simple}, si sa d\'{e}finition est donn\'{e}e
par 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$u_{n_{0}}=a$ \\ \hline
$\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n+1}=f_{n}\left( u_{n}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}
\right.
\end{equation*}

o\`{u} $a$ est un \'{e}l\'{e}ment fix\'{e} de $E$ et, pour $n\geqslant
n_{0},\;f_{n}$ est une fonction de $E$ dans $E.$

\bigskip

Exemples : E6.

\bigskip

En g\'{e}n\'{e}ral, la r\'{e}currence est ''ind\'{e}pendante du rang'',
c'est-\`{a}-dire que $f_{n}$ ne d\'{e}pend pas de $n$ ; autrement dit :

\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$u_{n_{0}}=a$ \\ \hline
$\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}
\right.
\end{equation*}

o\`{u} $a$ est un \'{e}l\'{e}ment fix\'{e} de $E$ et $f$ une fonction de $E$
dans $E.$

\bigskip

Dans ce dernier cas $u_{n}$ est tout simplement \'{e}gal \`{a} $%
f^{n-n_{0}}\left( u_{n_{0}}\right) =\underset{n-n_{0}\text{ fois}}{%
\underbrace{f\circ ...\circ f}}\left( u_{n_{0}}\right) $ ; si donc deux
suites $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ d\'{e}finies par r%
\'{e}currence simple ind\'{e}pendante du rang \`{a} partir de la m\^{e}me
fonction $f$ prennent la m\^{e}me valeur, elles sont \'{e}gales \`{a} une
translation de l'indice pr\`{e}s (i.e. si $u_{n_{1}}=v_{n_{2}}$ alors $%
u_{n_{1}+k}=v_{n_{2}+k}$ pour $k\geqslant 0).$

\bigskip

Visualisation d'une suite r\'{e}elle r\'{e}currente du type $u_{n+1}=f\left(
u_{n}\right) .$

\bigskip

V1

\bigskip

Attention, si on est s\^{u}r que la suite d\'{e}finie ci-dessus est unique,
il se peut qu'elle n'existe pas !

Exemple : E7.

\bigskip

Par contre on a la proposition :

\bigskip

PROP et DEF : s'il existe un ensemble $I$ inclus dans $D_{f}$ tel que $%
\forall x\in I\;\;\;f\left( x\right) \in I$ (autrement dit $f\left( I\right) 
$\bigskip $\subset I)$ alors d\`{e}s que $a\in I,$ la suite $\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$u_{n_{0}}=a$ \\ \hline
$\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\ \right. $ est bien d\'{e}finie. $I$, ensemble \textit{stable} par $f,$ est
appel\'{e} un \textit{ensemble de s\'{e}curit\'{e}} pour cette r\'{e}%
currence.

\bigskip

D2

\bigskip

REM 1 : si $D_{f}=\mathbb{R},$ alors $\mathbb{R}$ est un intervalle de s\'{e}%
curit\'{e} !!

REM 2 : si $f$ est monotone sur $I=[a,b]$ alors $I$ est un intervalle de s%
\'{e}curit\'{e} ssi $f\left( a\right) $ et $f\left( b\right) $ appartiennent 
\`{a} $I.$

\bigskip

Etudions les rapports entre le sens de variation de la suite $\left(
u_{n}\right) $ et les propri\'{e}t\'{e}s de la fonction $f$ .

\bigskip

On suppose que $I$ est un ensemble de s\'{e}curit\'{e} et que $\left(
u_{n}\right) \;$est d\'{e}finie par $\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$u_{0}=a\in I$ \\ \hline
$\forall n\geqslant 0\;\;\;u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}
\right. $

PROP :

1) si $f\left( x\right) \geqslant x$ pour tout $x$ dans $I,$ $\left(
u_{n}\right) $ est croissante.

1') si $f\left( x\right) \leqslant x$ pour tout $x$ dans $I,$ $\left(
u_{n}\right) $ est croissante.

\bigskip 2) si $f$ est croissante sur $I$ alors $\left( u_{n}\right) $ est
monotone ; plus pr\'{e}cis\'{e}ment, 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
Si $\;u_{0}\leqslant u_{1}$ alors $\left( u_{n}\right) $ est croissante \\ 
\hline
Si $\;u_{0}\geqslant u_{1}$ alors $\left( u_{n}\right) $ est d\'{e}croissante
\\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

2') si $f$ est d\'{e}croissante sur $I$ alors $\left( u_{n}\right) $ est
telle que les deux suites des termes de rangs pairs et impairs $\left(
u_{2n}\right) $ et $\left( u_{2n+1}\right) $ sont monotones de sens
contraires ; plus pr\'{e}cis\'{e}ment,

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
Si $\;u_{0}\leqslant u_{2}$ alors $\left( u_{2n}\right) $ est croissante et $%
\left( u_{2n+1}\right) $ est d\'{e}croissante \\ \hline
Si $\;u_{0}\geqslant u_{2}$ alors \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\bigskip

D3

\bigskip

2) Autres r\'{e}currences.

\bigskip

Suite d\'{e}finie par r\'{e}currence double :

\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$u_{n_{0}}=a,$ $u_{\left( n_{0}+1\right) }=b$ \\ \hline
$\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n+2}=f_{n}\left( u_{n},u_{n+1}\right) $ \\ 
\hline
\end{tabular}
\right.
\end{equation*}

o\`{u} $a$ et $b$ sont deux \'{e}l\'{e}ments fix\'{e}s de $E$ et, pour $%
n\geqslant n_{0},f_{n}$ est une fonction de $E^{2}$ dans $E.$

(ceci se g\'{e}n\'{e}ralisant \`{a} des r\'{e}currences $p$-uples).

\bigskip

Exemple classique : la suite de Fibonacci.

\bigskip

\bigskip Suite d\'{e}finie par r\'{e}currence forte : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$u_{n_{0}}=a$ \\ \hline
$\forall n\geqslant n_{0}\;\;\;u_{n+1}=f_{n}\left(
u_{n_{0}},....,u_{n}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}
\right.
\end{equation*}

o\`{u} $a$ est un \'{e}l\'{e}ment fix\'{e} de $E$ et, pour $n\geqslant
n_{0},f_{n}$ est une fonction de $E^{n-n_{0}+1}$ dans $E.$

\bigskip

E8 : la suite de Catalan : $\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$c_{0}=1$ \\ \hline
$\forall n\;\;\;c_{n+1}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}c_{k}c_{n-k}$ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\ \right. .$

\bigskip

III) CALCULS DE TERMES G\'{E}N\'{E}RAUX

\bigskip

1) Suites arithm\'{e}tiques.

\bigskip

DEF : une suite complexe $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ est dite 
\textit{arithm\'{e}tique} si la suite $\left( u_{n+1}-u_{n}\right)
_{n\geqslant 0}$ est constante ; la valeur constante de cette suite est appel%
\'{e}e la \textit{raison} de la suite.

\bigskip

Voici diverses CNS : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
CNS 1. $\exists r\in \mathbb{C}\;\;/\;\forall n\geqslant
0\;\;u_{n+1}=u_{n}+r $ \\ \hline
CNS 2. $\forall n\geqslant 0\;\;\;u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}$ (trois
termes cons\'{e}cutifs sont toujours en progression arithm\'{e}tique) \\ 
\hline
CNS 3. $\forall n\geqslant 1\;\;u_{n}=\dfrac{1}{2}\left(
u_{n-1}+u_{n+1}\right) $ (chaque terme est la moyenne arithm\'{e}tique des
termes pr\'{e}c\'{e}dent et suivant) \\ \hline
CNS 4. $\forall n\geqslant 0\;\;u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}$ (d\'{e}finition par r%
\'{e}currence lin\'{e}aire double) \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip D4

REM : une suite arithm\'{e}tique est d\'{e}finie par r\'{e}currence ind\'{e}%
pendante du rang (avec la fonction $f:\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} \\ 
z\mapsto z+r%
\end{array}
\right. )$ ; d'o\`{u} la repr\'{e}sentation dans le cas r\'{e}el :

\bigskip R1

\bigskip Calcul du terme g\'{e}n\'{e}ral :

PROP\ : si $\left( u_{n}\right) $ est arithm\'{e}tique de raison $r,\;$\fbox{%
$\forall n\geqslant 0\ \ u_{n}=u_{0}+nr$}.

