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COURBES PARAMÉTRÉES
TANGENTES - LONGUEUR D'UN ARC
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QUIZZ FONCTIONS
DANS
FONCTIONS DE
DANS :
FONCTIONS DE
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COURBES PARAMÉTRÉES
TANGENTES - LONGUEUR D'UN ARC
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES :
FONCTIONS DE 
DANS
: CONTINUITÉ EN UN POINT - DIFFERENTIABILITE EN UN POINT
- EXTRÉMUMS - INTÉGRALES
FONCTIONS DE
DANS
FONCTIONS DE
DANS
BORNES SUPÉRIEURES OU INFÉRIEURES
LIMITES
Si f admet une limite en 
,
et si g n'en admet pas, alors f+g n'en admet pas.
Si f admet une limite finie en ,
et si g n'en admet pas, alors f+g n'en admet pas.
Si f et g sont définies sur , 
,
et 
, alors 
.
Si 
est une famille de parties de
contenant
dont la réunion est un voisinage de
sur lequel f est définie, et si pour tout i
,
alors 
.
Une fonction définie sur
admet au moins une limite stricte à droite ou à gauche en
au moins un point.
Si f possède une limite stricte nulle en
tout point de ,
f
est nulle sur au moins un intervalle non trivial de .
Une fonction définie au voisinage de 
telle que pour tout x > 0, 
a
pour limite l en .
f 131
Une fonction définie au voisinage de
telle que pour tout x > 1, 
a pour limite l en .
CONTINUITÉ LOCALE
Attention : nous utilisons la définition de la
continuité sur une partie par la continuité de la restriction
de la fonction à cette partie.
CL1 : Si f est définie au voisinage de
et 
, alors
f
est continue en .
Toute bijection de [0, 1] sur lui-même est continue en au moins un point.
Une fonction définie au voisinage d'un point et continue en ce point, est continue au voisinage de ce point.
Une fonction définie et continue sur une partie
dense de
se prolonge en une fonction continue sur .
Une fonction quelconque définie sur
est toujours continue sur au moins une partie dense de .
CONTINUITÉ GLOBALE, UNIFORME
Une application de
dans telle
que l'image de tout intervalle est un intervalle est continue sur .
Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est lipschitzienne sur cet intervalle.
Si f est continue sur un intervalle fermé
borné, il existe k et a
>0 tels que 
pour tous x et y dans I.
f est uniformément continue sur X
sssi pour toutes suites 
et 
d'éléments
de X
.
f est uniformément continue sur X
sss'il existe une fonction g définie sur [0, diamètre(X)[,
de limite nulle en 0, telle que 
pour tous x et y dans X.
INJECTIVITÉ, SURJECTIVITÉ, MONOTONIE
M1 : Une fonction injective sur
est monotone sur .
M2 : Une bijection de [0, 1] sur lui-même est monotone.
M3 : Une bijection de
sur lui-même est telle que
est réunion d'intervalles non triviaux sur lesquels f est
monotone.
Une bijection de
sur lui-même est monotone sur au moins un intervalle non trivial.(ca
20)
M4 : une fonction f continue sur
est telle que
est réunion d'intervalles non triviaux sur lesquels f est
monotone.
Une fonction continue sur
est monotone sur au moins un intervalle non trivial.(ca 21)
M4 : Une fonction continue et injective sur
est monotone sur .
M4 : La somme de deux fonctions monotones est monotone.
M4 : Le sous-ensemble de 
formé des fonctions qui sont somme d'une fonction croissante et
d'une fonction décroissante en est un sous-espace vectoriel.
INJECTIVITÉ ET CONTINUITÉ
M5 : Une fonction continue sur
et injective sur une partie dense est injective sur .
Une fonction f continue en
et injective au voisinage de
est telle que sa réciproque est continue en f().
Une fonction continue et injective sur son ensemble de définition a une réciproque continue sur son ensemble de définition.
