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RUBRIQUE TENUE PAR ROGER CUCULIERE

Enoncés publiés dans la revue "Le petit Archimède"

PB 1 Belle marquise.

Monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir. Il faisait aussi des permutations. Au fait, combien y a-t-il de permutations de sa phrase : "Belle marquise, vos beaux yeux me font mourir d’amour"?
 
 

PB 2 Statue de Léopold.

La statue de Léopold, à Bruxelles, mesure 5 m. de hauteur, et elle est située au sommet d’une colonne de 45 m. de hauteur. A quelle distance faut-il se placer (au sol bien sur) pour voir la statue sous un angle maximum ?
 
 

PB 3 Belote à 4 joueurs.

A la belote à 4 joueurs, chacun reçoit 8 cartes. Combien a-t-on de chances d’avoir un carré ?
 
 

PB 4 Nombre à rendre premier.

Peut-on rendre un nombre premier en modifiant un seul de ses chiffres ?

PB 5 Problème du glaçon.

Un verre d’eau contient un glaçon qui nage sur la surface de l’eau. Le glaçon fond. Que fait le niveau du liquide ? Même question pour un verre de menthe à l’eau.
 
 

PB 6 Problème de minimum.

On donne deux points A et B dans le plan euclidien. Pour tout point M du plan, on appelle H la projection orthogonale de M sur la droite A. Quel est l’ensemble des points M tels que  soit minimum ?
 
 

PB 7 Distances dans un quadrilatère.

J'ai un quadrilatère convexe ABCD et un point M intérieur. Est-il possible que la somme des distances du point M aux quatre sommets du quadrilatère soit plus grande que le périmètre de ce quadrilatère ?
 
 

PB 8 Grand théorème de Fermat, cas particulier.

En 1637, Pierre FERMAT, mathématicien occitan, découvrait un "théorème" sans en donner la démonstration, et personne ne l'a trouvée depuis : si n est un nombre entier supérieur ou égal à 3, l’équation xn+yn = zn n'a pas de solutions en nombres entiers non nuls. Moins ambitieux que Fermat, pourrez-vous démontrer ce théorème dans le cas où n ? z ?
 
 

PB 9 Épitaphe de Diophante.

Diophante passa dans l'enfance le sixième de sa vie, puis le douzième dans l'adolescence. Un septième de sa vie s'écoula, puis il se maria et cinq ans plus tard, il eut un fils. Hélas! après avoir vécu la moitié de la vie de son père, cet unique enfant périt d'une mort malheureuse. Diophante lui survécut quatre ans. A quel âge est-il mort ? Et au fait, qui était Diophante ?
 
 

PB 10 "Premier avec" implique premier tout court ?

J'ai un nombre entier naturel N ? 3. Tous les entiers compris entre 1 et N - 1, et premiers avec N, sont premiers. Quel peut être ce nombre N ?
 
 

PB 11 Test de diagnostic.

Un test de diagnostic décèle une maladie dans 99% des cas ; il décèle de même l'absence de maladie dans 99% des cas. Dans une population où il y a 0,5 % de personnes atteintes de cette maladie, une personne subit le test, qui la déclare malade. Quelle est la probabilité pour que cette personne soit réellement malade ?
 
 

PB 12 Les joueurs d’Euler.

Trois hommes jouent. A chaque partie, il y a un perdant et deux gagnants. Le perdant doit doubler l'avoir des deux autres. Au bout de trois parties, chacun a perdu une fois. Ils se retirent alors avec la même somme, 40 F chacun. Combien chacun avait-il au début ?

Avec n coups de couteau, en combien de morceaux - au maximum - puis-je couper un camembert ? Même question pour un fromage de Hollande : ce fromage ayant à peu près la forme d'une boule, les coups de couteau ne sont pas forcément verticaux, comme pour un camembert.
 
 

PB 14 Disposition des frettes d'une guitare.

Tout le monde sait comment est faite une guitare : pour jouer, on pose les doigts sur des cases (facile à dire ...) Mais pourquoi ces cases sont-elles plus larges en haut qu'en bas ? Pouvez-vous prendre une guitare, mesurer toutes ses cases, et découvrir la loi de cette suite de longueurs ?
 
 

PB 15 Partage équitable d’un polygone.

Soit un triangle ABC et un point M situé sur le périmètre de ce triangle (par exemple sur le coté AB). Comment peut-on construire une droite passant par le point M et partageant le triangle en deux surfaces d’aires égales? Combien y a-t-il de solutions ?

Mêmes questions pour un quadrilatère convexe. Peut-on généraliser à un polygone quelconque ?
 
 

PB 16 Polygone d'allumettes.

On a douze allumettes identiques, qui peuvent servir d'unité de longueur. Comment peut-on former, avec ces 12 allumettes, le contour d'une surface plane fermée dont l'aire soit égale à 4 "allumettes carrées" ?

PB 17 Le meuble de Max.

Mon copain Max veut fabriquer une table susceptible de se replier exactement à la verticale, pour avoir alors un meuble extra-plat (voir figures). Il utilise deux tiges AI et IB, articulées autour du point I. Ces deux tiges doivent être d'inégales longueurs, afin que, lorsque la table est repliée (figure 3), le point B ne vienne pas buter contre le point A, ce qui empêcherait le meuble d'être tout à fait plat. On donne donc Al = a et Bl = b tels que a > b. On veut déterminer la position de A et celle de B, c'est-à-dire les longueurs OA et OB. Pouvez-vous les calculer en fonction de a et b ?
 
 

PB 18 Orientation avec une montre.

Comment peut-on s'orienter en forêt avec une montre ?

PB 19 Le professeur randonneur.

Un professeur consacre ses vacances à de longues randonnées. Un matin, il part du village à 8 h et arrive sur la montagne à 20 h. Là se trouve un refuge : notre ami y passe une bonne nuit, faite de repos et de réflexion. Le lendemain, à 8 h, il redescend par le même sentier, mais il flâne, il cueille des fleurs, si bien qu'il arrive au village à 20 h. Il se demande alors: "Ai-je pu me trouver au même endroit qu'hier, et à la même heure ? Ceci s'est-il produit une fois, ou plusieurs fois ? " Que répondriez-vous ?
 
 

PB 20 Températures.

Pour repérer les températures, on utilise plusieurs échelles : par exemple Celsius ou Farenheit, etc. Existe-t-il une température qui soit repérée par le même nombre dans les deux échelles ? En existe-t-il plusieurs ?
 
 

PB 21 Le colis de Toto.

Toto doit expédier 8,5 kg de café à son grand-père. Comme les PTT n 'acceptent pas de colis pesant plus de 5 kg, force est de répartir la charge en deux colis (on admet que l'emballage est de poids négligeable). Compte tenu des tarifs en vigueur, comment faire cette répartition de telle sorte que la taxe d'affranchissement totale soit minimum ?

Pouvez-vous imaginer un moyen permettant de résoudre le même problème pour n'importe quelle charge comprise entre 5 et 10 kg ?
 
 

PB 22 Poule pondeuse.

Si une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi, combien d’œufs pondent 7 poules en 6 jours ?

PB 23 Portée d’un belvédère.

La lumière d'un phare est située à 30 m au-dessus du niveau de la mer. A quelle distance est-elle visible par les bateaux ? Et du haut de la tour Eiffel, à quelle distance peut-on voir ?
 
 

PB 24 Socle de maçonnerie.

Une colonne repose sur un socle en maçonnerie ayant la forme d'un tronc de pyramide à base carrée. Il a fallu donner à cette fondation une hauteur de 3 m pour trouver le "bon sol". La face supérieure de la pyramide a 1 m de côté . La colonne transmet une force totale de 66 tonnes.

La densité de la maçonnerie de fondation est 2 tonnes par mètre-cube. Le sol peut supporter une pression de 20 t/m2 . Quel côté faut-il donner à la face inférieure de la pyramide ? (Bien entendu, il faut tenir compte du poids de la fondation).

A un repas commun, Caius fournit 7 plats, et Sempronius en fournit 8. Survient Titus qui partage avec eux le repas, puis remet à Caius 14 deniers et à Sempronius 16. Ce dernier proteste contre cette répartition et porte la question devant un juge. Quel doit être le jugement ?

PB 26 x et y irrationnels, xy rationnel ?

Existe-t-il deux nombres irrationnels x et y tels que xy soit rationnel ?
 
 

PB 27 Nombres premiers de la forme 4n - 1.

Considérons la suite de nombres : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, etc... que l'on forme évidemment en partant de 3 et en ajoutant 4, et encore 4, et ainsi de suite. A votre avis, cette suite, si on la prolonge indéfiniment, contiendra-t-elle une infinité de nombres premiers ?
 
 

PB 28 Partage d’un carré en triangles aigus.

Un triangle aigu (ou "acutangle", comme l'on disait joliment autrefois) est un triangle qui n'a que des angles aigus. Prenez un carré : en combien de triangles aigus pouvez-vous le partager ?
 
 

PB 29 Zones libérées du Vietnam.

On sait qu'en 1965 le Front national de libération du Sud Vietnam avait libéré les 4/5 du territoire et les 2/3 de la population. La densité de population du Sud Vietnam était environ de 100 habitants au kilomètre carré. Quelle était donc la densité de population des zones libérées ?

PB 30 Problème de train et théorème des cordes.

Un train parcourt 500 km en 5 h. Il peut ralentir, accélérer ou s'arrêter, mais on supposera qu'il ne revient jamais en arrière. Existe-t-il forcément durant son trajet, un laps de temps de 1 h pendant lequel il a parcouru 100 km ? Existe-t-il un laps de temps de 2 h pendant lequel il a parcouru 200 km ?
 
 

PB 31 Vitesse moyenne.