D5

\bigskip

On en d\'{e}duit une cinqui\`{e}me CNS pour que $\left( u_{n}\right) $ soit
arithm\'{e}tique : 
\begin{equation*}
\fbox{CNS 5. $\exists a,b\in \mathbb{C}\;\;\forall n\;\;u_{n}=an+b$}
\end{equation*}

\bigskip

Sommes de termes cons\'{e}cutifs : si $\left( u_{n}\right) $ est arithm\'{e}%
tique, $n_{1}\leqslant n_{2}\in \mathbb{N}$ et $N=n_{2}-n_{1}+1$%
\begin{equation*}
\fbox{$\underset{k=n_{1}}{\overset{n_{2}}{\sum }}u_{k}=N.\dfrac{%
u_{n_{1}}+u_{n_{2}}}{2}=\left( \text{nombre de termes}\right) \times \left( 
\text{moyenne arithm\'{e}tique des termes extr\^{e}mes}\right) $}
\end{equation*}

\bigskip D6

2) Suites g\'{e}om\'{e}triques.

\bigskip

DEF : une suite complexe $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ est dite 
\textit{g\'{e}om\'{e}trique} (ou \textit{r\'{e}currente lin\'{e}aire simple}%
) si $\exists r\in \mathbb{C}\;\;/\;\forall n\geqslant 0\;\;u_{n+1}=r\;u_{n}$
; la valeur $r$ est appel\'{e}e la \textit{raison} de la suite.

Voici diverses CNS pour une suite \`{a} termes non nuls : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
CNS 1. la suite $\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\right) _{n\geqslant 0}$ est
constante \\ \hline
CNS 2. $\forall n\geqslant 0\;\;\;\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\dfrac{u_{n+1}}{%
u_{n}}\;$(trois termes cons\'{e}cutifs sont toujours en progression g\'{e}om%
\'{e}trique) \\ \hline
CNS 3. $\forall n\geqslant 1\;\;u_{n}^{2}=u_{n-1}u_{n+1}$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip D7

REM\ \'{e}tymologique : le mot raison vient du latin \textit{ratio}
signifiant ''rapport'' : \'{e}tymologiquement donc, seules les raisons de
suites g\'{e}om\'{e}triques devraient s'appeler ''raison''...

\bigskip

REM 2 : la CNS 3 implique que $\left| u_{n}\right| =\sqrt{\left|
u_{n-1}\right| \left| u_{n+1}\right| },$ donc que le module de chaque terme
est la moyenne g\'{e}om\'{e}trique des modules des termes pr\'{e}c\'{e}dent
et suivant.

REM 3 : une suite g\'{e}om\'{e}trique est d\'{e}finie par r\'{e}currence ind%
\'{e}pendante du rang (avec la fonction $f:z\mapsto r\;z)$ ; d'o\`{u} la repr%
\'{e}sentation dans le cas r\'{e}el :

\bigskip R2

\bigskip Calcul du terme g\'{e}n\'{e}ral :

PROP\ : si $\left( u_{n}\right) $ est g\'{e}om\'{e}trique de raison $r,\;$%
\fbox{$u_{n}=u_{0}r^{n}$}.

D8

\bigskip

On en d\'{e}duit une quatri\`{e}me CNS pour que $\left( u_{n}\right) $ soit g%
\'{e}om\'{e}trique, valable pour des suites pouvant s'annuler : 
\begin{equation*}
\fbox{CNS 4. $\exists \lambda ,a\in \mathbb{C}\;/\;\forall n\geqslant
0\;\;u_{n}=\lambda a^{n}$}
\end{equation*}

Exemples : E9

\bigskip

Sommes de termes cons\'{e}cutifs : si $\left( u_{n}\right) $ est g\'{e}om%
\'{e}trique de raison $r$\fbox{$\neq 1$}, $n_{1}\leqslant n_{2}\in \mathbb{N}
$ et $N=n_{2}-n_{1}+1$%
\begin{equation*}
\fbox{$\underset{k=n_{1}}{\overset{n_{2}}{\sum }}u_{k}=u_{n_{1}}.\dfrac{%
r^{N}-1}{r-1}=($premier terme)$\times \dfrac{\text{raison}^{\text{nombre de
termes}}-1}{\text{raison}-1}$}
\end{equation*}

D9

REM\ : quand $\left| r\right| <1,$ il vaut mieux utiliser la forme :$%
\underset{k=n_{1}}{\overset{n_{2}}{\sum }}u_{k}=u_{n_{1}}.\dfrac{1-r^{N}}{1-r%
}.$

\bigskip

3) Suites arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}triques (ou r\'{e}currentes affines
simples ).

\bigskip

DEF : une suite complexe $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant 0}$ est dite 
\textit{arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique} (ou \textit{r\'{e}currente
affine simple}) si $\exists a,b\in \mathbb{C}\;\;/\;\forall
n\;\;u_{n+1}=a\;u_{n}$ $+b$.

\bigskip

REM : pour $a=1,$ on retrouve les suites arithm\'{e}tiques, et pour $b=0,$
les suites g\'{e}om\'{e}triques.

\bigskip

Calcul du terme g\'{e}n\'{e}ral quand \fbox{$a\neq 1$} : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}=a^{n}u_{0}+b\dfrac{a^{n}-1}{a-1}=\left( u_{0}-\lambda \right)
a^{n}+\lambda $ avec $\lambda =a\lambda +b$}
\end{equation*}

\bigskip D10

\bigskip

REM : le r\'{e}sultat n'est pas \`{a} retenir par coeur, mais il faut conna%
\^{\i}tre les deux m\'{e}thodes pour l'obtenir ; on peut aussi retenir que $%
u_{n}=\alpha .a^{n}+\beta $ et d\'{e}terminer $\alpha $ et $\beta $ \`{a}
partir de $u_{0}$ et $u_{1}.$

\bigskip

4) Suites r\'{e}currentes lin\'{e}aires doubles.

\bigskip

DEF : une suite complexe $\left( u_{n}\right) $ est dite \textit{r\'{e}%
currente lin\'{e}aire double} si $\exists a,b\in \mathbb{C}\;\;/\;\forall
n\;\;u_{n+2}=a\;u_{n+1}$ $+bu_{n}$ .

\bigskip

\bigskip Comme toute suite \`{a} r\'{e}currence double, la suite est alors
enti\`{e}rement d\'{e}termin\'{e}e par ses deux premiers termes $u_{0}$ et $%
u_{1}.$

Exemple : la suite de Fibonacci.

\bigskip

REM : il n'y a aucun espoir d'arriver \`{a} calculer le terme g\'{e}n\'{e}%
ral en it\'{e}rant la relation de r\'{e}currence ci-dessus.

\bigskip

Une m\'{e}thode pour calculer le terme g\'{e}n\'{e}ral (ce qu'on appelle :
\textquotedblright r\'{e}soudre la r\'{e}currence\textquotedblright ),
consiste \`{a} consid\'{e}rer l'ensemble de toutes les suites v\'{e}rifiant
la relation de r\'{e}currence : 
\begin{equation*}
\fbox{$(1)\;:\forall n\;\;u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}$}
\end{equation*}%
pour $a$ et $b$ fix\'{e}s, et de remarquer que :

\bigskip\ Lemme 1 : si deux suites $\left( u_{n}\right) $ et $\left(
v_{n}\right) $ v\'{e}rifient (1) alors toutes les suites du type $(\lambda
u_{n}+\mu v_{n})$ avec $\lambda ,\mu \in \mathbb{C}$ v\'{e}rifient aussi (1).

