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QUIZZ FONCTIONS

FONCTIONS DE  DANS 
BORNES SUPÉRIEURES OU INFÉRIEURES
LIMITES - CONTINUITÉ LOCALE - CONTINUITÉ GLOBALE, UNIFORME
INJECTIVITÉ, SURJECTIVITÉ, MONOTONIE - INJECTIVITE ET CONTINUITE
POINTS FIXES
PÉRIODICITÉ
CARACTÈRE BORNÉ
ADDITIVITE
DÉRIVATION : FONCTIONS DÉRIVABLES . FONCTIONS DE CLASSE Ck - FONCTIONS DE CLASSE 
BRANCHES INFINIES
INTÉGRATION AU SENS DE RIEMANN
INTÉGRALES IMPROPRES

FONCTIONS DE  DANS : FONCTIONS DE  DANS  - COURBES PARAMÉTRÉES
TANGENTES - LONGUEUR D'UN ARC

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES :
FONCTIONS DE  DANS  : CONTINUITÉ EN UN POINT - DIFFERENTIABILITE EN UN POINT - EXTRÉMUMS -  INTÉGRALES

FONCTIONS DE  DANS 

réponse

FONCTIONS DE  DANS 
 

BORNES SUPÉRIEURES OU INFÉRIEURES

LIMITES

Si f admet une limite en , et si g n'en admet pas, alors f+g n'en admet pas.

Si f admet une limite finie en , et si g n'en admet pas, alors f+g n'en admet pas.

Si f et g sont définies sur , et , alors .

Si  est une famille de parties de  contenant  dont la réunion est un voisinage de  sur lequel f est définie, et si pour tout i, alors .

Une fonction définie sur  admet au moins une limite stricte à droite ou à gauche en au moins un point.

Si f possède une limite stricte nulle en tout point de , f est nulle sur au moins un intervalle non trivial de .

Une fonction définie au voisinage de  telle que pour tout x > 0, a pour limite l en . f 131

Une fonction définie au voisinage de  telle que pour tout x > 1,  a pour limite l en .

CONTINUITÉ LOCALE

Attention : nous utilisons la définition de la continuité sur une partie par la continuité de la restriction de la fonction à cette partie.
 

CL1 : Si f est définie au voisinage de  et , alors f est continue en .

Toute bijection de [0, 1] sur lui-même est continue en au moins un point.

Une fonction définie au voisinage d'un point et continue en ce point, est continue au voisinage de ce point.

Une fonction définie et continue sur une partie dense de  se prolonge en une fonction continue sur .

Une fonction quelconque définie sur  est toujours continue sur au moins une partie dense de .
 

CONTINUITÉ GLOBALE, UNIFORME

Une application de  dans  telle que l'image de tout intervalle est un intervalle est continue sur .
 

Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est lipschitzienne sur cet intervalle.

Si f est continue sur un intervalle fermé borné, il existe k et a >0 tels que  pour tous x et y dans I.

f est uniformément continue sur X sssi pour toutes suites  et  d'éléments de X.

f est uniformément continue sur X sss'il existe une fonction g définie sur [0, diamètre(X)[, de limite nulle en 0, telle que  pour tous x et y dans X.
 

INJECTIVITÉ, SURJECTIVITÉ, MONOTONIE

M1 : Une fonction injective sur  est monotone sur .

M2 : Une bijection de [0, 1] sur lui-même est monotone.

M3 : Une bijection de  sur lui-même est telle que  est réunion d'intervalles non triviaux sur lesquels f est monotone.

Une bijection de  sur lui-même est monotone sur au moins un intervalle non trivial.(ca 20)

M4 : une fonction f continue sur  est telle que  est réunion d'intervalles non triviaux sur lesquels f est monotone.

Une fonction continue sur   est monotone sur au moins un intervalle non trivial.(ca 21)

M4 : Une fonction continue et injective sur  est monotone sur .