Je vais d'une ville A à une ville B, en voiture, à une vitesse moyenne de 40 km/h. Je reviens ensuite de B à A à la vitesse moyenne de 60 km/h. Quelle a été ma vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours, aller et retour ?
 
 

PB 32 Cryptarithme vietnamien.

5OPHAO TET

HPOA VUI

UPUO

O

Il s'agit bien sûr de remplacer chaque lettre par un chiffre, deux mêmes lettres par le même chiffre, deux lettres différentes par des chiffres différents.
 
 

PB 33 Falkland - Kerguelen.

Les îles Falkland et les îles Kerguelen ont, grosso modo, la même latitude : 50° Sud. Mais la longitude des îles Falkland est environ 60° Ouest, et la longitude des îles Kerguelen est environ 70° Est. Un bateau qui partirait des îles Falkland et garderait le cap à l'Est arriverait donc forcément aux îles Kerguelen. Quelle distance aurait-il alors parcouru ?

Ne pourrait-il pas diminuer cette distance en empruntant un autre itinéraire ? Comment la rendre minimum, et que vaut ce minimum ?
 
 

PB 34 La fontaine au lion de bronze.

Une fontaine portait la statue d'un lion de bronze, qui pouvait jeter de l'eau par les yeux, la gueule ou le pied droit. On pouvait y lire cette inscription : "Si j'ouvre l’oeil droit, je remplirai le bassin en deux jours, et en trois jours si j'ouvre le gauche. Avec mon pied, il me faudrait quatre jours et avec ma gueule, six heures. Passant, dis-moi en combien de temps je le remplirais en jetant de l'eau à la fois par les deux yeux, la gueule et le pied". Si vous étiez passé par là, qu’auriez-vous répondu ?
 
 

PB 35 Suite de 10 nombres.

Écrivez une suite de dix nombres, tous différents. Vous verrez qu'on peut toujours en extraire quatre nombres qui sont dans l'ordre croissant ou dans l'ordre décroissant. D'où vient cette curieuse propriété ? Et si on avait pris une suite de neuf nombres ? De quinze ? de vingt ? Pouvez-vous en tirer une loi générale ?

PB 36 Volume d’un tonneau.

Comment calcule-t-on le volume d'un tonneau ?
 
 

PB 37 Codes postaux.

Le numéro de code postal d’un bureau distributeur est un nombre de 5 chiffres. Le nombre formé par les deux premiers chiffres est le numéro du département : il va de 01 (Ain) à 95 (Val d'Oise). Les trois autres chiffres sont quelconques. Combien peut-on former de tels numéros ? Y en a-t-il beaucoup qui ne soient pas encore utilisés ?

Le Mas d'Azil, dans l'Ariège, a pour numéro 09290. Si l'on renverse l'ordre de ses chiffres, il ne change pas : c'est un palindrome. Combien peut-il exister de tels palindromes parmi les numéros de code postal ? Pouvez-vous en citer qui soient effectivement utilisés ?

On a 27 "briques" de dimensions 0,5 dm, 1 dm, 2 dm. Fabriquer, avec ces briques, un cube de 3 dm d’arête.
 
 

PB 39 Traversée minimale.

On a deux points A et B situés sur les deux berges d'une rivière (voir figure 1 pour les distances respectives). On veut se rendre de A à B en suivant le trajet de longueur totale minimum, mais en traversant la rivière perpendiculairement aux berges (pour se mouiller le moins possible, sans doute). Quel itinéraire doit-on emprunter ? Quelle sera la distance parcourue ?

PB 40 Topazes.

Les topazes sont des pierres dont la valeur (en Francs) est égale au carré de leur masse (en grammes) On laisse tomber une topaze de 20 g. Elle se casse en deux morceaux. Combien pourra-t-on retirer, au moins, de la vente de ces deux morceaux ? Combien peut-on espérer en retirer, en moyenne ?

PB 41 L'héritage de M. Barrême.

"Un Homme mourant laiffe fa Femme Groffe, & lO0000 liv. de fon chef d'Aquets. Il ordonne par fon Teftament que fi fa Femme accouche d'un Garçon, qu'll en aura les 3/5 & fa Mere les 2/5 . Et que fi elle accouche d'une Fille, qu'elle n'aura que les 3/7 & fa Mere les 4/7.

Il arrive qu'elle accouche d'un Garçon & d'une Fille, favoir combien chacun doit avoir defdits 100000 liv. en confervant toûjour la proportion de la Mere aux Enfans" .
 
 

PB 42 Décomposition du cube d'un nombre premier.

Le cube d'un nombre premier peut-il se mettre sous la forme d'une somme d'entiers impairs consécutifs ? Combien y a-t-il alors de ces entiers ? Et si, au lieu d'un nombre premier, on prend un nombre impair quelconque ?

Sachant que le "pas réglementaire" mesure 75 cm, quelle était la longueur du fourgon de cet artilleur ?

PB 44 Centres de gravité d’un triangle.

Considérez trois points A, B, C, tels que : AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm.

"Centre de gravité du triangle ABC" , cela peut désigner trois choses :

- ou bien le barycentre des trois points A, B, C, supposés affectés de la même masse : soit G ce point ;

- ou bien le centre de gravité du pourtour ABC, supposé homogène : soit P ce point ;

- ou bien le centre de gravité de la plaque ABC, supposée homogène : Soit S ce point.

Où se trouvent les points G, P, S ?
 
 

PB 45 Surface d'un triangle en fonction de ses côtés.

Voici deux triangles. Les côtés du premier mesurent 16 cm, 17 cm, 18 cm ; les côtés du second mesurent : 19 cm, 31 cm, 49 cm.

Lequel des deux a la plus grande surface ?

PB 46 L'équilatéralisation du triangle rectangle isocèle.

Prenez un triangle isocèle rectangle. Pouvez-vous le découper en plusieurs morceaux, de telle manière que l'on puisse obtenir un triangle équilatéral en rassemblant ces morceaux autrement ?

PB 47 Cercles et carrés imbriqués.

Considérons un carré et un cercle inscrit dans ce carré; on noircit la zone entre le cercle et le carré. On inscrit un carré dans ce dernier cercle, et on recommence : 5 carrés, 5 cercles et 5 zones noires. En mesurant seulement le coté du grand carré, pourriez-vous trouver la surface totale des zones noires ? Et si, au lieu de s'arrêter au cinquième cercle, on continuait, quelle serait alors la surface totale des zones noires ?
 
 

PB 48 Jeunes volontaires albanais.

Les brigades de jeunes travailleurs volontaires d’une certaine région ont transformé en terres cultivables, pendant l’année 1967, une superficie de 300 ha, et pendant l’année 1968, une superficie de 440 ha. En 1968, chaque brigade a défriché 2 ha de plus qu’en 1967. Le nombre de ces brigades a été en tout de 35 pour les deux années. Trouvez le nombre de brigades qui a travaillé chaque année, et la superficie défrichée par chacune .

PB 49 Escalier mécanique.

En montant un escalier mécanique à raison d'une marche par seconde, on gravit dix marches. En le montant à raison de deux marches par seconde, on en gravit quinze. Combien y a-t-il de marches simultanément visibles dans cet escalier ?

PB 50 La peau des patates.

L’autre jour, je pelais des pommes de terre, toutes à peu près semblables, c’est-à-dire qu'elles avaient à peu près la même forme : des pommes de terre sans histoire, quoi. Et je me dis : si l'une a deux fois plus de peau qu'une autre, est-elle deux fois plus grosse ?
 
 

PB 51 Au soleil.

Il fait grand soleil. Ma chambre a une fenêtre carrée de coté 1 m . Les rayons du soleil projettent sur le plancher l'image de cette fenêtre selon un parallélogramme lumineux dont les dimensions sont données par la figure 1. Si l'on colle un bâton rectiligne sur la vitre, peut-on connaître sa longueur en mesurant la longueur de son ombre ? Si l'on découpe des triangles dans du papier et qu’on les colle sur la vitre, peut-on savoir, d’après leur ombre, si ces triangles sont rectangles ou isocèles, ou ne le sont pas ?

PB 52 Millionième terme d'une suite.

On considère la suite : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, ... obtenue en écrivant une fois le nombre 1, puis deux fois le nombre 2, trois fois le nombre 3, etc. Quel est le millionième terme de cette suite ?
 
 

PB 53 Sommes d'entiers consécutifs.

A quelle condition un nombre entier naturel donné peut-il s'exprimer comme le somme d’au moins deux entiers naturels consécutifs ?
 
 

PB 54 Qui suis-je ?

PB 55 Barrage.

Un barrage est alimenté par deux rivières A et B à régies hydrographiques différentes, de telle sorte qu'à certaines périodes l’une coule à plein, tandis que l’autre est pratiquement à sec. La première rivière remplirait à elle seule la retenue du barrage en 25 jours. La seconde la remplirait en 37,5 jours.

En période complètement sèche pour les deux rivières, il faut 30 jours pour que les turbines T utilisent la totalité de l'eau de la retenue.

En période pluvieuse, lorsque les deux rivières coulent et que les turbines fonctionnent, en combien de jours la retenue sera-t-elle pleine ?

Si le débit de la première rivière est 75 m3 par seconde, pouvez-vous trouver : la contenance de la retenue, le débit de la seconde rivière, le débit des turbines ?
 
 

PB 56 Bouteille plastique.

Une bouteille de matière plastique pèse 70 g. Ses dimensions sont données par la figure 2, où G représente son centre de gravité lorsqu'elle est vide. Quelle hauteur d'eau faut-il y verser pour que le centre de gravité vienne le plus bas possible ?
 
 

PB 57 Problème de Goldbach.

Un nombre pair supérieur ou égal à 4 est-il toujours la somme de deux nombres premiers ?
 