POINTS FIXES
Une fonction définie sur
qui réduit strictement les distances (
)
possède un point fixe.
Si f est continue sur un intervalle I et
f(I)=I,
alors f possède un point fixe appartenant à I.
PÉRIODICITÉ
P1 : une fonction périodique non constante possède une plus petite période >0.
P2 : la somme de deux fonctions périodiques est périodique.
P3 : la somme d'une fonction T1-périodique et d'une
fonction T2-périodique ( T1et T2 étant >0 et les deux fonctions
définies sur )
est périodique si et seulement si T2/T1 est rationnel.
P4 : la somme de 2 fonctions continues sur
respectivement T1-périodique et T2-périodique ( T1
et T2 étant >0 ) est périodique si et seulement si
T2/T1 est rationnel.
CARACTÈRE BORNÉ
Une fonction définie sur
est bornée sur au moins un intervalle non trivial.
Si f est réglée sur [a, b] (i.e. admet une limite stricte à droite en tout point de [a, b[ et une limite stricte à gauche en tout point de ]a, b]), alors f est bornée sur [a, b].
ADDITIVITE
Une fonction additive sur
(
pour tout
x
et y ) est -
linéaire (
)
Une fonction additive sur
et monotone sur
est - linéaire
Une fonction additive sur
et continue en 0 est -
linéaire
DÉRIVATION
D1 : Si f est définie au voisinage de
et 
, alors
f est dérivable en
et 
.
Une fonction définie au voisinage de
et dérivable en
est continue au voisinage de .
D2 : Si f est définie au voisinage de
et 
, alors
f
est continue en .
Une fonction dérivable sur 
et continue en
a une dérivée à droite et à gauche en 0.
Une fonction dérivable bornée sur
et continue en
a une dérivée à droite et à gauche en 0.
Une fonction f dérivable sur
et continue en
est telle que le taux d'accroissement 
a une limite quand x tend vers .
Une fonction dérivable sur ,
définie en
dont la dérivée a une limite stricte en
est dérivable en .
Une fonction dérivable sur ,
continue en ,
dont la dérivée à une limite stricte en 0 est dérivable
en .
Une fonction dérivable au voisinage de
telle f'()>0
est croissante sur un voisinage de .
Une fonction dérivable au voisinage pointé
de et
telle que est
croissante sur un voisinage de.
Une fonction dérivable au voisinage de
telle f'()>0
est telle que 
au voisinage à gauche de
et 
au
voisinage à droite.
Une fonction dérivable au voisinage de
présentant un maximum en
est telle que 
au voisinage à gauche de
et 
au
voisinage à droite.ca4
La dérivée d'une fonction dérivable
sur un intervalle fermé est bornée sur cet intervalle.
Si la dérivée d'une fonction dérivable sur un intervalle fermé est bornée, elle atteint ses bornes sur cet intervalle.
Une fonction dérivable sur
a une dérivée localement bornée (c'est-à dire
bornée sur tout intervalle borné).herbier
La dérivée d'une fonction dérivable
sur vérifie
la propriété des valeurs intermédiaires. (lfa
583)
Une fonction continue sur
est dérivable en au moins un point.
Une fonction continue sur
et dérivable en tout point d'une partie dense est dérivable
partout. H4
Une fonction dérivable au voisinage de
a une dérivée continue en .
La dérivée d'une fonction dérivable
sur un intervalle est continue en chaque point d'une partie dense de cet
intervalle.
règle de L'hospital
Forum 54
dérivable strictement croissante f'=0 : forum 57 1 et 2 p 46 3 p. 79 oct 2000 puis bull 206 208 F 129
Ck
Une fonction f est de classe 
sur un intervalle ouvert I sssi la fonction t définie par 
est prolongeable en une fonction continue sur I².
F 134 lfa p 582
FONCTIONS DE CLASSE
(= INFINIMENT DÉRIVABLES).
Si une fonction est de classe
en , alors
elle l'est à son voisinage.