M4 : La somme de deux fonctions monotones est monotone.

M4 : Le sous-ensemble de  formé des fonctions qui sont somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante en est un sous-espace vectoriel.

INJECTIVITÉ ET CONTINUITÉ

M5 : Une fonction continue sur  et injective sur une partie dense est injective sur .

Une fonction f continue en  et injective au voisinage de  est telle que sa réciproque est continue en f().

Une fonction continue et injective sur son ensemble de définition a une réciproque continue sur son ensemble de définition.

POINTS FIXES

Une fonction définie sur  qui réduit strictement les distances () possède un point fixe.

Si f est continue sur un intervalle I et f(I)=I, alors f possède un point fixe appartenant à I.
 

PÉRIODICITÉ

P1 : une fonction périodique non constante possède une plus petite période >0.

P2 : la somme de deux fonctions périodiques est périodique.

P3 : la somme d'une fonction T1-périodique et d'une fonction T2-périodique ( T1et T2 étant >0 et les deux fonctions définies sur )  est périodique si et seulement si T2/T1 est rationnel.

P4 : la somme de 2 fonctions continues sur  respectivement T1-périodique et  T2-périodique ( T1 et T2 étant >0 )  est périodique si et seulement si T2/T1 est rationnel.
 

CARACTÈRE BORNÉ

Une fonction définie sur  est bornée sur au moins un intervalle non trivial.

Si f est réglée sur [a, b] (i.e. admet une limite stricte à droite en tout point de [a, b[ et une limite stricte à gauche en tout point de ]a, b]), alors f est bornée sur [a, b].

ADDITIVITE

Une fonction additive sur  (pour tout x et y ) est - linéaire ( )

Une fonction additive sur   et monotone sur  est - linéaire

Une fonction additive sur  et continue en 0 est - linéaire
 

DÉRIVATION

D1 : Si f est définie au voisinage de  et , alors f est dérivable en  et .

Une fonction définie au voisinage de  et dérivable en  est continue au voisinage de .

D2 : Si f est définie au voisinage de  et , alors f est continue en .
 

Une fonction dérivable sur   et continue en  a une dérivée à droite et à gauche en 0.

Une fonction dérivable bornée sur   et continue en  a une dérivée à droite et à gauche en 0.

Une fonction f dérivable sur   et continue en  est telle que le taux d'accroissement  a une limite quand x tend vers .

Une fonction dérivable sur , définie en  dont la dérivée a une limite stricte en  est dérivable en .

Une fonction dérivable sur , continue en , dont la dérivée à une limite stricte en 0 est dérivable en .
 

Une fonction dérivable au voisinage de  telle f'()>0 est croissante sur un voisinage de .
Une fonction dérivable au voisinage pointé de  et telle que est croissante sur un voisinage de.
Une fonction dérivable au voisinage de  telle f'()>0 est telle que  au voisinage à gauche de  et  au voisinage à droite.

Une fonction dérivable au voisinage de  présentant un maximum en  est telle que  au voisinage à gauche de et  au voisinage à droite.ca4
 
 
 

La dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle fermé est bornée sur cet intervalle.
 

Si la dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle fermé est bornée, elle atteint ses bornes sur cet intervalle.

Une fonction dérivable sur  a une dérivée localement bornée (c'est-à dire bornée sur tout intervalle borné).herbier

La dérivée d'une fonction dérivable sur  vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. (lfa 583)

Une fonction continue sur  est dérivable en au moins un point.

Une fonction continue sur  et dérivable en tout point d'une partie dense est dérivable partout. H4

Une fonction dérivable au voisinage de  a une dérivée continue en .

La dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle est continue en chaque point d'une partie dense de cet intervalle.
 

règle de L'hospital
Forum 54

dérivable strictement croissante f'=0 : forum 57 1 et 2 p 46 3 p. 79  oct 2000 puis bull 206 208  F 129

Ck

Une fonction f est de classe  sur un intervalle ouvert I sssi la fonction t définie par  est prolongeable en une fonction continue sur I².
F 134  lfa p 582
 

FONCTIONS DE CLASSE  (= INFINIMENT DÉRIVABLES).