 

PB 58 Un cinquante à la belote.

A la belote à 4 joueurs, chacun reçoit 8 cartes, prises au hasard parmi les 32 d'un jeu normal. Quelles sont ses chances d'avoir un "cent" (5 cartes consécutives de même couleur) ou un "cinquante" (4 cartes consécutives de même couleur ? )

PB 59 Distances dans le plan.

Étant donnés 4 points A, B, C, D du plan, ces 4 points ont en général 6 distances mutuelles : AB, AC, AD, BC, BD, CD. Ces distances mutuelles peuvent prendre jusqu'à 6 valeurs différentes, et elles ont au moins deux valeurs différentes. Mais comment doivent être disposés ces 4 points pour que leurs distances aient seulement deux valeurs différentes ?
 
 

PB 60 Points équidistants sur la sphère.

On assimile la sphère terrestre à une sphère de 40 000 km de tour. Combien de points peut-on placer au plus sur cette sphère de sorte que leurs distances mutuelles soient toutes égales ? Quelle est alors la valeur commune de ces distances ?
 
 

PB 61 Nombres composés.

Montrez qu'il existe un million de nombres entiers consécutifs non premiers. Et un million d'entiers consécutifs chacun divisible par le cube d'un entier (plus grand que 1, bien sûr). Et encore un million (on ne se refuse rien) d'entiers consécutifs, possédant chacun au moins dix facteurs premiers différents.
 
 

PB 62 Suite d’entiers.

Peut-on dresser une liste des 100 premiers entiers naturels sans que la moyenne arithmétique de deux d'entre eux ne soit jamais située entre eux ?

Par exemple, pour n = 8, la suite 2, 3, 7, 5, 4, 8, 6, 1 ne convient pas, car la moyenne de 7 et 1, qui est 4, est placée entre ces deux nombres.

PB 63 Développements décimaux.

On donne :

A = 7, 3272727....

B = 125, 31531531....

Les chiffres soulignés revenant périodiquement. Comment mettre ces nombres sous une forme plus commode, comment les additionner et comment les multiplier ?
 
 

Deux amis, voyageant ensemble à cheval, conviennent, pour se désennuyer de la route, de faire un "cent de piquet", sans cartes. Le premier joueur peut prononcer le nombre qu'il veut, pourvu que ce nombre soit moindre que 11 : tout nombre entier de 1 à 10 convient. Ensuite, le second peut ajouter n’importe quel nombre entier de 1 à 10, et ainsi de suite. Par exemple, si le premier a dit "six", le second peut dire de "sept" à "seize". Celui qui dit "cent" gagne.

Quel joueur doit gagner au piquet à cheval, le premier, ou le second ? Comment doit-il procéder ?
 
 

PB 66 Sur une grande échelle.

Pour atteindre un point A situé sur un mur à 2,70 m du sol, j'utilise une échelle de 2,90 m que j'appuie sur ce mur de sorte que le point le plus haut de l'échelle soit en A. Je demande seulement de combien le point le plus bas de l’échelle s'éloignera de la base du mur. Si cela vous semble trop facile, alors estimez cette distance au "pif", sans calcul, et ensuite vérifiez cela par le calcul. Si les deux résultats ainsi obtenus diffèrent notablement, expliquez cette différence.
 
 

PB 67 Quadrature de la croix suisse.

Découpez la croix suisse (formée de cinq carrés identiques) de façon à obtenir un carré unique, en regroupant les morceaux différemment.
 
 

PB 68 Constructions de nombres.

Étant donné un segment de longueur unité, si n est un entier naturel donné, comment construire simplement un segment de longueur ?n ? Réciproquement, si vous connaissez un segment de longueur ?n, comment construire un segment unité?
 
 

PB 69 Coureuse des rues.

Une marchande des quatre saisons (à Bordeaux, on dit une coureuse des rues) utilise pour peser sa marchandise une balance Roberval : on met la marchandise sur un plateau et les poids sur l'autre, comme chacun sait. Mais elle remarque que sa balance n'est pas très juste, les deux bras de levier étant inégaux. Si elle met toujours la marchandise sur le même plateau et les poids sur l'autre, elle se volera ou elle volera ses clients. Comme elle n'est ni malhonnête, ni masochiste, elle décide de mettre alternativement la marchandise sur un plateau et sur l'autre, de sorte qu'au bout du mois, par exemple, elle a pesé la même masse de marchandise sur chacun des deux plateaux. Cherchez si elle a trouvé la solution équitable, ou bien si quelqu'un est encore volé, et qui, et de combien.
 
 

PB 70 Fonction de Mac-Carthy.

C'est une fonction f définie sur Z, à valeurs dans R et qui vérifie:

f(x) = x - 10 si x > 100

f(x) = f(f(x+11)) si x > 100.

Calculez f(x) pour chaque valeur de x.

Et si on suppose f définie sur R tout entier ?
 
 

PB 71 Fausse démonstration de la conjecture de Goldbach.

Trouvez l'"os" dans la "démonstration" de la conjecture de Goldbach ci-dessous (cf. PB 57).

Soit 2a un entier naturel pair supérieur à 2. Supposons que ce nombre ne puisse se décomposer en la somme de deux nombres premiers.

Donc, quel que soit le nombre premier impair p inférieur à 2a, on a :

tous premiers impairs, avec ql ? q2 ? q3 ?...

Considérons le nombre pair 2a - 2ql : c'est un entier naturel non nul. Et puisque :

2a = p + ql + q2... on a : 2a - 2 ql = p + ql(q2q3..-2) et ceci, quel que soit p, premier et inférieur à 2a - 2ql.

2a - 2ql n'est donc pas somme de 2 nombres premiers. Quel que soit le nombre pair 2a, s'il n'est pas somme de deux nombres premiers, on peut toujours trouver un nombre pair strictement plus petit qui n'est pas non plus somme de deux nombres premiers."

D'après le principe de la "descente infinie", il s'ensuit que tout nombre pair plus grand que 2 est somme de deux nombres premiers.
 
 

PB 72 Chameaux généralisés.

Voici l’énoncé classique : Un vieil Arabe avait 17 chameaux, qu'il voulait léguer à ses 3 fils. Le testament stipulait que l’aîné devait recevoir la moitié des chameaux, le second devait avoir le tiers, et le plus jeune le 1/9. Grand embarras des fils lors de la mort de leur père: un chameau, cela ne se découpe pas comme un camembert ! Arrive alors un sage ami, qui leur donne le conseil suivant "empruntez un chameau au voisin : cela vous en fera 18. L’aîné en prendra la moitié, soit 9. Le second fils en prendra le 1/3, soit 6. Le dernier en aura le 1/9, soit 2 ; 9 chameaux plus 6, plus 2, cela fait juste 17, et vous pourrez rendre à votre obligeant voisin le 18ème animal, qui aura juste servi à effectuer le partage sans le secours du boucher".

Il faut d'abord expliquer comment fonctionne ce curieux partage, mais ce n'est pas tout. Marie-Luce DEHU, nous pose la question suivante:

On reprend le même problème, on garde le vieil Arabe et ses 3 fils, mais on change les données, c'est à-dire les nombres 17, 1/2, 1/3, 1/9 qui interviennent dans l'énoncé précédent. Par quels nombres n, l/a, l/b, l/c, peut-on les remplacer pour que l'histoire ait la même heureuse issue et que ces pauvres chameaux se retrouvent aussi entiers à la fin qu'au début ?
 
 

PB 73 Quadrilatère articulé.

Considérons 4 tiges AB, BC, CD, DA, rigides mais articulées à leurs points de jonction de sorte que le quadrilatère plan ABCD peut prendre des formes diverse mais que les 4 longueurs des côtés AB, BC, CD et DA restent constantes. Si vous réalisez ce montage, et que vous matérialisez les diagonales AC et BD par des élastiques, vous pourrez constater une curieuse propriété : si ces diagonales sont perpendiculaires pour certaine position des 4 sommets A, B, C, D, elles le restent dans toute déformation que l'on peut faire subir à ce système articulé. Comment cela s'explique-t-il ?
 
 

PB 74 Chemins minimaux avec pas diagonaux.

Sur le quadrillage de cette figure, combien y a-t-il trajets allant de A à B par un chemin minimal, c'est-à-dire en se dirigeant toujours vers le nord ou l'Est ? Généralisez à un rectangle de dimensions m et n.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PB 75 Droite partageant un triangle.

Une droite qui partage un triangle en deux polygones de même aire et de même périmètre passe par le centre du cercle inscrit. Prouvez-le.

PB 76 Problème de la chèvre.

Une chèvre est attachée à un pieu fixé en un point A d'un enclos circulaire de rayon R. Quelle doit être la longueur de la corde pour qu'elle puisse brouter au maximum la moitié de l'herbe de l'enclos ?
 
 

PB 77 Cryptarithme.

Remplacez chacune des lettres ABCDEFGHI par un chiffre de 1 à 9 de sorte que des lettres différentes représentent des chiffres différents, et que:

2 ABC = DEF

ABC + DEF = GHI

(Le symbole ABC désigne le nombre qui s'écrit "ABC" dans la base dix. Par exemple si A = 1, B = 2, C = 3, alors ABC = 123)
 
 

PB 78 Labyrinthe de Chartres.

La photographie ci-dessous représente le labyrinthe de la Cathédrale de Chartres. Il est représenté en mosaïque sur le sol de cette Cathédrale. Il date du 13e siècle. Jadis les pénitents le parcouraient à genoux. Quelle distance cela représentait-il ? Précisons que le diamètre du labyrinthe est 12,87 m.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PB 79 Poignées de mains.