D11

\bigskip

\bigskip Lemme 2 : une suite g\'{e}om\'{e}trique du type $\left(
k^{n}\right) $ v\'{e}rifie (1) ssi 
\begin{equation*}
\fbox{E$_{\text{car}}:k^{2}=ak+b$ (\'{e}quation caract\'{e}ristique de la r%
\'{e}currence)}
\end{equation*}

D12

\bigskip

\bigskip On d\'{e}montre alors le :

TH\'{E}OR\`{E}ME 1 (cas complexe) :

1) Si E$_{\text{car}}$ poss\`{e}de deux solutions distinctes $k_{1}$ et $%
k_{2}\in \mathbb{C},$ les suites complexes v\'{e}rifiant (1) sont du type 
\begin{equation*}
\left( \lambda k_{1}^{n}+\mu k_{2}^{n}\right)
\end{equation*}

avec $\lambda ,\mu \in \mathbb{C}.$

2) Si E$_{\text{car}}$ poss\`{e}de une solution unique $k$ $\neq 0\in 
\mathbb{C},$ les suites complexes v\'{e}rifiant (1) sont du type 
\begin{equation*}
\left( (\lambda n+\mu )k^{n}\right)
\end{equation*}

avec $\lambda ,\mu \in \mathbb{C}.$

D13

\bigskip

Exemples E10 : calculs du terme g\'{e}n\'{e}ral de la suite de Fibonacci, de
la suite $\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{0}=0,u_{1}=1 \\ 
u_{n}=4\left( u_{n-1}-u_{n-2}\right)%
\end{array}%
\right. ,$ de la suite $\left\{ 
\begin{array}{l}
v_{0}=0,v_{1}=1 \\ 
v_{n}=-v_{n-1}-v_{n-2}%
\end{array}%
\right. .$

\bigskip

\bigskip TH\'{E}OR\`{E}ME 2(cas o\`{u} $a$ et $b$ sont r\'{e}els) :

1) Si E$_{\text{car}}$ poss\`{e}de deux solutions distinctes $k_{1}$ et $%
k_{2}\in \mathbb{R},$ les suites r\'{e}elles v\'{e}rifiant (1) sont du type 
\begin{equation*}
\left( \lambda k_{1}^{n}+\mu k_{2}^{n}\right)
\end{equation*}

avec $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}.$

2) Si E$_{\text{car}}$ poss\`{e}de une solution unique $k\neq 0$ $\in 
\mathbb{R},$ les suites r\'{e}elles v\'{e}rifiant (1) sont du type 
\begin{equation*}
\left( (\lambda n+\mu )k^{n}\right)
\end{equation*}

avec $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}.$

3) Si E$_{\text{car}}$ poss\`{e}de deux solutions distinctes non r\'{e}elles
conjugu\'{e}es $k=\rho e^{i\theta }$ et $\overline{k},$ les suites r\'{e}%
elles v\'{e}rifiant (1) sont du type 
\begin{equation*}
\left( \rho ^{n}\left( \lambda \cos \left( n\theta \right) +\mu \sin \left(
n\theta \right) \right) \right)
\end{equation*}

avec $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}.$

D14

Dans tous les cas, les coefficients $\lambda $ et $\mu $ sont \`{a} d\'{e}%
terminer \`{a} partir des 2 premiers termes de la suite.

\bigskip \newpage

B) \'{E}TUDE ASYMPTOTIQUE DES SUITES NUM\'{E}RIQUES.

\bigskip

Dans ce chapitre, $n,n_{0},n_{1}$ d\'{e}signeront toujours des entiers
naturels, et $\varepsilon $ et $A$ des r\'{e}els.

I) CONVERGENCE VERS 0.

\bigskip

On rappelle qu'une propri\'{e}t\'{e} $P(n)$ d\'{e}pendant d'un entier $n$
est vraie \textquotedblright \`{a} partir d'un certain
rang\textquotedblright\ (APCR) si 
\begin{equation*}
\exists n_{1}\;/\;\forall n\geqslant n_{1}\;P(n)
\end{equation*}

et que la n\'{e}gation de cet \'{e}nonc\'{e}, s'\'{e}crit en langage formalis%
\'{e}%
\begin{equation*}
.............................
\end{equation*}

Et se dit en fran\c{c}ais :
...........................................................................................................................................................................................

\bigskip

DEF : une suite complexe $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$\textit{\
converge vers} 0 (ou \textquotedblright est de limite
nulle\textquotedblright ) si le module de $u_{n}$ peut \^{e}tre rendu, \`{a}
partir d'un certain rang, plus petit que tout r\'{e}el strictement positif
donn\'{e} \`{a} l'avance, autrement dit, si 
\begin{equation*}
\fbox{$\forall \varepsilon >0\;\;\exists n_{1}\geqslant n_{0}\;/\;\forall
n\geqslant n_{1}\;\;\;\left\vert u_{n}\right\vert \leqslant \varepsilon $}
\end{equation*}

ou encore : 
\begin{equation*}
\fbox{$\forall \varepsilon >0\;\;\left\vert u_{n}\right\vert $ $\leqslant $ $%
\varepsilon $ APCR}
\end{equation*}

\bigskip Notations : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=0,$ ou $%
\lim \left( u_{n}\right) =0,$ ou $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }0.$

\bigskip

REM 1 : il faut lire cette d\'{e}finition sous la forme : pour tout epsilon $%
>0$, aussi petit soit-il, on pourra toujours trouver un rang \`{a} partir
duquel la suite est major\'{e}e par epsilon en valeur absolue. Cette
tradition de nommer epsilon un nombre \textquotedblright
petit\textquotedblright\ remonte \`{a} Cauchy (1821).

\bigskip

REM 2 : dans la d\'{e}finition ci-dessus, le nombre $n_{1}$ d\'{e}pend de $%
\varepsilon $ ; que signifierait en effet pour la suite $\left( u_{n}\right) 
$ la d\'{e}finition : 
\begin{equation*}
\fbox{$\exists n_{1}\geqslant n_{0}\;\;/\;\;\forall \varepsilon >0\;\forall
n\geqslant n_{1}\;\;\;\left\vert u_{n}\right\vert \leqslant \varepsilon $}%
?????
\end{equation*}

REM 3 : si on modifie un nombre fini de termes de la suite, cela ne changera
pas le fait qu'elle converge vers 0 ou non.

\bigskip

REM\ 4 : $\lim \left( u_{n}\right) =0$ \'{e}quivaut \`{a} $\lim \left(
\left\vert u_{n}\right\vert \right) =0.$

\bigskip Exemples : E1 : $\left( 1/n\right) ,\left( 1/(n^{2}\right) ,\left(
1/\left( n^{2}+n\right) \right) ,\left( 2^{-n}\right) .$

PROP 1 (th\'{e}or\`{e}me d'encadrement, ou ''des gendarmes'' en 0 pour les
suites r\'{e}elles ) : une suite encadr\'{e}e par deux suites convergeant
vers 0 converge elle-m\^{e}me vers 0 , autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H)$\left\{ 
\begin{array}{c}
v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant w_{n}\;\text{APCR} \\ 
\lim \left( v_{n}\right) =\lim \left( w_{n}\right) =0%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}\right) =0$}}
\end{equation*}

CORO : une suite complexe dont le module est major\'{e} par une suite
convergeant vers 0, converge elle-m\^{e}me vers 0, autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H)$\left\{ 
\begin{array}{l}
\left| u_{n}\right| \leqslant v_{n}\;\text{APCR} \\ 
\lim \left( v_{n}\right) =0%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}\right) =0$}}
\end{equation*}

D1

\bigskip PROP 2 (th\'{e}or\`{e}me de limite de somme pour les suites
complexes de limite nulle) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\lim \left( u_{n}\right) =\lim \left( v_{n}\right)
=0 $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}+v_{n}\right) =0$}}
\end{equation*}

D2

\bigskip PROP 3 : une suite complexe converge vers 0 ssi ses partie r\'{e}%
elle et imaginaire convergent vers 0.

D3

\bigskip

PROP 4 : (th\'{e}or\`{e}me de produit d'une suite complexe de limite nulle
et d'une suite born\'{e}e) : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\lim \left( u_{n}\right) =0 \\ 
\left( v_{n}\right) \text{ est born\'{e}e}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}v_{n}\right) =0$}}
\end{equation*}

D4

\bigskip

CORO : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\lim u_{n}=0$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $%
\forall \lambda \in \mathbb{C}\;\;\lim \left( \lambda u_{n}\right) =0$}}
\end{equation*}

II) CONVERGENCE VERS UN COMPLEXE QUELCONQUE.

\bigskip

1) D\'{e}finition et propri\'{e}t\'{e}s fondamentales.