Si f est de classe
en et
que toutes ses dérivées y sont nulles, alors elle est nulle
au voisinage de 0.
Si une fonction est de classe
sur et
nulle sur un intervalle non trivial, alors elle est nulle sur .
Si f et g sont deux fonctions de classe
au voisinage de ,
nulles en ,
g
étant non nulle au voisinage pointé de
et telles que f/g possède un prolongement par continuité
h
en , alors
h
est infiniment dérivable en .
(se3, f 114)
Si la série de Taylor de f en
a un rayon de convergence non nul (i.e. 
converge pour x assez voisin de ),
alors elle est égale à la somme de sa série de Taylor
au voisinage de .
BRANCHES INFINIES
Si la courbe de f admet une direction asymptotique
horizontale en
(
), alors elle
admet une asymptote horizontale (
).
Si f est dérivable au voisinage de
et 
,
alors la courbe de f admet une direction asymptotique de pente a
en (
).
Réciproque de l'assertion précédente.
Si f est dérivable au voisinage de
et si la courbe de f y admet une asymptote horizontale alors 
.
Si f est dérivable et monotone au voisinage
de et
si la courbe de f y admet une asymptote horizontale alors .
INTÉGRATION AU SENS DE RIEMANN
I1 : Une fonction bornée sur un intervalle fermé est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.
I2 : Une fonction à variation bornée sur
un intervalle fermé (i.e. 
)
est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.
I3 : Réciproque de I2.
I2 : Une fonction ayant une primitive sur un intervalle fermé est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.
I3 : Une fonction bornée ayant une primitive sur un intervalle fermé borné est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.
I4 : Si f est localement intégrable au sens
de Riemann sur un intervalle I et g est localement intégrable
au sens de Riemann sur un intervalle J contenant f(I),
alors gof est intégrable au sens de Riemann sur I.
Sommes de Riemann
Forum 53
intégrale et dérivée : forum 77.
interversion lim et int : forum 64.
Intégrales à paramètres : F 125
INTÉGRALES IMPROPRES
Si f est continue et positive sur 
,
alors 
.
Si f est uniformément continue et positive
sur , alors .
(gd
p. 148)
FONCTIONS DE
DANS
FONCTIONS DE
DANS .
C1 : Théorème de Rolle complexe ?
Si f est continue sur [a, b] (a <
b), dérivable sur ]a, b[, et f(a) = f(b)
, alors il existe c de [a, b] tel que 
.
C2 : Théorème de prolongation de la dérivée
complexe ?
Si f est continue au voisinage de ,
dérivable au voisinage pointé de ,
et si 
,
alors f est dérivable en .
C3 : Règle de l'Hospital complexe ?.
Si f et g sont continues au voisinage de ,
nulles en
mais pas ailleurs, dérivables au voisinage pointé de ,
alors si 
, 
.lfa
COURBES PARAMÉTRÉES
CP1 : il existe une surjection continue de
dans (autrement
dit, une courbe continue remplissant tout le plan)
CP2 : il existe une bijection continue de
dans
(autrement dit, une courbe continue sans point double remplissant tout
le plan)
TANGENTES
Si f est une fonction de
dans 
,
(C) = 
la courbe associée, on dit que la courbe (C) possède une
tangente en 
si f est continue en 
et si le vecteur normé 
possède une limite à droite non nulle et une limite à
gauche non nulle quand t tend vers
qui sont égales (cas du rebroussement) ou opposées (cas du
point ordinaire ou d'inflexion) ; la tangente est alors par définition
la droite passant par 
dirigée par l'un de ces vecteurs-limites.
CP 1 : si (C) possède une tangente en ,
alors f est dérivable en .
CP 2 : si f est de classe
au voisinage de
et si l'un des vecteurs dérivés de f en
est non nul, alors (C) possède une tangente en ,
dirigée par ce vecteur dérivé.