Une soirée réunit 13 couples. Après le dîner, l'une des convives s'ennuie et demande aux 25 autres personnes combien elles ont serré de mains à leur arrivée. I Elle obtient 25 réponses différentes. Quelle a donc été la réponse de son mari ?

(Bien sûr, personne ne serre plus d'une fois la main de ses amis, et personne ne serre sa propre main, ni celle de son conjoint.)
 
 

PB 80 100 bêtes pour 100 F.

A la foire, j'ai acheté 100 bêtes pour 100 F : des moineaux, des pigeons et des poules. Chaque moineau m'a coûté 5 centimes, chaque pigeon 1 F, chaque poule 5 F. Combien ai-je acheté de bête de chaque sorte ?

PB 81 Les boeufs de Newton.

Un pré de 60 ares nourrit 75 boeufs pendant 12 jours ; un pré de 72 ares nourrit 81 boeufs en 15 jours. Combien de boeufs pourront subsister pendant 18 jours sur un pré de 96 ares ?

On précise que l'herbe est partout à la même hauteur au moment où on y mène les troupeaux, et qu'elle croit partout à la même vitesse.

PB 82 Plus petit disque contenant n points.

On donne n points dans le plan. Démontrez qu'il y a un plus petit disque qui les contient tous. Indiquez un procédé pour le construire. Explicitez la solution pour n = 2, n = 3, n = 4.

PB 83 Cube terminé par 100 "1".

Existe-t-il un nombre dont le cube, écrit dans la base dix, se termine par cent chiffres 1 tous à la suite ?

PB 84 Le problème des mégots.

PB 85 Géométrie particulière.

Le problème est tout entier sur la figure. Déterminez l' angle ACD.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PB 86 Cavaliers sur l’échiquier.

Combien de cavaliers au plus, peut-on placer sur l'échiquier, de telle sorte qu'ils ne soient pas en prise les uns par les autres ?
 
 

PB 87 La pierre dans le puits.

Je laisse tomber une pierre dans un puits et au bout de 3 secondes, j'entends le "plouf". Quelle est la profondeur du puits ?
 
 

PB 88 Un homme dans un bateau.

Une barque est immobile sur l'eau. Elle pèse 70 kg et a 3 m de long. Un homme pesant 70 kg est assis à 50 cm de l’une des extrémités de la barque. Il se lève et va s'asseoir à 50 cm de l’autre extrémité. Quelle distance a-t-il réellement parcourue ?

PB 89 Problème d’héritage.

Des frères se partagent un héritage. Le premier prend 100 F et 10 % du reste. Le deuxième prend 200 F et 10 % du nouveau reste. Le troisième prend 300 F et 10 % du nouveau reste. Et ainsi de suite. Ils ont alors la même part. Combien y a-t-il de frères ? A combien se monte l'héritage ?

PB 90 Combien de nombres ?

Soit un ensemble de nombres entiers compris entre 1 et 1000, tels qu’aucun d’eux ne divise aucun autre. Combien y a-t-il au plus de nombres dans cet ensemble ?
 
 

PB 91 Équation fonctionnelle.

Trouvez les fonctions f de R vers R telles que, pour tout x et tout y réels :

f(x2 - y2) = (f(x))2 - (f(y))2.
 
 

PB 92 Revenu maximum d’un théâtre.

Le directeur d'une salle de théâtre d’Ottawa a remarqué qu'à 8 $ la place il pouvait compter sur 500 spectateurs, et que chaque baisse de 0,50 $ lui amène 100 personnes de plus. Combien doit-il faire payer la place pour obtenir un revenu maximum ?
 
 

PB 93 Premier ou non ?

Pour quelle(s) valeurs(s) de l’entier naturel n le nombre n4+ 4n est-il premier ?
 
 

PB 94 Problème de minimum en plomberie.

Sur mur rectangulaire ABCD, on veut poser des gouttières rectilignes AM, BM, MP, de sorte que M soit situé à l'intérieur du rectangle ABCD et P sur la base CD. Pour quelle position de M et P la somme des 3 distances MA, MB et MP est-elle minimum ?

PB 95 Nombres anagrammes.

Considérez tous les nombres que l'on peut former avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chacun pris une seule fois. Vous savez certainement calculer combien il y a de tels nombres. Mais savez-vous pourquoi aucun d'entre eux n'est divisible par aucun autre ?
 
 

PB 96 Cercles sur l’échiquier.

Quel est le rayon du plus grand cercle que l'on peut tracer sur un échiquier et qui ne passe que sur les cases blanches ?
 
 

PB 97 Problème d’âges.

J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, nous aurons à nous deux 63 ans. Quel est mon âge ? Quel est le vôtre ?
 
 

PB 98 Simplification illégale.

Soit la fraction 26/65 ; on "simplifie" par le chiffre 6 et on obtient 26/65 = 2/5, résultat exact. Trouvez toutes les fractions ayant cette propriété et dont le numérateur et le dénominateur ont deux chiffres.

PB 99 Explorateur.

Un explorateur veut traverser seul un désert de 100 km. Il parcourt 2O km par jour, mais il doit souvent revenir en arrière, car il ne peut porter avec lui que deux rations de vivres et chaque jour il en consomme une. Les rations non encore utilisées forment des dépôts où il revient puiser pour poursuivre sa traversée. Notons que la nourriture est supposée imputrescible et notre héros à l'abri de tous les aléas tels que vols, accidents, etc.
 
 

PB 100 Cercles touchant un triangle, un carré.

Décrire au dedans d'un Triangle équilatéral, trois Cercles égaux qui se touchent mutuellement, aussi les trois côtez du Triangle équilatéral.

Décrire au dedans d'un Quarré donné quatre Cercles égaux, qui se touchent mutuellement, aussi les côtez de ce Quarré.

PB 101 Mille milliards de milliards et un

Voici un nombre: 1 000 000 000 000 000 000 001. Est-il premier ?
 
 

PB 102 Segments dans un disque.

On donne une droite D et un disque D de rayon 10, qui contient 40 segments de longueur 1. Montrez qu'il existe une droite parallèle ou perpendiculaire à D qui coupe au moins deux de ces segments.
 
 

PB 103 Polyèdre ayant un nombre donné d’arêtes.

Soit a un nombre entier ? 6. Pouvez-vous construire un polyèdre convexe dont le nombre d’arêtes soit exactement a ?
 
 

PB 104 Sauts de cavalier.

Dans un échiquier habituel, combien y a-t-il de sauts de cavaliers (c'est-à-dire de couples de cases telles que l'on passe de l'une à l'autre par un saut de cavalier) ?
 
 

PB 105 Le jeu du fer à cheval.

Dessinez sur une boîte de carton un fer à cheval avec 15 trous (voir figure) et piquez dedans 15 fiches (clous de girofle, punaises plastiques ou autres) pour représenter les clous. Le jeu se joue à deux.

A son tour chacun ôte un, deux ou trois clous. Mais s'il en prend deux ou trois, ceux-ci doivent être consécutifs, c'est-à-dire qu'ils ne doivent être séparés ni par un autre clou ni par un trou vide. Le gagnant est celui qui prend le dernier clou.

Quel est le joueur qui est sûr de gagner à condition de bien jouer, et quelle stratégie doit-il appliquer ?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PB 106 La poursuite.

Un gardien de prison poursuit un prisonnier. Au moment où il va l'attraper, celui-ci se jette dans un bassin circulaire rempli d'eau (ils sont donc alors tous deux en un même point A situé sur le périmètre de ce bassin). Le gardien ne sait pas nager, mais il court 4 fois plus vite que le prisonnier ne nage.

On admet que le prisonnier est sauvé s'il sort du bassin sans que le gardien ne l'attrape. Démontrez que le prisonnier peut se sauver et déterminez la stratégie qu'il doit adopter.
 
 

PB 107 Carré central.

Si M, N, P, Q sont les milieux des côtés du carré ABCD (voir figure), quelle est l'aire du carré hachuré ?

PB 108 Coloriages d’un drapeau.

Combien y a-t-il de façons de colorier un drapeau constitué de deux rangées de n cases consécutives, en utilisant au plus p couleurs, de façon que deux cases ayant un côté commun n'aient pas la même couleur ?

PB 109 Partition d’un carré.

On effectue une partition de l'ensemble E des points d'un carré d'un mètre de côté en trois sous-ensembles (qui sont donc disjoints 2 à 2 et de réunion E, chacun n'étant pas nécessairement d'un seul tenant). Démontrez que l'un des sous-ensembles contient deux points dont la distance est strictement supérieure à un mètre.

PB 110 Une voiture et sept pneus.

Quelle distance maximum peut-on parcourir avec une voiture disposant de 7 pneus neufs, sachant que chaque pneu peut faire 40 000 km ?

PB 111 Fonction périodique ?

Une fonction numérique f définie sur R est dite périodique s'il existe un réel T non nul tel que, pour tout x réel. f (x+T) = f(x). La fonction f définie par f(x) = sin x + sin(?2x) est-elle périodique ?

PB 112 Distances entières.

Pouvez-vous construire, dans le plan, quatre points non alignés dont toutes les distances mutuelles sont entières ? Pouvez-vous en construire cinq, six, etc...?

Notez bien que, parmi nos points, certains peuvent être alignés, pourvu qu'ils ne le soient pas tous. Toutefois, la solution sera meilleure si ces points sont trois à trois non alignés, si possible.

PB 113 En deux coups de ciseaux.

La figure ci-dessous représente un carré de papier. On le découpe en quatre rectangles par deux coups de ciseaux respectivement parallèles aux côtés AB et BC. Est-il possible de le faire de telle manière que les dimensions des rectangles obtenus et celle du carré soient cinq termes consécutifs d'une progression arithmétique ?

PB 114 Binomiales.