Si une fonction est de classe  en , alors elle l'est à son voisinage.

Si f est de classe  en  et que toutes ses dérivées y sont nulles, alors elle est nulle au voisinage de 0.

Si une fonction est de classe  sur  et nulle sur un intervalle non trivial, alors elle est nulle sur .

Si f et g sont deux fonctions de classe  au voisinage de , nulles en , g étant non nulle au voisinage pointé de  et telles que f/g possède un prolongement par continuité h en , alors h est infiniment dérivable en . (se3, f 114)

Si la série de Taylor de f en  a un rayon de convergence non nul (i.e.  converge pour x assez voisin de ), alors elle est égale à la somme de sa série de Taylor au voisinage de .
 

BRANCHES INFINIES

Si la courbe de f admet une direction asymptotique horizontale en  (), alors elle admet une asymptote horizontale ().

Si f est dérivable au voisinage de  et , alors la courbe de f admet une direction asymptotique de pente a en  ().

Réciproque de l'assertion précédente.

Si f est dérivable au voisinage de  et si la courbe de f y admet une  asymptote horizontale alors .

Si f est dérivable et monotone au voisinage de  et si la courbe de f y admet une asymptote horizontale  alors .

INTÉGRATION AU SENS DE RIEMANN

I1 : Une fonction bornée sur un intervalle fermé est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.

I2 : Une fonction à variation bornée sur un intervalle fermé (i.e. ) est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.

I3 : Réciproque de I2.

I2 : Une fonction ayant une primitive sur un intervalle fermé est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.

I3 : Une fonction bornée ayant une primitive sur un intervalle fermé borné est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.

I4 : Si f est localement intégrable au sens de Riemann sur un intervalle I et g est localement intégrable au sens de Riemann sur un intervalle J contenant f(I), alors gof est intégrable au sens de Riemann sur I.
 

Sommes de Riemann
Forum 53
intégrale et dérivée : forum 77.
interversion lim et int : forum 64.
Intégrales à paramètres : F 125

INTÉGRALES IMPROPRES

Si f est continue et positive sur , alors .

Si f est uniformément continue et positive sur , alors . (gd p. 148)
 

FONCTIONS DE  DANS 

FONCTIONS DE  DANS .

C1 : Théorème de Rolle complexe ?
Si f est continue sur [a, b] (a < b), dérivable sur ]a, b[, et f(a) = f(b) , alors il existe c de [a, b] tel que .

C2 : Théorème de prolongation de la dérivée complexe ?
Si f est continue au voisinage de , dérivable au voisinage pointé de , et  si , alors est dérivable en .

C3 : Règle de l'Hospital complexe ?.
Si f et g sont continues au voisinage de , nulles en  mais pas ailleurs, dérivables au voisinage pointé de , alors  si .lfa

COURBES PARAMÉTRÉES

CP1 : il existe une surjection continue de  dans  (autrement dit, une courbe continue remplissant tout le plan)

CP2 : il existe une bijection continue de dans   (autrement dit, une courbe continue sans point double remplissant tout le plan)
 
 

TANGENTES
Si  f est une fonction de  dans , (C) =  la courbe associée, on dit que la courbe (C) possède une tangente en  si  f est continue en  et si le vecteur normé  possède une limite à droite non nulle et une limite à gauche non nulle quand t tend vers  qui sont égales (cas du rebroussement) ou opposées (cas du point ordinaire ou d'inflexion) ; la tangente est alors par définition la droite passant par  dirigée par l'un de ces vecteurs-limites.

CP 1 : si (C) possède une tangente en , alors f est dérivable en .

CP 2 : si f est de classe  au voisinage de  et si l'un des vecteurs dérivés de f en  est non nul, alors (C) possède une tangente en , dirigée par ce vecteur dérivé.