DEF : soit $l$ un complexe ; on dit qu'une suite complexe $\left(
u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$\textit{\ converge vers }$l$ (ou
\textquotedblright est de limite $l$\textquotedblright $)$\textit{\ }si la
suite $\left( u_{n}-l\right) $ converge vers 0 , autrement dit, si 
\begin{equation*}
\fbox{$\forall \varepsilon >0\;\;\exists n_{1}\geqslant n_{0}\;/\;\forall
n\geqslant n_{1}\;\;\;\left\vert u_{n}-l\right\vert \leqslant \varepsilon $}
\end{equation*}

\bigskip Notations : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=l,$ ou $%
\lim \left( u_{n}\right) =l,$ ou $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }l.$

Une suite est dite \textit{convergente} si elle poss\`{e}de une limite
complexe, autrement dit si 
\begin{equation*}
\fbox{$\exists l\in \mathbb{C\;\;}\forall \varepsilon >0\;\;\exists
n_{1}\geqslant n_{0}\;/\;\forall n\geqslant n_{1}\;\;\;\left\vert
u_{n}-l\right\vert \leqslant \varepsilon $}
\end{equation*}

Une suite non convergente est dite \textit{divergente}.

\bigskip REM : lorsqu'on vous demandera d'\'{e}tudier la ''nature'' d'une
suite, vous devrez chercher \`{a} savoir si elle est convergente ou
divergente.

PROP 5 (th\'{e}or\`{e}me d'unicit\'{e} de la limite finie) :

\bigskip Si une suite converge vers $l_{1}$ et vers $l_{2}$ alors $%
l_{1}=l_{2}.$

\bigskip D5

REM\ : cette propri\'{e}t\'{e} justifie la notation fonctionnelle : $%
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}.$

\bigskip

\bigskip PROP 6 : Une suite complexe est convergente ssi ses partie r\'{e}%
elle et imaginaire le sont, et 
\begin{equation*}
\lim \left( \func{Re}u_{n}\right) =\func{Re}\left( \lim \left( u_{n}\right)
\right) ,\lim \left( \func{Im}u_{n}\right) =\func{Im}\left( \lim \left(
u_{n}\right) \right)
\end{equation*}

CORO : une suite convergente r\'{e}elle a une limite r\'{e}elle.

D6

PROP 7 (th\'{e}or\`{e}me d'encadrement, ou ''des gendarmes'' pour les suites
r\'{e}elles ) : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H)$\left\{ 
\begin{array}{l}
v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant w_{n}\;\text{APCR} \\ 
\lim \left( v_{n}\right) =\lim \left( w_{n}\right) =l\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}\right) =l$}}
\end{equation*}

D7

\bigskip

PROP 8 (th\'{e}or\`{e}me de limite de somme pour les suites complexes) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\lim \left( u_{n}\right) =l_{1}\in \mathbb{C} \\ 
\lim \left( v_{n}\right) =l_{2}\in \mathbb{C}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}+v_{n}\right)
=l_{1}+l_{2}$}}
\end{equation*}

D8

\bigskip

PROP 9 : une suite convergente est born\'{e}e.

D9

\bigskip

PROP 10 : (th\'{e}or\`{e}me de limite de produit pour les suites complexes) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\lim \left( u_{n}\right) =l_{1}\in \mathbb{C} \\ 
\lim \left( v_{n}\right) =l_{2}\in \mathbb{C}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( u_{n}v_{n}\right)
=l_{1}l_{2}$}}
\end{equation*}

D10

\bigskip CORO : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\lim u_{n}=l\in \mathbb{C}$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{%
(C) : $\forall \lambda \in \mathbb{C}\;\;\lim \left( \lambda u_{n}\right)
=\lambda l$}}
\end{equation*}

PROP 11 : (th\'{e}or\`{e}me de limite de l'inverse d'une suite complexe de
limite non nulle) :\ 

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\lim u_{n}=l\neq 0\in \mathbb{C}$}\;\;\text{alors 
\fbox{(C) : $\left\{ 
\begin{array}{l}
1.\;\left| u_{n}\right| \text{ est, APCR, minor\'{e} par un r\'{e}el
strictement positif} \\ 
\text{(donc il existe }n_{1}\;\text{tel que }\left( \dfrac{1}{u_{n}}\right)
_{n\geqslant n_{1}}\text{ est bien d\'{e}finie)} \\ 
2.\;\;\lim \left( \dfrac{1}{u_{n}}\right) =\dfrac{1}{l}%
\end{array}
\right. $}\ }
\end{equation*}

D11

\bigskip

CORO (de PROP 10 et 11) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
\lim \left( u_{n}\right) =l_{1}\in \mathbb{C} \\ 
\lim \left( v_{n}\right) =l_{2}\neq 0\in \mathbb{C}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim \left( \dfrac{u_{n}}{v_{n}}%
\right) =\dfrac{l_{1}}{l_{2}}$}}
\end{equation*}

D12

\bigskip

ATTENTION, ON NE\ PEUT DONC \'{E}CRIRE : 
\begin{equation*}
\fbox{$\lim \left( u_{n}+v_{n}\right) =\lim u_{n}+\lim v_{n}$ ; $\lim \left(
u_{n}v_{n}\right) =\lim u_{n}\lim v_{n}$ ; $\lim \left( \dfrac{u_{n}}{v_{n}}%
\right) =\dfrac{\lim u_{n}}{\lim v_{n}}$}
\end{equation*}

QUE SI\ ON SAIT D\'{E}J\`{A} QUE $\left( u_{n}\right) $ et $\left(
v_{n}\right) $ SONT CONVERGENTES.

\bigskip

PROP 12 (th\'{e}or\`{e}me de conservation des in\'{e}galit\'{e}s LARGES par
passage \`{a} la limite finie, pour les suites r\'{e}elles)

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{n}\leqslant v_{n}\;\text{APCR} \\ 
\lim \left( u_{n}\right) =l_{1}\in \mathbb{R}\text{ ; }\lim \left(
v_{n}\right) =l_{2}\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $l_{1}\leqslant l_{2}$}}
\end{equation*}

D13

\bigskip

REM : Ce th\'{e}or\`{e}me n'est pas \`{a} confondre avec celui des gendarmes
; sa conclusion est une in\'{e}galit\'{e} alors que pour celui des
gendarmes, c'est une convergence. Il ne faut pas non plus le confondre avec
le th\'{e}or\`{e}me FAUX que les \'{e}l\`{e}ves adorent :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;u_{n}\leqslant v_{n}\;$APCR}\;\;\text{alors\ \ \fbox{%
(C) : $\lim u_{n}\leqslant \lim v_{n}$}}
\end{equation*}

En effet, une suite n'a pas forc\'{e}ment de limite (voir plus loin).

\bigskip

2) Sous-suites.

\bigskip

DEF : une suite $\left( v_{n}\right) _{n\geqslant n_{1}}$ est une \textit{%
sous-suite} (ou \textit{suite extraite}) d'une suite $\left( u_{n}\right)
_{n\geqslant n_{0}}$ s'il existe une application $\varphi $ strictement
croissante de $\left[ \left| n_{1},+\infty \right| \right[ $ dans $\left[
\left| n_{0},+\infty \right| \right[ $ telle que $\forall n\geqslant
n_{1}\;\;\;v_{n}=u_{\varphi (n)}.$

Autrement dit, une sous-suite est obtenue en supprimant des termes dans la
suite de sorte qu'il en reste encore une infinit\'{e}, et en renum\'{e}%
rotant les termes restants \`{a} partir de $n_{1}.$

Exemples classiques de sous-suites de $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant
n_{0}}:$

\qquad - la sous-suite des termes de rang pair : $\left( u_{2n}\right)
_{n\geqslant \overline{E}(n_{0}/2)}.$

\qquad - la sous-suite des termes de rang impair : $\left( u_{2n+1}\right)
_{n\geqslant \overline{E}((n_{0}-1)/2)}.$

\qquad - la suite tronqu\'{e}e de ses $p$ premiers termes : $\left(
u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}+p}$

\qquad - la m\^{e}me, translat\'{e}e de fa\c{c}on \`{a} commencer au rang 0
: $\left( u_{n+p+n_{0}}\right) _{n\geqslant 0}$

\bigskip

TH : toute sous-suite d'une suite convergente est convergente, de m\^{e}me
limite.

D14

\bigskip

CORO : une suite poss\'{e}dant deux sous-suites convergeant vers des limites
diff\'{e}rentes est divergente.

\bigskip

Exemple : E2

\bigskip

III) SUITES AYANT UNE LIMITE INFINIE.

\bigskip Ce paragraphe ne concerne que les suites r\'{e}elles.