La ligne n° 7 du triangle de Pascal comporte trois termes consécutifs en progression arithmétique : 7, 21, 35. Sur quelles autres lignes ce phénomène se reproduit-il ?

PB 115 Billard.

Soit un rectangle de dimensions entières m et n, pavé de carrés unités. On lance une boule d’un sommet en suivant la diagonale des carreaux. Lorsque la boule frappe un des côtés, elle rebondit conformément aux lois bien connues de la réflexion. Elle s'arrête lorsqu'elle arrive à un autre sommet du rectangle. On demande alors : à quel sommet arrive-t-elle ? Combien de fois a-t-elle frappé le bord ? Quelle distance a-t-elle parcouru ?

PB 116 Trois biftecks.

J'ai une poêle qui peut contenir deux biftecks. Pour être cuit, un bifteck doit rester dans la poêle 3 mn sur chaque face. En combien de temps puis-je faire cuire 3 biftecks ?

PB 117 Divisibilité par 7.

Pour reconnaître si un nombre N est divisible par 7, on prend la différence entre le nombre de ses dizaines et le double du chiffre de ses unités. Si le résultat est divisible par 7, le nombre initial N l'était aussi. Si l'on ne sait pas, on recommence la même procédure avec le résultat, et ainsi de suite. Si l'on arrive à un multiple de 7, on conclut que N l'était aussi.

Exemple: N = 8593. On calcule: 859-(2 X 3) = 853, puis:

85- ~2 X 3) = 79, non multiple de 7, donc N ne l'est pas non plus.

Justifiez ce procédé.

PB 118 M. Martin de bon matin.

Chaque jour, M. Martin se rend par le train à son travail. Le train atteint la gare d'arrivée à 8 h, où une voiture de son entreprise vient chercher M. Martin. Un jour, il se lève une heure plus tôt, arrive à cette gare à 7 h et là, au lieu d'attendre la voiture, il décide de marcher. Il rencontre la voiture en route et elle l'emmène. Il constate qu'il arrive à son entreprise seulement 10 mn plus tôt que d'habitude. Combien de temps a-t-il marché ?
 
 

PB 119 Tout nombre est le début d’une puissance de deux.

Soit N un nombre quelconquequi s'écrit avec plusieurs chiffres dans la base dix. Par exemple: 1980, un code postal, un numéro de Sécurité Sociale, etc... Alors, je dis qu'il existe une puissance de 2, à exposant entier naturel, dont l'écriture décimale commence par la suite des chiffres qui composent N. Prouvez-le.

PB 120 Vaches de ferme.

La figure 1 représente le plan d’une ferme située au centre d’une propriété divisée en huit zones (Nord, Nord-Est, Est, Sud-Est, etc ...).

La ferme a quatre fenêtres, situées aux quatre points cardinaux. par chaque fenêtre, le fermier voit 15 vaches, qui paissent dans 8 zones de la propriété. En tout, il possède 47 vaches. de combien de manières peut-on les répartir dans les huit zones pour que le problème soit possible ?

PB 121 Calculs approchés.

A l’aide de ma calculatrice, je trouve :

tan 89° = 57, 28996163

tan 89,9° = 572,9572134

tan 89,99° = 5729,577893

tan 89,999° = 57295,77951

Il semble que, chaque fois que j'ajoute un 9 à la partie décimale, le résultat soit multiplié par 10. Pourquoi ?

On définit de la façon suivante le symbole A(m,n), où m et n sont deux entiers naturels:

· Pour tout , on a : A(o,n) = n + 1

· Pour tout , on a : A (m,o) = A(m-1,1)

· Pour tout  et tout  on. pose : A (m, n) = A(m-1, A (m, n-1)).

Calculez A (4, 4).

PB 123 Le congrès de Babel.

A un congrès international arrivent mille délégués de divers pays. Chacun parle plusieurs langues. On sait que n'importe quel groupe de trois peut se comprendre sans l'aide des autres, l’un des trois servant éventuellement d'interprète aux deux autres.

Démontrez que l'on peut loger tous ces délégués dans des chambres à deux places, de sorte que deux personnes logeant dans la même chambre puissent communiquer entre elles.

PB 124 Fibonacci-produits.

Vous connaissez la suite de Fibonacci : 0, 1, 1, 2,3, 5, 13, 21, 34,... où chaque terme est la somme des deux précédents. Mais le produit de deux termes quelconques (sauf 0 et 1) peut-il être encore un terme de cette suite ?

PB 125 Réseau.

On appelle réseaul’ensemble des points d'intersection de deux familles de parallèles équidistantes. Les sommets d'un polygone régulier peuvent-ils appartenir tous à un même réseau ?

PB 126 Problème de Sylvester.

Soit E un ensemble fini de points du plan, vérifiant la propriété suivante : quels que soient les points M et N de E, il existe toujours un troisième point P appartenant à E, distinct de M et de N, et alignés avec eux. Montrez que les points de E sont tous alignés.

PB 127 Temps d’attente.

On lance plusieurs fois de suite un dé normal, et l'on s'arrête lorsque les six faces sont apparues, chacune une fois au moins. Pour cela, combien faut-il de lancers, en moyenne ?

PB 128 Produit avec addition, soustraction et inversion.

Considérons comme opérations autorisées : l’addition, la soustraction et l'opération "unaire" qui consiste à prendre l'inverse d'un nombre (non nul). Comment peut-on obtenir le produit de deux réels donnés par une suite bien choisie de telles opérations ?

PB 129 Le problème des échelles.

Deux échelles AB et CD, de longueurs 3 m et 5 m, appuyées sur deux murs opposés. Sachant qu'elles se croisent en I à 1 m. du sol, calculez la distance BD des deux murs.
 
 

PB 130 Le jeu de la poule.

Trois personnages, nommés A, B et C, jouent à pile ou face. Tout d'abord, A joue avec B. Puis C joue avec le vainqueur du premier coup, et ainsi de suite: celui qui n'a pas participé à un coup rencontre le vainqueur de celui-ci au coup suivant. Est déclaré gagnant celui qui gagne deux coups consécutifs, et la partie s'arrête. Quelles sont les probabilités de gain de chacun des joueurs ?

PB 131 La poursuite héroïque.

Un pénitencier est situé dans un désert de sable. A 22 h, un prisonnier s'évade. Il marche droit devant lui, à 6 km/h.

A 3 h du matin, les gardiens constatent son évasion, mais le vent a effacé les traces du fugitif, et ils ignorent la direction que celui-ci a empruntée. Ils se lancent immédiatement à sa poursuite en voiture, à 60 km/h, en suivant une trajectoire telle qu'ils sont sûrs de le rencontrer. Quelle est donc cette trajectoire ? Avant quelle heure le rattraperont-ils ?

PB 132 Millésimes remarquables.

On remarque que : 1981 = 133 - 63. Quelle est la prochaine année dont le millésime est somme ou différence de deux cubes ?
 
 

PB 133 Somme partielle d’une série.

Considérez la somme : .

Quelle est la partie entière de S?
 
 
 
 

PB 134 Sillon d’un disque.

Sur un disque vinyle le sillon est situé dans une couronne circulaire de rayons r = 6,5 cm et R = 14,5 cm. Ce disque tourne à 33 1/3 tours par minute et dure 22 minutes.

Quelle est la longueur du sillon?
 
 

PB 135 Pentagone à construire.

Construire un pentagone plan ABCDE, connaissant les milieux IJKLM de ses côtés (I milieu de AB, etc.). Peut-on exécuter cette construction avec le compas seul ?
 
 

PB 136 Cent "neufs".

Soit N = 0,999..99 (cent chiffres "9"). Quels sont les deux cents premiers chiffres de sa racine carrée ?
 
 

PB 137 Produit de sinus.

Calculez le produit: P = Sin 1°. Sin 2°. Sin 3°... sin 88° Sin 89°. Sin 90°

PB 138 Fibonacci généralisé.

Soit la suite: u1=1, u2=1, u3=1, u4=3, u5=5, u6=9, u7=17,... où chaque terme est la somme des trois précédents. Que dire du rapport un+1/un lorsque n devient très grand ?

PB 139 Au hasard sur un cercle.

On prend dix points au hasard sur un cercle. Quelle est la probabilité pour qu'ils soient tous situés sur un même demi-cercle ?

PB 140 Triangles carrés.

Un triangle n'est pas carré mais un nombre triangulaire peut être carré : peut-on trouver tous les nombres qui sont triangulaires et carrés à la fois ?

PB 141 Anagrammes numériques.

On dresse la liste des nombres qui s'écrivent avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chacun pris une seule fois. On classe ces nombres dans l'ordre croissant. Il y en a 5040, de 1234567 à 7654321. Quel est le 3333ème ?

PB 142 Nombre de manières de vider un tonneau.

De combien de manières différentes (en tenant compte de l'ordre) peut-on vider un tonneau de 100 litres au moyen d'une bouteille de 1 l. et d'une bouteille de 2 l. (magnum) ?

PB 143 Factorielle 100.

Comment calculer 100 ! à l’aide d'une calculatrice de poche, programmable ou non, ne permettant d'afficher que les nombres inférieurs à 10100 ?

PB 144 Échafaudage exceptionnel.

Soient deux entiers naturels x et y vérifiant l'égalité : . Sont-ils nécessairement égaux ?
 
 

PB 145 Dix coefficients binomiaux pairs.

Existe-t-il une ligne du triangle de Pascal comprenant exactement dix termes pairs ?

PB 146 Trois calculateurs.

Soient trois personnes nommées A, B, C, en état de calculer et de raisonner. On veut leur faire deviner trois nombres inconnus x, y, z qui sont des entiers positifs. On leur indique que le produit de deux de ces nombres est 1 20 et que la somme de deux d'entre eux est 25. On donne à A la valeur de x, à B la valeur de y, à C la valeur de z.