CP 3 : si f est de classe  au voisinage de  et si tous les vecteurs dérivés de f en  sont nuls, alors (C) ne possède pas de tangente en .

CP4 : Si f est une fonction de  dans  définie au voisinage de  et si , alors la courbe de f possède une tangente au point d'abscisse .

LONGUEUR D'UN ARC

CP 5 : si f (de nouveau de  dans ) est continue sur [0, 1], alors la longueur de l'arc  ( égale à la borne supérieure des sommes  décrivant les subdivisions de [0, 1] ) est finie.

CP 6 : Si  est une suite de fonctions de  dans  continues sur [0, 1] convergeant uniformément vers une fonction f, alors la suite des longueurs des arcs  converge vers la longueur de l'arc .
 
 

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

FONCTIONS DE  DANS .

CONTINUITÉ EN UN POINT

PV 1 : Si les deux applications partielles sont continues en un point, la fonction est continue en ce point ; plus précisément, si f est définie au voisinage de  et si , alors .
forum 104

PV 2 : Si une fonction est continue dans toutes les directions, alors elle est continue ; plus précisément, si f est définie au voisinage de  et si pour tout (u , v), , alors .

PV 3 : Si une fonction est continue sur toute courbe continue passant par un point, alors elle est continue ; plus précisément, si f est définie au voisinage de  et si pour toute fonction g de  dans  continue en 0 telle que g(0) =  on a  , alors .

DIFFÉRENTIABILITÉ EN UN POINT

PV4 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est continue en ce point et y admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable en ce point.

PV5 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est dérivable dans toutes les directions en ce point, alors elle est continue en ce point.

PV6 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est continue en ce point et dérivable dans toutes les directions en ce point , alors elle est différentiable en ce point.

PV7 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est dérivable dans toutes les directions en ce point et que le nombre dérivé suivant tout vecteur est toujours nul, alors elle est continue en ce point.

PV8 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est continue en ce point, dérivable dans toutes les directions en ce point et que le nombre dérivé suivant tout vecteur est toujours nul, alors elle est différentiable en ce point.

PV9 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est dérivable sur toute courbe dérivable passant par un point, alors elle est différentiable ; plus précisément, si f est définie au voisinage de  et si pour toute fonction g de  dans  dérivable en 0 telle que g(0) =  est dérivable en 0,  alors f est différentiable en .

PV10 : Si une fonction est différentiable en un point, elle est continue au voisinage de ce point.

PV11 : Si une fonction est différentiable au voisinage d'un point, les dérivées partielles sont continues en ce point.

PV12 : Si f définie sur un ouvert connexe U est telle que sa dérivée partielle  existe et est nulle sur cet ouvert, alors f ne dépend pas de y, c'est-à-dire que pour tout   et tout de U, .

PV13 : Si f définie sur un ouvert convexe U est telle que sa dérivée partielle  existe et est nulle sur cet ouvert, alors f ne dépend pas de y, c'est-à-dire que pour tout   et tout de U, .

PV12 : Si une fonction admet

EXTRÉMUMS

PV13 : Si la restriction d'une fonction à toute droite passant par un point admet un minimum local en ce point, alors la fonction admet un minimum local en ce point.

PV14 : Si une fonction continue sur un ouvert U possède un minimum non global sur U, elle y possède aussi un maximum.

PV15 : Si une fonction de classe C1  sur un ouvert U possède un minimum non global sur U, elle y possède aussi un autre point singulier.
mathworld.wolfram.com/OnlyCriticalPointinTownTest.html
 

INTÉGRALES
 
 
 

FONCTIONS DE  DANS 

Une fonction est dérivable en un point ssi elle est différentiable en ce point comme fonction de  dans  et si sa différentielle est -linéaire.
 
 
 
 
 
 
 
 
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© Robert FERRÉOL 2006