\bigskip DEF : une suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ tend vers 
$\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}%
\right. $ si 
\begin{equation*}
\fbox{$\forall A>0\;\;\exists n_{1}\geqslant n_{0}\;/\;\forall n\geqslant
n_{1}\;\;\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{n}\geqslant A \\ 
u_{n}\leqslant -A%
\end{array}%
\right. $}
\end{equation*}

\bigskip Notations : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}
\right. ,$ ou $\lim \left( u_{n}\right) =\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}
\right. ,$ ou $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}
\right. .$

REM : $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=-\infty \Leftrightarrow 
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }-u_{n}=+\infty .$

PROP 13 : une suite de limite $\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}
\right. $ est $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{non major\'{e}e (i.e. }\underset{n\geqslant n_{0}}{\sup }u_{n}=+\infty
) \\ 
\text{non minor\'{e}e (i.e. }\underset{n\geqslant n_{0}}{\inf }u_{n}=-\infty
)%
\end{array}
\right. ,$ mais la r\'{e}ciproque est fausse.

D14 bis

\bigskip

Une suite de limite infinie est donc divergente ; on dit par cons\'{e}quent
: ''diverger vers $+\infty $''.

Une suite de limite infinie est dite ''divergente de premi\`{e}re esp\`{e}%
ce'' ; les autres suites divergentes sont dites ''divergentes de deuxi\`{e}%
me esp\`{e}ce''.

\bigskip

PROP 14 (th\'{e}or\`{e}me \textit{du} gendarme pour une suite de limite
infinie) :

Une suite r\'{e}elle $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{minor\'{e}e} \\ 
\text{major\'{e}e}%
\end{array}
\right. $ APCR par une suite de limite $\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}
\right. $ est elle-m\^{e}me de limite $\left\{ 
\begin{array}{c}
+\infty \\ 
-\infty%
\end{array}
\right. .$

D15

\bigskip

PROP 15 (limite infinie d'une somme ou d'un produit de suites r\'{e}elles) : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
si $u_{n}$ & et si $\left( v_{n}\right) $ & alors $u_{n}+v_{n}$ & alors $%
u_{n}v_{n}$ \\ \hline
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }+\infty $ & est minor\'{e}e & 
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }+\infty $ & ??? \\ \hline
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }+\infty $ & est minor\'{e}e
par un r\'{e}el \TEXTsymbol{>} 0 APCR & $\underset{n\rightarrow +\infty }{%
\rightarrow }+\infty $ & $\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }%
+\infty $ \\ \hline
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }-\infty $ & est major\'{e}e & 
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }-\infty $ & ??? \\ \hline
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }-\infty $ & est minor\'{e}e
par un r\'{e}el \TEXTsymbol{>} 0 APCR & $???$ & $\underset{n\rightarrow
+\infty }{\rightarrow }-\infty $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D16

\bigskip

REM : la condition \textquotedblright $(v_{n})$ minor\'{e}%
e\textquotedblright\ est r\'{e}alis\'{e}e d\`{e}s qu'elle poss\`{e}de une
limite $\in \left] -\infty ,+\infty \right] ,$ et la condition
\textquotedblright $(v_{n})$ minor\'{e}e par un r\'{e}el $>0$
APCR\textquotedblright\ est r\'{e}alis\'{e}e d\`{e}s qu'elle poss\`{e}de une
limite $\in \left] 0,+\infty \right] .$

\bigskip

PROP 16 (limite de l'inverse) : si $u_{n}$ est $\neq 0$ APCR, alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=0\Leftrightarrow \underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{1}{\left| u_{n}\right| }=+\infty $ \\ 
\hline
$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=+\infty \Leftrightarrow
u_{n}>0 $ APCR et $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\dfrac{1}{u_{n}}=0$
\\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D17

\bigskip

\bigskip

PROP 17 (th\'{e}or\`{e}me des limites des sous-suites) :

Toute sous-suite d'une suite r\'{e}elle ayant une limite dans $\overline{%
\mathbb{R}},$ a la m\^{e}me limite.

D18

\bigskip

Une suite ayant deux sous-suites ayant des limites distinctes est donc
divergente de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce.

REM (hors programme) : une limite d'une sous-suite s'appelle une
\textquotedblright valeur d'adh\'{e}rence\textquotedblright\ de la suite.

\bigskip

PROP 18 (image d'une suite convergente par une fonction continue)

Si $\left( u_{n}\right) $ est une suite convergeant vers $l,$ et $f$ une
fonction continue en $l$, alors $\left( f\left( u_{n}\right) \right) $
converge vers $f\left( l\right) $.

Application : si $\left( u_{n}\right) $ est une suite r\'{e}currente associ%
\'{e}e \`{a} une fonction $f$, si $\left( u_{n}\right) $ converge vers $l,$
et $f$ est continue en $l$ , alors $f\left( l\right) =l$ (i.e. $l$ est un
point fixe de $l).$

D18 bis\bigskip

\bigskip Exemple E3 : d\'{e}termination de la nature de la suite $\left(
a^{n}\right) $ suivant les valeurs de $a\in \mathbb{C}.$

IV) SUITES MONOTONES, SUITES ADJACENTES.

\bigskip 1) Suites monotones.

TH (de la limite monotone pour les suites) : toute suite monotone APCR poss%
\`{e}de une limite, finie ou infinie ; plus pr\'{e}cis\'{e}ment : 
\begin{eqnarray*}
&&\text{une suite croissante APCR major\'{e}e est convergente.} \\
&&\text{une suite croissante APCR non major\'{e}e tend vers }+\infty \text{.}
\\
&&\text{une suite d\'{e}croissante APCR minor\'{e}e est convergente.} \\
&&\text{une suite d\'{e}croissante APCR non minor\'{e}e tend vers }-\infty .
\end{eqnarray*}

De plus, si $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{1}}$ est croissante $%
\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}$ =\ $\underset{n\geqslant n_{1}}%
{\text{sup}}u_{n},$ et si $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{1}}$ est d%
\'{e}croissante $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}$ =\ $\underset{%
n\geqslant n_{1}}{\text{inf}}u_{n}.$

D19

\bigskip Exemples E4:

\qquad - une suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant n_{0}}$ avec $u_{n}=%
\underset{k=n_{0}}{\overset{n}{\sum }}v_{k},$ et $v_{k}\geqslant 0$ pour $%
k\geqslant n_{0},$ poss\`{e}de toujours une limite $\in \left[
v_{n_{0}},+\infty \right] .$

\qquad - Les s\'{e}ries g\'{e}om\'{e}triques $\underset{k=0}{\overset{n}{%
\sum }}\dfrac{1}{x^{k}}$ ($x>0)$ sont convergentes de
limite................... pour $x>1,$ et divergentes pour $0<x\leqslant 1.$

\qquad - la s\'{e}rie \textit{harmonique} $\left( h_{n}\right) $ avec $h_{n}=%
\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k}$ est divergente

D\'{e}monstration 1 (Nicole Oresme, 1350) : utilisant le fait que 
\begin{equation*}
h_{2n}\geqslant h_{n}+1/2
\end{equation*}

\bigskip

D\'{e}monstration 2 : utilisant l'encadrement 
\begin{equation*}
\ln n\leqslant h_{n}\leqslant \ln n+1
\end{equation*}

\qquad - la suite $\left( d_{n}\right) $ avec $d_{n}=h_{n}-\ln n$

\bigskip

On en d\'{e}duit le d\'{e}veloppement : \fbox{$h_{n}=\ln n+\gamma +\underset{%
\rightarrow 0}{\varepsilon _{n}}$} o\`{u} $\gamma =\lim d_{n}="$constante
d'Euler\textquotedblright\ $\simeq 0,577.$

\bigskip

\qquad - la s\'{e}rie \textit{quadratique} $\left( q_{n}\right) $ avec $%
q_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k^{2}}$ est convergente,
de limite $\leqslant 2$ (on d\'{e}montrera que cette limite est $\pi
^{2}/6). $

\qquad - on en d\'{e}duit que la s\'{e}rie de Riemann $\left( s_{n}\right) $
avec $s_{n}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k^{\alpha }}$ est
divergente si $\alpha \leqslant 1$ et convergente si $\alpha \geqslant 2.$

\bigskip

2) Suites adjacentes.