Sur ce, chaque sujet déclare que ces données ne lui permettent pas de déterminer les deux inconnues qui lui manquent. Mais A se ravise alors et donne y et z. Quels sont ces deux nombres ?

PB 147 Partage diamétral.

Prouvez ou réfutez : étant donnés cent points sur un cercle, il y a toujours un diamètre de ce cercle qui partage le plan en deux demi-plans contenant chacun cinquante de ces points.

A quelles heures est-il possible d'intervertir l'aiguille des minutes et celle des heures, de sorte que la nouvelle position des aiguilles, ainsi obtenue, soit une position que ces aiguilles peuvent effectivement occuper dans leur course normale ?

PB 149 Goldbach à l'envers.

Quels sont les nombres premiers qui sont sommes de deux nombres composés ?

PB 150 Trouvez le triangle.

On dit toujours que les médiatrices d'un triangle sont concourantes. Étant donné trois droites concourantes du plan, peut-on construire un triangle dont elles soient les médiatrices ?

PB 151 Dénombrement géométrique.

Sur le dessin ci-dessous, combien voyez-vous de parallélogrammes ? Combien de triangles ? Généraliser.

PB 152 Deux carrés de somme deux.

Trouvez une formule générale pour deux carrés de rationnels dont la somme égale 2.

PB 153 Tirages de jetons.

Voici trois sacs ; l’un contient un jeton blanc et un noir, un autre contient deux blancs et un noir, et le troisième contient 3 blancs et un noir. On ne sait pas dans quel ordre les sacs sont placés. Un jeton blanc est tiré de l'un des sacs et un jeton noir est tiré d'un autre sac. Quelle est la probabilité de tirer un jeton blanc du dernier sac ?

PB 154 Triangle minimum.

Soient deux droites concourantes et un point donné situé dans l’un des angles formé par ces deux droites : tracez une droite passant par le point donné et formant, avec les deux droites données, le plus petit triangle possible.

PB 155 Quadrilatères de mémères.

Soit un quadrilatère convexe ABCD, où I, J, K, L, M, N sont les milieux de AB, BC, CD, DA, AC, BD. On nomme S l'intersection de AC et BD, et l'on achève, avec le point R, le parallélogramme SNRM. Démontrez que les quadrilatères RLAI, RIBJ, RJCK, RKDL ont même surface.

PB 156 Hyperbole de Kiepert.

Extérieurement au triangle ABC, on construit des triangles isocèles ABC', BCA', CAB' ayant le même angle à la base, de mesure a . Démontrez que les trois droites AA', BB' CC' sont concourantes en un point M et déterminez l'ensemble des points M lorsque a varie.

Quel est le plus grand carré qui peut être contenu dans un cube d'arête 1 ?

PB 158 Construction géométrique.

Par un point P donné peut-on mener une droite qui coupe les côtés d'un angle donné xOy suivant un segment MN de longueur donnée ?
 
 
 
 

PB 159 Points numérotés.

On dispose sur un cercle les nombres de 1 à 10. Montrez qu'il y a forcément trois nombres, consécutifs sur le cercle, et dont la somme est supérieure ou égale à 17. Peut-on remplacer, dans cet énoncé, 17 par 18 ?

PB 160 Trouvez le triangle équilatéral.

Soit, dans un plan, un triangle ABC équilatéral et un point M tel que MA = 5, MB = 3, MC = 4. Calculez AB.

PB 161 Rapporteur de prof de maths.

Comme tout professeur de mathématiques, je possède un rapporteur de tableau. Il est suspendu à un clou dans ma classe. Et j'ai remarqué que la verticale de ce clou passe toujours par la même division du rapporteur. Quelle est cette division ?

PB 162 Chaussettes australiennes.

J'ai quatre paires de chaussettes à accrocher côte à côte sur un séchoir. Les chaussettes de chaque paire sont identiques, mais les paires sont de couleurs différentes. Combien d'assortiments de couleurs peut-on avoir en tout si l'on interdit à deux chaussettes identiques de se côtoyer ?

PB 163 Triangle équilatéral maximum.

Déterminez le plus grand triangle équilatéral dont les côtés passent par trois points A, B, C donnés.

PB 164 Entiers aux sommets d’un cube.

Disposez huit entiers positifs distincts, chacun à un sommet d'un cube, de sorte que le produit des quatre entiers situés aux sommets d'une face soit le même pour les six faces, et qu'il soit le plus petit possible.

PB 165 Ligne brisées rectangles.

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Pour quelles valeurs de n existe-t-il, dans l'espace à trois dimensions, une ligne brisée fermée simple à n côtés dont les côtés consécutifs soient perpendiculaires. Et si l'on exige de plus que les côtés soient égaux ?

Je rappelle qu’une ligne brisée fermée est une suite de segments [A1,A2], [A2,A3],... [An-1, An], [An,A1] non réduits à un point , qu'on appelle les côtésde la ligne brisée. Elle est simple si les côtés non consécutifs ne se coupent pas et si les côtés consécutifs n'ont qu'un sommet en commun.

PB 166 Cube évidé.

Dans un cube d'arête donnée a, on creuse trois trous cylindriques dont les axes sont les droites qui joignent les centres des faces parallèles et dont le diamètre, le même pour les trois trous, est égal à l'arête du cube. Quel est le volume de la partie restante ?

PB 167 Carrés - cube.

Le cube d'un entier peut-il être la somme des carrés de deux entiers consécutifs ?

PB 168 Partage d’un cube.

Démontrez qu’il existe un entier N, tel que pour tout , on puisse partager un cube en n cubes plus petits, égaux ou non. Donnez une valeur de N.

Bien sûr, la plus petite valeur de N sera la meilleure.

PE 1 Suites de Fibonacci et de Lucas.

La suite de Fibonacci est définie par F0 =0, F1=1, Fn = Fn-1 + Fn-2, et la suite de Lucas par Lo = 2, L1 =1, Ln = Ln-1+ Ln-2. Quels sont les nombres (comme 1, 2, 3) qui sont à la fois des termes de la suite de Fibonacci et des termes de la suite de Lucas ?
 
 

PE 2 Du riz pour tous.

Entre 1950 et 1960, le prix du riz a augmenté en France de 32%. Mais dans cette même période, le riz de luxe a augmenté de 25% et le riz ordinaire de 15%. Comment expliquer ce phénomène ? (Construire un modèle qui prouve que c'est possible.)
 
 

PE 3 Nombre de solutions d’une équation.

Combien l'équation cos x + ln x = 0 a-t-elle de solutions ?
 
 

PE 4 Lieu géométrique réticent.

Soient A et B deux points de l'espace. Déterminez l'ensemble des points M tels que .
 
 

PE 5 Construction d’un trapèze.

Construisez un trapèze, connaissant les longueurs des diagonales et des côtés non parallèles.

PE 6 Inégalité.

Démontrez que pour tout entier n > 0 , .
 
 

PE 7 Croix du Sud.

La latitude de Canberra est 35° 19' S. A son point le plus haut dans le ciel, on peut voir, à Canberra, la plus basse des étoiles de la Croix du Sud sous un angle de 62° 20' au-dessus de l'horizon austral. On peut considérer que les rayons de lumière venant de cette constellation, vus de la Terre, sont parallèles. Quelle est la latitude la plus au nord à laquelle il est possible de voir en entier la Croix du Sud?

PE 8 Combinaisons égales.

Trouvez tous les entiers naturels x, y tels que : 

PE 9 Relation métrique dans le triangle.

Si l'on désigne par O le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC, par H, K, L ses projections sur les côtés, par R et r les rayons des cercles circonscrit et inscrit, montrez qu'alors on a : OH + OK + 0L = R + r.
 
 

PE 10 Polygone dans un polygone.

Soit un polygone convexe du plan : A1A2...An. Un point M intérieur à ce polygone se projette orthogonalement en H1 sur A1A2, en H2 sur A2A3,..., en Hn-1 sur An-1An et en Hn sur AnA1.

Déterminez l'ensemble des points M tels que l'aire du polygone H1 H2...Hn soit égale à une constante S donnée.

PE 11 Cartes à jouer.

On tire 13 cartes d'un jeu de 52, au hasard, sans remise. Quelle est la probabilité pour que les quatre couleurs (coeur, carreau, trèfle, pique) soient représentées? Généralisation?
 
 
 
 

PE 12 Parallélépipède rectangle.

On donne deux réels F > O et L > O. Quelles conditions doivent-ils vérifier pour qu'il existe un parallélépipède rectangle dont F soit la somme des aires des faces et L la somme des longueurs des arêtes? Quel est alors, parmi les solutions, le parallélépipède de volume maximum?

Montrez que pour tout entier naturel n > 0,  > 1.
 
 

PE 14 Dominos généralisés.

La figure 1 représente une boîte rectangulaire de 10 sur 11 où l'on a rangé 55 dominos généralisés, allant du double 0 au double 9, mais on a omis d'indiquer les lignes de séparation entre les dominos. On demande de retrouver ces lignes, qui définissent le contour des pièces.

PE 15 Enveloppe.

Soit ABC un triangle, un point M du côté BC, I et J les centres des cercles inscrits dans les triangles AMB et AMC.

a) Montrez que, lorsque M décrit BC, le cercle de diamètre IJ recoupe BC en M et en un autre point, qui est fixe.

b) Déterminez l'enveloppe de la droite IJ et le point où cette droite touche son enveloppe (point caractéristique).

PE 16 Jeu de 4 21.

Au jeu de "4 21", on lance trois dés normaux et, si l'on obtient 4, 2, 1 (dans un ordre quelconque) on a gagné. Si, au premier lancer, un seul des chiffres manque, on conserve les deux autres dés et on relance celui qui a donné le mauvais résultat. Quelle est la probabilité de gagner en un ou deux coups ?