CP 3 : si f est de classe
au voisinage de
et si tous les vecteurs dérivés de f en
sont nuls, alors (C) ne possède pas de tangente en .
CP4 : Si f est une fonction de
dans définie
au voisinage de
et si ,
alors la courbe de f possède une tangente au point d'abscisse .
LONGUEUR D'UN ARC
CP 5 : si f (de nouveau de
dans )
est continue sur [0, 1], alors la longueur de l'arc 
( égale à la borne supérieure des sommes 
, 
décrivant les subdivisions de [0, 1] ) est finie.
CP 6 : Si 
est une suite de fonctions de
dans 
continues
sur [0, 1] convergeant uniformément vers une fonction
f,
alors la suite des longueurs des arcs 
converge vers la longueur de l'arc .
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
FONCTIONS DE
DANS .
CONTINUITÉ EN UN POINT
PV 1 : Si les deux applications partielles sont continues
en un point, la fonction est continue en ce point ; plus précisément,
si f est définie au voisinage de 
et si 
,
alors 
.
forum 104
PV 2 : Si une fonction est continue dans toutes les directions,
alors elle est continue ; plus précisément, si f est
définie au voisinage de
et si pour tout (u , v), 
,
alors .
PV 3 : Si une fonction est continue sur toute courbe continue
passant par un point, alors elle est continue ; plus précisément,
si f est définie au voisinage de
et si pour toute fonction g de
dans continue
en 0 telle que g(0) =
on a 
, alors .
DIFFÉRENTIABILITÉ EN UN POINT
PV4 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est continue en ce point et y admet des dérivées partielles, alors elle est différentiable en ce point.
PV5 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est dérivable dans toutes les directions en ce point, alors elle est continue en ce point.
PV6 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est continue en ce point et dérivable dans toutes les directions en ce point , alors elle est différentiable en ce point.
PV7 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est dérivable dans toutes les directions en ce point et que le nombre dérivé suivant tout vecteur est toujours nul, alors elle est continue en ce point.
PV8 : Si une fonction définie au voisinage d'un point est continue en ce point, dérivable dans toutes les directions en ce point et que le nombre dérivé suivant tout vecteur est toujours nul, alors elle est différentiable en ce point.
PV9 : Si une fonction définie au voisinage d'un
point est dérivable sur toute courbe dérivable passant par
un point, alors elle est différentiable ; plus précisément,
si f est définie au voisinage de
et si pour toute fonction g de
dans dérivable
en 0 telle que g(0) = , 
est dérivable en 0, alors f est différentiable
en .
PV10 : Si une fonction est différentiable en un point, elle est continue au voisinage de ce point.
PV11 : Si une fonction est différentiable au voisinage d'un point, les dérivées partielles sont continues en ce point.
PV12 : Si f définie sur un ouvert connexe
U
est
telle que sa dérivée partielle 
existe et est nulle sur cet ouvert, alors f ne dépend pas
de y, c'est-à-dire que pour tout 
et tout 
de
U, 
.
PV13 : Si f définie sur un ouvert convexe
U
est
telle que sa dérivée partielle
existe et est nulle sur cet ouvert, alors f ne dépend pas
de y, c'est-à-dire que pour tout
et tout de
U, .
PV12 : Si une fonction admet
EXTRÉMUMS
PV13 : Si la restriction d'une fonction à toute droite passant par un point admet un minimum local en ce point, alors la fonction admet un minimum local en ce point.
PV14 : Si une fonction continue sur un ouvert U possède un minimum non global sur U, elle y possède aussi un maximum.
PV15 : Si une fonction de classe C1
sur un ouvert U possède un minimum non global sur U,
elle y possède aussi un autre point singulier.
mathworld.wolfram.com/OnlyCriticalPointinTownTest.html
INTÉGRALES
FONCTIONS DE
DANS
Une fonction est dérivable en un point ssi elle
est différentiable en ce point comme fonction de
dans et
si sa différentielle est -linéaire.
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© Robert FERRÉOL 2006