\bigskip

DEF : on dit que deux suites r\'{e}elles $\left( u_{n}\right) $ et $\left(
v_{n}\right) $ sont \textit{semi-adjacentes} si 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{l}
$1.\text{ }\left( u_{n}\right) \text{ est croissante APCR et }\left(
v_{n}\right) \text{ d\'{e}croissante APCR.}$ \\ 
$2.\ u_{n}\leqslant v_{n}\ \ \ $APCR%
\end{tabular}%
\end{equation*}

Et elles sont dites \textit{adjacentes} si de plus%
\begin{equation*}
3.\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\left( v_{n}-u_{n}\right) =0
\end{equation*}

\bigskip

ATTENTION : NE PAS FAIRE L'ERREUR DE REMPLACER 3. PAR\ LA\ D\'{E}FINITION\ 
{\Large ne pr\'{e}sentant aucun int\'{e}ret} :

\begin{equation*}
2^{\prime }:\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}=\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\lim }v_{n}
\end{equation*}

\bigskip REM : pour d\'{e}montrer que deux suites sont adjacentes, il suffit
de d\'{e}montrer 1. et 3., car 1. et 3. impliquent 2.

\bigskip

TH des suites adjacentes : deux suites semi-adjacentes sont convergentes ;
de plus, si $\lim u_{n}=l_{1}$ , $\lim v_{n}=l_{2},$ on a \`{a} partir du
rang o\`{u} les deux suites sont monotones : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}\leqslant l_{1}\leqslant l_{2}\leqslant v_{n}$}
\end{equation*}

Si les suites sont adjacentes, $l_{1}=l_{2}.$

D20

L'int\'{e}r\^{e}t des suites adjacentes est donc double :

\qquad \qquad 1 : prouver une convergence.

\qquad \qquad 2 : obtenir un encadrement de la limite.

\bigskip

Exemple E5 :

Les suites $\left( e_{n}\right) $ et $\left( e_{n}^{\prime }\right)
_{n\geqslant 1}$ avec $e_{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{1}{k!}$
et $e_{n}^{\prime }=e_{n}+\dfrac{1}{n.n!}.$

On d\'{e}montrera ult\'{e}rieurement que la limite commune est le nombre $%
e=\exp \left( 1\right) $ ; ceci permet donc d'obtenir une valeur approch\'{e}%
e de $e$ avec la pr\'{e}cision que l'on veut.

\bigskip

Pour calculer $e_{n}$ il est beaucoup plus rapide de le mettre sous la forme
de Horner : 
\begin{equation*}
e_{n}=2+\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{1}{3}\left( 1+\dfrac{1}{4}\left( 1+...%
\dfrac{1}{n-1}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ...\right) \right) \right)
\end{equation*}

En effet, il y a juste \`{a} effectuer $n$ additions et $n$ divisions par
des nombres plus petits que $n$.

\bigskip

On peut aussi en d\'{e}duire le :

TH : le nombre $e$ est irrationnel.

D21

\bigskip

Le th\'{e}or\`{e}me des suites adjacentes permet aussi de d\'{e}montrer deux
th\'{e}or\`{e}mes importants :

\bigskip

TH (de Bolzano-Weierstrass pour les suites r\'{e}elles) :

De toute suite r\'{e}elle born\'{e}e, on peut toujours extraire une
sous-suite convergente.

D22

\bigskip

TH (Cantor 1874) : si $A$ est une partie d\'{e}nombrable de $\mathbb{R}$, on
peut toujours trouver entre deux r\'{e}els distincts un \'{e}l\'{e}ment qui
n'appartient pas \`{a} $A.$ On en d\'{e}duit que $\mathbb{R}$ n'est pas d%
\'{e}nombrable.

D23

\bigskip

V) COMPARAISON DES SUITES \`{A} L'INFINI.

\qquad 1) Suite n\'{e}gligeable devant une autre.

\bigskip

\qquad a) D\'{e}finitions.

DEF : soient $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ deux suites
complexes ; on dit que $\left( u_{n}\right) $ est \textit{n\'{e}gligeable}
devant $\left( v_{n}\right) $, ou que $\left( v_{n}\right) $ l'\textit{%
emporte} sur $\left( u_{n}\right) ,$ s'il existe une suite $\left(
\varepsilon _{n}\right) $ , telle que, APCR, 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}=\;\varepsilon _{n}v_{n}$ avec $\lim \left( \varepsilon
_{n}\right) =0$}
\end{equation*}

\bigskip NOTATIONS :

\qquad -de Hardy, en \textquotedblright double inf\'{e}rieur%
\textquotedblright\ : $\left( u_{n}\right) \underset{+\infty }{\ll }\left(
v_{n}\right) $ ou $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }v_{n},$
simplifi\'{e}es en $\left( u_{n}\right) \ll \left( v_{n}\right) $ ou $%
u_{n}\ll v_{n}.$

MAIS NE PAS DIRE : $u_{n}$ est tr\`{e}s inf\'{e}rieur \`{a} $v_{n}.$

\qquad - de Landau : $u_{n}=o\left( v_{n}\right) ,$ \`{a} lire
\textquotedblright $u_{n}$ est un petit o de $v_{n}"$ et \`{a} comprendre
comme : \textquotedblright $u_{n}$ est l'un des petits o de $v_{n}",$
autrement dit que $\left( u_{n}\right) $ est l'une des suites n\'{e}%
gligeable devant $\left( v_{n}\right) $ (il n'y en pas qu'une !). Le o est
ici l'initiale du mot ordre.

\bigskip

REM : si $u_{n}$ et $v_{n}$ sont non nuls APCR, la d\'{e}finition s'\'{e}%
crit plus simplement sous la forme : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}\ll v_{n}\Leftrightarrow \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }0$, ou encore : $\left| \dfrac{v_{n}}{%
u_{n}}\right| \underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }+\infty $}
\end{equation*}

Exemples E6.

b) Propri\'{e}t\'{e}s de la relation de n\'{e}gligeabilit\'{e} :

\bigskip

P1 : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}\ll v_{n}\Leftrightarrow \left| u_{n}\right| \ll \left|
v_{n}\right| $\ }
\end{equation*}

d'o\`{u} : 
\begin{equation*}
\fbox{$o\left( u_{n}\right) =o\left( \left| u_{n}\right| \right) $}
\end{equation*}

D24

\bigskip

P2 : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}=o\left( 1\right) $\ (ou $u_{n}\ll 1$)$\Leftrightarrow \lim
u_{n}=0$}
\end{equation*}

D25

\bigskip

P3 : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{n}=v_{n}+o\left( v_{n}\right) \\ 
\lim v_{n}=l%
\end{array}
\right. \;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim u_{n}=l$}}
\end{equation*}

autrement dit 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{n}=v_{n}+w_{n}\text{ avec }w_{n}\ll v_{n} \\ 
\lim v_{n}=l%
\end{array}
\right. \;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim u_{n}=l$}}
\end{equation*}

\bigskip D26

P4 transitivit\'{e} : 
\begin{equation*}
\fbox{$o\left( o\left( u_{n}\right) \right) =o\left( u_{n}\right) $}\;
\end{equation*}

autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;w_{n}\ll v_{n}$ et $v_{n}\ll u_{n}$}\;\;\text{alors\
\ \fbox{(C) : $w_{n}\ll u_{n}$}}
\end{equation*}

Remarquer la concision de la notation de Landau !

D27

\bigskip

P5 : Comparaison entre $<$ et $\ll $ \ (suites r\'{e}elles)%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $u_{n}<v_{n}\;$APCR$\;\;\nRightarrow \;u_{n}\underset{n\rightarrow
+\infty }{\ll }v_{n}\;$ \\ \hline
2. $\;\;u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }v_{n}\nRightarrow
u_{n}<v_{n}\;$, m\^{e}me APCR$\;$ \\ \hline
3. \ Par contre : $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }%
v_{n}\;\Rightarrow \left\vert u_{n}\right\vert \leqslant \left\vert
v_{n}\right\vert $ \ APCR \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip D28

P6 : Multiplicativit\'{e} 1: 
\begin{equation*}
\fbox{$\lambda _{n}.o\left( u_{n}\right) =o\left( \lambda _{n}u_{n}\right) $}%
\;
\end{equation*}

autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;v_{n}\ll u_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $%
\lambda _{n}v_{n}\ll \lambda _{n}u_{n}$}}
\end{equation*}

P6' : Multiplicativit\'{e} 2: 
\begin{equation*}
\fbox{$o\left( \lambda _{n}u_{n}\right) =\lambda _{n}.o\left( u_{n}\right) $}%
\;
\end{equation*}

autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;v_{n}\ll \lambda _{n}u_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ 
\fbox{(C) : $v_{n}=\lambda _{n}w_{n}$ avec $w_{n}\ll u_{n}$}}
\end{equation*}

D29

\bigskip

P7 : compatibilit\'{e} avec la somme\bigskip\ : 
\begin{equation*}
\fbox{$o\left( u_{n}\right) +o\left( u_{n}\right) =o\left( u_{n}\right) $}\;
\end{equation*}

autrement dit : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;v_{n}$ et $w_{n}\ll u_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{%
(C) : $v_{n}+$ $w_{n}\ll u_{n}$}}
\end{equation*}

D30

\bigskip On en d\'{e}duit, que si dans une somme, un terme l'emporte sur les
autres, il l'emporte sur la somme des autres, et que donc , d'apr\`{e}s P3,
la limite de la somme est la limite de ce terme.