PE 17 Construction d’un quadrilatère.

Construire un quadrilatère inscriptible (dans un cercle), connaissant les longueurs de ses côtés.

PE 18 Triangles remarquables.

Le triangle dont les côtés mesurent 4, 5, 6 est moins célèbre que le triangle 3, 4, 5 mais il possède aussi une particularité : l'un de ses angles est double d'un autre. Quels sont les triangles à côtés entiers qui sont dans le même cas?
 
 

PE 19 Tétraèdre équifacial.

Les quatre faces d'un tétraèdre ont même surface. Montrez qu'elles sont isométriques.
 
 

PE 20 Minimum lié.

Quelle est la plus petite valeur possible du produit si x, y, z, sont trois réels > 0 dont la somme vaut 1 ?
 

Problèmes publiés dans "le nouvel Archimède"
 

P 1 Ellipse inscrite.

Inscrire, dans un triangle donné, une ellipse d'aire maximum.
 
 

P 2 Intégrale impropre.

L'intégrale  est-elle convergente ou divergente ?
 
 

P 3 Un ensemble de nombres composés.

Démontrez qu'il existe un entier positif k tel que k.2n +1 soit composé pour tout entier n positif.
 
 

P 4 Limite cachée.

Déterminez la limite de la suite : .
 
 

P 5 Encore Fibonacci.

La suite de Fibonacci est définie par : F0 =0, F1=1, Fn = Fn-1 + Fn-2 pour n > 2. Démontrez qu'elle comporte une infinité de termes qui se terminent par quatre zéros et déterminez le plus petit.

P 6 Trente demi-droites.

Soient 30 demi-droites de même origine, dans l'espace usuel, de dimension 3. Démontrez qu'il y en a au moins deux dont l'angle est inférieur ou égal à 45°. Et en dimension 4 ?

P 7 Un produit suspect.

J'ai lu dans une ancienne revue l'énoncé suivant : "Démontrer que le produit , étendu à toutes les racines de l'équation a41 =1, est égal à 833."

Qu'en pensez-vous?
 
 

P 8 Fraction polynomiale.

Pour n et k entiers naturels, On pose : 

Montrez que Gn,k est un polynôme.
 
 

P 9 Fonctions semblables.

Deux fonctions f et g de R dans R seront dites semblables s'il existe une bijection h de R dans R telle que g = h o f o h-1.

Les fonctions sin et cos sont-elles semblables ?
 
 

P 10 Inéquation fonctionnelle.

Déterminez toutes les fonctions f de R dans R, partout définies, vérifiant les deux conditions :

Pour tout x et tout y réels,

f(x+y) < f(x)+f(y) (1)

(2)

Même problème si l’on remplace (2) par :

et

.
 
 

Notez que l'on ne suppose pas f continue.

P 11 Distance moyenne.

On prend deux points au hasard dans un carré de côté 1. Quelle est, en moyenne, la distance de ces deux points?

P 12 Décomposition en somme de carrés.

Pour décomposer un entier naturel n en somme de carrés, on pose j(x) = x - (E(?x))2 où E est la fonction "partie entière", et l'on calcule successivement n1 = j(n), n2 = j(n1), etc..., avec n = a12 + n1, n1=a22+ n2,... en sorte que : n = al2 + a22 +...+ as2 . On note y(s0) le plus petit x pour lequel s = s0; par exemple, y(3) = 3, y(4) = 7, y(5) = 23. Comment déterminer y(s) ?

Montrez que :, où lim e(s)= 0 et où c est une constante dont on donnera une approximation.

P 13 Inégalité quadrilatérale.

Si A, B, C, D, sont quatre points d'un espace euclidien, I et J les milieux de AC et BD, démontrer: AB+BC+CD+DA > AC+BD+2IJ.

Dans quels cas a-t-on l'égalité?
 
 

P 14 Anneau.

Soit A un anneau tel que l'on ait, quels que soient les éléments x et y de A : (xy)2 = x2y2. Démontrez que cet anneau est commutatif.

P 15 Cisaille d’atelier.

La figure ci-dessous représente une cisaille d'atelier destinée à couper des pièces métalliques. Elle est composée d'une lame courbe pivotant autour du point O et d'une partie rectiligne fixe AB. Déterminez la courbe de la lame pour que l'angle de coupe a reste constant au cours de la coupe.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

P 16 Graphe planaire.

Un graphe planaire est un dessin réalisé sur un plan, comprenant des points appelés sommets, reliés entre eux par des arcs de courbes simples appelés arêtes, ces arêtes ne se recoupant pas ailleurs qu'aux sommets, deux sommets étant reliés par une arête au plus (voir figures 1 et 2). Quel est donc le nombre maximum d'arêtes d'un graphe planaire à n sommets ?

P 17 CNS de primalité.

Soit n un entier naturel impair et r la partie entière de la racine carrée de n. Prouvez ou réfutez l'assertion suivante : le nombre n est premier si et seulement si le nombre  est divisible par n.

P 18 Géométrie descriptive.

On donne dans un plan horizontal un triangle abc qui est la projection sur ce plan d'un triangle équilatéral ABC de l'espace. Construire la projection frontale a'b'c' de ce triangle.
 
 

P 19 Équation diophantienne.

Résoudre en nombres entiers l'équation ; .
 

RUBRIQUE ALGORITHMIQUE ET RAISONNEMENT LOGIQUE TENUE PAR CHRISTIAN BOYER dans le petit Archimède

ARL 66-1 Jeu des permutations

Le but de ce jeu est de remettre dans l'ordre numérique croissant les neuf chiffres de 1 à 9 mélangés. Pour jouer, on donne le nombre de chiffres à renverser à partir de la gauche.

Exemple:

La situation de départ (connue du joueur) est 8 3 4 9 7 6 5 1 2

Si je joue 3, alors la suite devient .... 4 3 8 9 7 6 5 1 2

Puis, si je joue 4, 9 8 3 4 7 6 5 1 2

9, 2 1 5 6 7 4 3 8 9

5, 7 6 5 1 2 4 3 8 9

7, 3 4 2 1 5 6 7 8 9

2, 4 3 2 1 5 6 7 8 9

4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9

J'ai gagné en 7 coups !

Peut-être trouverez-vous un algorithme permettant de limiter au minimum le nombre de coups pour gagner. Et d'ailleurs, quel est le nombre N dont on peut dire: "Quelle que soit la situation de départ, le gain est possible en N coups au maximum ?"
 
 

En combien de coups résolvez-vous 9 5 6 4 2 3 7 1 8 ?
 
 

ARL 66-2 Touches voisines

Le clavier des touches numériques d'une calculatrice se présente souvent ainsi :
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ce jeu se joue à 2. On part d'un nombre quelconque, par exemple 40. Le premier joueur enlève un nombre de 1 à 9, selon son choix. Admettons qu'il joue 6, le nombre devenant alors 34.

Le joueur suivant a alors le choix entre les touches voisines de 6, c'est-à dire 2, 3, 5, 8 et 9 (il ne peut rejouer 6). Chacun joue à tour de rôle suivant cette règle des touches voisines, et le perdant est celui qui est obligé de passer en zone négative (zéro n'étant pas négatif) .
 
 

Exemple:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Le premier joueur a alors perdu, car quoi qu'il joue (5, 6 ou 8) le nombre devient négatif.

Un algorithme de gain existe-t-il, et si oui quel est-il ? quel est alors le joueur avantagé ?
 
 

ARL 68-1 Au sujet de Pythagore.

Lorsque l'on résout l’ équation x2 + y2 = z2 dans N, on trouve une infinité de solutions, dont par exemple : 32 + 42 = 52 ou encore 52 + 122 = 132.

Le plus petit entier naturel z tel que z2 soit décomposable en deux sommes différentes de deux carrés non nuls est 25, en effet:

252 = 72 + 242

252 = 152 + 202

Quels sont les plus petits z de N dont le carré est décomposable en n sommes différentes de deux carrés non nuls ? (n= 3, 4, 5).

ARL 68-2 Sur les nombres premiers.

Étudions la proportion des nombres divisibles par les n premiers nombres premiers, qui sera notée P(n).

Il est évident qu’un nombre sur deux est divisible par 2. Donc P(1)= 50 %.

Il y a 2/3 de nombres divisibles par 2 ou 3, c'est-à-dire que P (2)= 66,67 %.

Combien supprime-t-on de nombres (en proportion) lorsque l'on a appliqué les critères classiques de divisibilité par 2, 3, 5, 7, 11 et 13 ?

Jusqu'à quel nombre premier faut-il diviser pour ôter 90 % de nombres non premiers ?
 
 

ARL 71-1 Sommes de puissances.

Trouvez tous les (a, b, c, d, e, f, g, h) appartenant à l'ensemble : { 0,1,2, . ..,20}8 vérifiant :

Il faut bien sûr qu'au moins un élément de {e, f, g, h} soit différent de chacun des éléments de {a, b, c, d}.
 
 

ARL 71-2

Trouver tous les entiers naturels égaux à la somme de leurs chiffres élevés à la puissance n (n=2, 3, 4).
 
 

ARL 73 ? en réseau de résistances.

Quel est le plus petit nombre de résistances parfaites de 1 Ohm nécessaires à la création d'un réseau qui a une résistance équivalente de ? ± 10-6 Ohm ?
 
 

On est tenté d'utiliser le développement en fractions continues pour résoudre ce problème. La première réduite de ? satisfaisant à l'intervalle de tolérance est :

.

Le développement en fraction continue est alors : 

Il est alors facile de dessiner le réseau correspondant :
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

26 résistances sont nécessaires pour réaliser ce réseau. Ce nombre de 26 serait-il minimal ? Non.