P8 : Si $\left( \lambda _{n}\right) $ est une suite born\'{e}e (en
particulier, constante), alors%
\begin{equation*}
\fbox{$\lambda _{n}o\left( u_{n}\right) =o\left( u_{n}\right) $ et $o\left(
\lambda _{n}u_{n}\right) =o\left( u_{n}\right) $}\;
\end{equation*}

autrement dit : 
\begin{eqnarray*}
&&\text{si }\fbox{(H) :$\;v_{n}$ $\ll u_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : 
$\lambda _{n}v_{n}\ll u_{n}$}} \\
&&\text{et si }\fbox{(H) :$\;v_{n}$ $\ll \lambda _{n}u_{n}$ }\;\;\text{%
alors\ \ \fbox{(C) : $v_{n}\ll u_{n}$}}
\end{eqnarray*}

On en d\'{e}duit le paradoxe : 
\begin{equation*}
\fbox{$o\left( u_{n}\right) -o\left( u_{n}\right) =o\left( u_{n}\right) $}%
\text{ et non 0 !!!!!!}
\end{equation*}

D31

\bigskip

P9 : 
\begin{eqnarray*}
\text{si }u_{n}\text{ et }v_{n}\text{ } &\neq &0\text{ APCR, alors }\fbox{$%
\;u_{n}$ $\ll v_{n}$ }\;\Leftrightarrow \text{\ \ \fbox{$\dfrac{1}{v_{n}}\ll 
\dfrac{1}{u_{n}}$}} \\
\text{si }u_{n}\text{ et }v_{n}\text{ } &>&0\text{ APCR, alors }\fbox{$%
\;u_{n}$ $\ll v_{n}$ }\;\Leftrightarrow \text{\ \ \fbox{$\left( u_{n}\right)
^{\alpha }\ll \left( v_{n}\right) ^{\alpha }$} si }\alpha >0
\end{eqnarray*}

D32

\bigskip

c) Exemples classiques \`{a} bien conna\^{\i}tre.

LEMME (r\`{e}gle de D'Alembert faible) : soit $\left( u_{n}\right) $ une
suite \`{a} termes $>0$ ; alors

si $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l>1,$ $\lim u_{n}=+\infty $ et on dit que la
croissance (ou la divergence) est \textit{exponentielle} (ou \textit{g\'{e}om%
\'{e}trique})

si $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=l<1,$ $\lim u_{n}=0$

si $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1,$ on ne peut rien dire.

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. si $\alpha <\beta \;\;\;\;$ $n^{\alpha }\underset{n\rightarrow +\infty }{%
\ll }n^{\beta },$ soit $\;n^{\alpha }=o\left( n^{\beta }\right) $ \\ \hline
2. si $\alpha >0\;\;\;\ln n\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }n^{\alpha }$%
\ \ soit $\ln n=o\left( n^{\alpha }\right) $ \\ \hline
2'. mieux : si $\beta >0\;\;\;\left( \ln n\right) ^{\alpha }\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\ll }n^{\beta }$\ \ soit $\left( \ln n\right)
^{\alpha }=o\left( n^{\beta }\right) $ ceci $\forall \alpha $ \\ \hline
2\textquotedblright . encore mieux : si $\alpha <\beta \;\;\;\;$ $n^{\alpha
}\left( \ln n\right) ^{\gamma }\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }%
n^{\beta }\left( \ln n\right) ^{\delta }$ ceci $\forall \gamma ,\delta $ \\ 
\hline
3. si $\left\vert b\right\vert >\left\vert a\right\vert >1$ $%
\;\;\;\;\;n^{\alpha }\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }a^{n}\ \ll b^{n}\
\ \ $ceci $\forall \alpha $ \\ \hline
4. $\;\;a^{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }n!\;$ ceci $\forall a$ \\ 
\hline
5. $\;\;n!\underset{n\rightarrow +\infty }{\ll }n^{n}\underset{n\rightarrow
+\infty }{\ll }\left( 2n\right) !$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D33

2) Suites \'{e}quivalentes.

\bigskip

\qquad a) D\'{e}finitions.

DEF : soient $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ deux suites
complexes ; on dit que $\left( u_{n}\right) $ est \textit{\'{e}quivalente 
\`{a}} $\left( v_{n}\right) $ (\`{a} l'infini), s'il existe une suite $%
\left( a_{n}\right) $ , telle que, APCR, 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}=\;a_{n}v_{n}$ , avec lim$\left( a_{n}\right) $=1}
\end{equation*}
NOTATION : $\left( u_{n}\right) \underset{+\infty }{\sim }\left(
v_{n}\right) $ ou $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }v_{n},$
simplifi\'{e}es en $\left( u_{n}\right) \sim \left( v_{n}\right) $ ou $%
u_{n}\sim \;v_{n}.$

\bigskip

REM1 : si $u_{n}$ et $v_{n}$ sont non nuls APCR, la d\'{e}finition s'\'{e}%
crit plus simplement sous la forme : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\underset{%
n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }1$}
\end{equation*}

REM 2 : on peut aussi \'{e}crire la d\'{e}finition sous les formes tr\`{e}s
utiles :

\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}\sim v_{n}\Leftrightarrow \;\;\fbox{$u_{n}=\left( 1+o\left(
1\right) \right) v_{n}$}\Leftrightarrow \;\;\fbox{$u_{n}=v_{n}+o\left(
v_{n}\right) $}\Leftrightarrow \;$\fbox{$\;u_{n}-v_{n}=o\left( v_{n}\right) $%
}}
\end{equation*}

Exemples E7.

\bigskip

\qquad b) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip

P10 : la relation d'\'{e}quivalence des suites est r\'{e}flexive, sym\'{e}%
trique, et transitive (c'est donc une relation ... d'\'{e}quivalence (!)).

D34

\bigskip

On en d\'{e}duit : $\;u_{n}-v_{n}=o\left( v_{n}\right) \Leftrightarrow
u_{n}-v_{n}=o\left( u_{n}\right) $ : deux suites sont \'{e}quivalentes si
leur diff\'{e}rence est n\'{e}gligeable devant l'une d'entre-elles.

\bigskip

P11 : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
si $l\neq 0,$ $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }l\Leftrightarrow
u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\rightarrow }l$ \\ \hline
par contre, $u_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }0\Leftrightarrow
u_{n}=0\;$APCR \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D35

\bigskip

P12 : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{n}\sim v_{n} \\ 
\lim v_{n}=l%
\end{array}
\right. \;$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\lim u_{n}=l$}}
\end{equation*}

REM : ceci est exactement la propri\'{e}t\'{e} P3 !!!!!

\bigskip

NE PAS \'{E}CRIRE DES INSANIT\'{E}S DU STYLE\ : $\lim u_{n}\sim \lim v_{n}.$

\bigskip

P13 : Multiplicativit\'{e} 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;u_{n}\sim v_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $%
\lambda _{n}u_{n}\sim \lambda _{n}v_{n}$}}
\end{equation*}

d'o\`{u} 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{n}\sim u_{n}^{\prime } \\ 
v_{n}\sim v_{n}^{\prime }%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $u_{n}v_{n}\sim u_{n}^{\prime
}v_{n}^{\prime }$}}
\end{equation*}

D36

\bigskip

P14 : 
\begin{eqnarray*}
\text{si }\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{n}\text{ et }v_{n}\text{ }\neq 0\text{ APCR et }\alpha \in \mathbb{Z} \\ 
\text{ou }u_{n}\text{ et }v_{n}\text{ }>0\text{ APCR et }\alpha \in \mathbb{R%
}%
\end{array}
\right. \text{ alors }\fbox{$\;u_{n}$ $\sim v_{n}$ }\; &\Leftrightarrow &%
\text{\ \ \fbox{$\left( u_{n}\right) ^{\alpha }\sim \left( v_{n}\right)
^{\alpha }$}} \\
&\Leftrightarrow &\text{en particulier : \fbox{$\dfrac{1}{u_{n}}\sim \dfrac{1%
}{v_{n}}$}}
\end{eqnarray*}

ATTENTION\ : ici $\alpha $ ne D\'{E}PEND PAS de $n$ !!!!!

D37

\bigskip

PAR CONTRE LES TENTATIONS SUIVANTES SONT {\LARGE FAUSSES} EN G\'{E}N\'{E}RAL
:

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;u_{n}\sim v_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{$f\left(
u_{n}\right) \sim f\left( v_{n}\right) $}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;u_{n}\sim u_{n}^{\prime }$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{%
$u_{n}+v_{n}\sim u_{n}^{\prime }+v_{n}$}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;u_{n}\sim v_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{$%
u_{n}-v_{n}\rightarrow 0$}}
\end{equation*}

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;u_{n}-v_{n}\rightarrow 0$ }\;\;\text{alors\ \ \fbox{$%
u_{n}\sim v_{n}$}}
\end{equation*}

D38

\bigskip QUE FAIRE EN FACE D'UNE SOMME ?

\begin{eqnarray*}
\text{si }\fbox{$\;u_{n}<<v_{n}$ }\;\;\text{alors\ \ }\left(
u_{n}+v_{n}\right) &\sim &v_{n} \\
&&\text{Autrement dit si l'une l'emporte sur l'autre; l'\'{e}quivalent c'est
celui qui l'emporte}
\end{eqnarray*}%
\begin{eqnarray*}
\text{si }\fbox{$\;u_{n}\sim \lambda a_{n}$ et $v_{n}\sim \mu a_{n}$ }\;\;%
\text{alors\ \ }\left( u_{n}+v_{n}\right) &\sim &\left( \lambda +\mu \right)
a_{n}\text{ SAUF SI }\lambda +\mu =0 \\
&&\text{dans ce dernier cas il faut d\'{e}velopper }u_{n}\text{ et }v_{n}%
\text{ avec au moins deux termes.}
\end{eqnarray*}

P15 (th\'{e}or\`{e}me des gendarmes pour les \'{e}quivalents, cas des suites
r\'{e}elles) : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H)$\left\{ 
\begin{array}{l}
v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant w_{n}\;\text{APCR} \\ 
v_{n}\sim a_{n}\text{ et }w_{n}\sim a_{n}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $u_{n}\sim a_{n}$}}
\end{equation*}

D39

Application : $h_{n}\sim \ln n.$

\bigskip

P16 (remplacement dans un petit o d'une suite par une suite \'{e}quivalente)

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) $u_{n}\sim v_{n}\text{ }$}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : 
$o\left( u_{n}\right) =o\left( v_{n}\right) $}}
\end{equation*}

\bigskip D40

\qquad c) \'{E}quivalents classiques.

\bigskip

\qquad - un polyn\^{o}me en $n$ est \'{e}quivalent \`{a} son mon\^{o}me de
plus haut degr\'{e} : 
\begin{equation*}
\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}a_{k}n^{k}\sim a_{p}n^{p}\text{ si }%
a_{p}\neq 0
\end{equation*}

\qquad - plus g\'{e}n\'{e}ralement :

\begin{equation*}
\underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}a_{k}n^{\alpha _{k}}\left( \ln n\right)
^{\beta _{k}}\sim \fbox{$a_{p}n^{\alpha _{p}}\left( \ln n\right) ^{\beta
_{p}}$}\text{ si }\alpha _{1}<\alpha _{2}<...<\alpha _{p}\text{ et }%
a_{p}\neq 0
\end{equation*}

D41

Exemples E8 : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$1+2+...+n\sim \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ \\ \hline
$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}\sim $ \\ \hline
$\left( _{p}^{n}\right) \underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$(avec $p$ fix\'{e}) \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\qquad - si $\lim \varepsilon _{n}=0$%
\begin{equation*}
\sin \varepsilon _{n}\sim \tan \varepsilon _{n}\sim \ln \left( 1+\varepsilon
_{n}\right) \sim e^{\varepsilon _{n}}-1\sim \text{sh }\varepsilon _{n}\sim 
\fbox{$\varepsilon _{n}$}
\end{equation*}

D42

\bigskip

\qquad - la formule de Stirling (\`{a} conna\^{\i}tre, d\'{e}monstration
hors programme): 
\begin{equation*}
n!\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }\left( \dfrac{n}{e}\right) ^{n}%
\sqrt{2\pi n}
\end{equation*}

\qquad - (Hors programme) l'\'{e}quivalent du $n$-i\`{e}me nombre premier : 
\begin{equation*}
p_{n}\underset{n\rightarrow +\infty }{\sim }n\ln n
\end{equation*}

Autres exemples E9.

3) Suite domin\'{e}e par une autre.

\bigskip

DEF : soient $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ deux suites
complexes ; on dit que $\left( u_{n}\right) $ est \textit{domin\'{e}e} par $%
\left( v_{n}\right) $, s'il existe une suite $\left( b_{n}\right) $ , telle
que APCR, 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}=\;b_{n}v_{n}$ avec $\left( b_{n}\right) $\ born\'{e}e}
\end{equation*}

\bigskip NOTATIONS :

\qquad De Hardy : $u_{n}\preccurlyeq v_{n}$ (tr\`{e}s peu utilis\'{e}e :
grand risque de confusion avec $\leqslant $ )

\qquad de Landau\ : $u_{n}=O\left( v_{n}\right) ,$ \`{a} lire
\textquotedblright $u_{n}$ est un grand \textit{O} de $v_{n}"$ et \`{a}
comprendre comme : \textquotedblright $u_{n}$ est l'un des grands O de $%
v_{n}",$ autrement dit que $\left( u_{n}\right) $ est l'une des suites domin%
\'{e}e par $\left( v_{n}\right) $.

\bigskip

REM 1: si $u_{n}$ et $v_{n}$ sont non nuls APCR, la d\'{e}finition s'\'{e}%
crit plus simplement sous la forme : 
\begin{equation*}
\fbox{$u_{n}=O\left( v_{n}\right) \Leftrightarrow \left( \dfrac{u_{n}}{v_{n}}%
\right) $ est born\'{e}e$\,\Leftrightarrow \left( \left\vert \dfrac{u_{n}}{%
v_{n}}\right\vert \right) $ est major\'{e}e$\ \Leftrightarrow \,\exists K>0\
\ \left\vert \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right\vert \leqslant K\ \ $APCR}
\end{equation*}

REM 2 : l'expression \textquotedblright domin\'{e}e par\textquotedblright\
est assez malheureuse ; en effet $\left( 3\right) $ est domin\'{e}e par $%
\left( 2\right) ,$ $\left( n\right) $ est domin\'{e}e par $\left( \dfrac{n}{2%
}\right) $ ; on emploie parfois l'expression : $\left( u_{n}\right) $ est
\textquotedblright au plus de l'ordre de\textquotedblright\ $\left(
v_{n}\right) .$

D'ailleurs lorsque $\left\{ 
\begin{array}{c}
u_{n}=O\left( v_{n}\right) \\ 
\text{et }v_{n}=O\left( u_{n}\right)%
\end{array}%
\right. ,$ autrement dit si $\exists K_{1},K_{2}>0\ \ \ K_{1}\leqslant
\left\vert \dfrac{u_{n}}{v_{n}}\right\vert \leqslant K_{2}\ \ $APCR, on dit
que $\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ sont "du m\^{e}me
ordre", et cette relation est parfois not\'{e}e $u_{n}=\Theta \left(
v_{n}\right) .$

Exemples E10.

\bigskip PROP : si $u_{n}\sim \lambda v_{n}$ avec $\lambda \neq 0,$ alors $%
\left( u_{n}\right) $ et $\left( v_{n}\right) $ sont du m\^{e}me ordre, mais
la r\'{e}ciproque est fausse.

\end{document}