L'auteur de cette rubrique a réussi à construire un réseau de 18 résistances. Ferez-vous aussi bien ou même mieux ?
 
 

ARL 75 - Le jeu du poisson

Existe-t-il une stratégie pour le jeu suivant ?

On dispose des jetons sur un damier rectangulaire. Deux joueurs enlèvent à tour de rôle les jetons de la manière suivante. Un jeton quelconque étant choisi par le joueur qui a le trait, celui-ci doit supprimer tous les jetons qui se trouvent dans le quadrant Nord-Est limité par le jeton choisi (voir figure) et ainsi de suite. Le perdant est celui qui prend le poison (jeton situé dans le coin Sud-Ouest).
 
 

ARL 77 - Le jeu du 9-5 (cf. PB 105)

Disposez côte-à-côte 14 pions sur une ligne. Séparez-les en deux ensembles de 9 et 5 pions. La situation suivante s'offre alors à vous :
 
 
 
 

Le jeu se joue à deux et chacun enlève à son tour un, deux ou trois pions consécutifs. Les pions ôtés ne doivent donc être séparés, ni par un trou vide, ni par un autre pion. Le gagnant est celui qui arrive à prendre le dernier pion.

Y a-t-il un joueur qui est sûr de gagner, et si oui, quelle doit être sa stratégie ?
 
 

ARL 79 Comment nettoyer votre pinceau ?

En cette soirée de dimanche, vous venez enfin de finir de repeindre votre cuisine, qui en avait d'ailleurs bien besoin, et vous vous préparez à bien nettoyer votre pinceau pour qu'il puisse vous resservir à peindre le couloir un de ces prochains dimanches.

Vous vous rendez compte qu'une fois bien égoutté, il reste toujours la même quantité v0 de peinture dans votre pinceau. Comme vous savez qu'il ne faut surtout pas laisser sécher cette peinture, vous vous préparez à rincer votre pinceau avec le diluant du voisin droguiste. Vous en avez exactement V cm3 que vous partagez en n volumes égaux v car, comme vous êtes prévoyants, vous ferez n rinçages.

Vous trempez votre pinceau dans le 1er volume de diluant, vous mélangez bien, et vous égouttez. Il vous reste toujours v0 cm3 dans votre pinceau, mais cette fois-ci d'un mélange diluant-peinture. Vous recommencez la trempe dans le second volume de diluant pour diminuer la proportion de peinture, et ainsi de suite...

Comme vous souhaitez qu'à la fin des n opérations, il reste dans votre pinceau seulement p fois moins de peinture qu'avant le nettoyage, quelle devait être la quantité minimale V de diluant que vous deviez posséder ?

Si nous parlons chiffres, votre pinceau égoutté retient toujours 1 cm3 quelle que soit la nature du liquide, et il ne vous restait plus que 200 cm3 de diluant. Vous considérez que le nettoyage est bon lorsqu'il reste un milliard de fois moins de peinture qu'avant rinçage. Combien faites-vous de rinçages ?
 
 

ARL 81 cubes calendriers.

Vous connaissez certainement ces cubes qui comportent une lettre de l'alphabet sur chacune des faces, et qui, par association, peuvent donner tous les mois de l'année.

Ainsi avec les trois cubes suivants :
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Vous pouvez obtenir en les combinant correctement JAN, FEV, jusqu'à DEC .

Essayons sur le même principe d'établir un calendrier complet.

JOUR - Nous désirons pouvoir obtenir les trois premières lettres de chaque jour de la semaine, soit LUN, MAR, MER, JEU, VEN, SAM, DIM. Il suffit des 12 lettres LUNMAREJVSDI, soit 4 (12/3) lettres par volume. Ici, il serait bien sûr très facile d'utiliser des cubes, car nous aurions à notre disposition davantage de faces que nécessaire.

Mais on peut penser pouvoir utiliser 3 tétraèdres (ces pyramides à base triangulaire ayant 4 faces). Est-ce possible ?

DATE - Comment obtenir 01, 02, 03... 29, 30, 31 avec deux cubes ? Vous arriverez facilement à une des solutions en considérant que le "9" n'est qu'un "6" retourné.

MOIS- Le défaut des cubes donnés au début de ce problème est que les mois de juin et de juillet ne sont pas différenciés puisqu'ils sont indiqués par les trois mêmes premières lettres: JUI. Trouverez-vous des cubes permettant de différencier ces deux mois (par exemple par J U N et J U L) ?

ANNEE - Le but sera ici de pouvoir obtenir grâce à quatre cubes, un calendrier valable le plus longtemps possible à partir de 1982. Il est évident qu'on ne peut obtenir des cubes pouvant compter jusqu'en 9999, mais jusqu'à quelle année pourrez-vous aller sans interruption ? Le concours est ouvert, et j'attends vos nombreuses propositions : la meilleure solution des lecteurs sera publiée dans cette rubrique.
 
 

ARL 84 Complétez suivant les pointillés !

Le problème de ce mois est extrait de la rubrique ''Maths et Bluettes'' de Pierre de Jumièges (numéro d'avril 82 de la revue ''Arts et Métiers'').

La phrase inscrite ci-dessous est évidemment correcte:

Complétez de la même façon
 
 

ARL 86-1 Nombre de zéros à la fin de 1982!

Les factorielles sont de très gros nombres. Ainsi un rapide emploi de la formule de Stirling nous indique que 1982! ne comporte pas moins de 5677 chiffres. Mais par combien de zéros se termine le nombre 1982! ?
 
 

ARL 86-2 Triangle de Pythagore.

Prouvez que dans tout triangle de Pythagore (c’est-à-dire rectangle à cotés entiers), la longueur du rayon du cercle inscrit est toujours un nombre entier.

ARL 91-1 Un 421 particulier.

Pour tout u0 entier naturel, on pose un+1=3un+1 si un est impair, et un+1 = un/2 si un est pair. Alors, à partir d'un certain rang N, on trouve la périodicité : 4, 2, 1, 4, 2, 1 etc... Pourquoi ?
 
 

ARL 91-2 Pyramides de nombres.

Trouver toutes les pyramides ayant une base de n nombres, et comportant tous les nombres de 1 à N = n(n + 1)/2. Chaque nombre de la pyramide (sauf ceux de la base) doit s'obtenir par soustraction des 2 nombres de la ligne inférieure.

Exemple :

ARL 93-1 Les 5 explorateurs, le singe, et les noix de coco.

Après avoir amassé toute la journée des noix de coco, cinq explorateurs décident de se partager le tas le lendemain matin.

Mais pendant la nuit, l’un d'entre eux se réveille pour prendre sa part. Pour que le partage soit possible, il lance une noix de coco à un singe, prend exactement le cinquième du tas restant, et retourne dormir comme si de rien n'était...

Comme les quatre autres explorateurs ont eu la même idée que le premier, ils feront chacun de même en donnant une noix au singe, en s'appropriant le cinquième du tas (de ce qu'il en reste !), et en retournant dormir sans qu'aucun des autres ne s'en soit aperçu.

Au matin le partage prévu a bien sûr lieu. Une nouvelle noix donnée au singe permet de diviser le reste en cinq parts égales.

Combien le tas initial contenait-il au minimum de noix de coco ?
 
 

ARL 93-2 Le volume de Pythagore.

Les triangles de Pythagore ont déjà inspiré deux problèmes de cette rubrique: ARL 68-1, et ARL 86-2 .

Un tétraèdre de Pythagore est un tétraèdre ABCD où ABC, ABD, et ACD sont des triangles de Pythagore. Ainsi toutes les arêtes du volume sont de longueur entière et vérifient :

Quel est le plus petit volume de Pythagore ?
 
 
 
 

ARL 93-3 Périodicité des inverses.

Lorsque l'on calcule le développement décimal de 1/7, on s’aperçoit de la périodicité suivante:

1/7 = 0,142857142857142857...

On dira que sa période vaut 6. De même, la période de l'inverse de 3 vaut 1.

Quel est le plus petit nombre entier dont la période de son inverse vaut 11 ?
 
 

ARL 97 Précision militaire.

L'unité d'angle utilisée par les militaires (principalement pour le tir) n'est ni le degré, ni le grade, ni le radian, mais le millième.

Voici sa définition : le millième est l'angle sous lequel on voit un piquet vertical de un mètre situé à une distance de un kilomètre. Maintenant observez une boussole militaire. Et qu'y voyez-vous ? Elle est graduée en exactement 6400 millièmes.

Que pensez-vous de cette unité d’angle ?
 
 

ARL 99-1 : Série sans 9.

Vous savez certainement que la série harmonique, somme des inverses des entiers positifs, est divergente.

Mais que peut-on dire de la série obtenue à partir de la série harmonique, mais en supprimant tous les termes dont l’écriture décimale contient le chiffre 9 ?
 
 

ARL 99-2 : Suite auto-limitée.

On définit x1=0 et pour tout i : .

Peut-on avoir x50 000 ?
 
 

Soit la suite définie par :

A(1) = 0

A(2) = 2

A(3) = 3

A(i+3) = A(i) + A(i+1)

Peut-on affirmer : n est premier ssi n divise A(n) ?
 
 

AMI 1-2 Construction de points

Dessinons dans le plan, trois points :
 
 
 
 

Les lois de tracé de Pi pour i ? 4 sont :

- si i = 2k = (k+1) + (k-1), alors Pi se positionne dans l'alignement de Pk+1 et Pk-1de la manière suivante :
 
 

- si i = 2k+1 = (k+1)+k, alors Pi se positionne dans l'alignement de Pk+1 et Pk de la manière suivante :
 
 
 
 

Que peut-on dire de P25 ?