Les contre-exemples

LE SITE DES CONTRE-EXEMPLES

Le contre-exemple joue un rôle clé pour la compréhension des mathématiques.

Dans le sens courant, un contre-exemple est une exception qui "confirme" la règle : le mot "dictée" est un contre-exemple à la règle des mots féminins qui se terminent par "té", telle société qui baisse ses prix constitue un contre-exemple à la majorité qui les augmente. Mais en maths, un seul contre-exemple infirme la règle. Plus précisément, si la règle (ou plutôt l'énoncé) est :
(1) tout élément x de l'ensemble E vérifie la propriété P,
l'existence d'un seul élément qui ne vérifie pas P montre que l'énoncé (1) est faux.

Dans ce site, nous avons présenté des énoncés du type (1) qui sont parfois vrais, mais souvent faux, ce qui nécessite dans ce cas la production d'un contre-exemple. La plupart de ces énoncés paraissent a priori assez vrais car ils le sont dans certains cas qui sautent immédiatement aux yeux, ou sont analogues à des énoncés dont on sait qu'ils sont vrais. Beaucoup sont des propriétés considérées comme évidemment vraies dans des copies d'élèves, et en général de tout humain normalement constitué ; certains, comme ceux concernant la continuité ou l'existence d'une bijection entre la droite et le plan ont été tenus pour vrais par de nombreux mathématiciens avant qu'un génie trouve justement un contre-exemple, qui nous apparaît aujourd'hui comme tout simple.
La recherche de contre-exemples est indispensable à la bonne compréhension d'une définition, ou d'un théorème. Par exemple, chercher une suite qui tend vers l'infini sans être croissante oblige à bien comprendre qu'une suite croissante n'est pas une suite qui augmente globalement, mais une suite où chaque terme est supérieur ou égal au précédent. Et pour bien cerner un théorème, il est important d'affaiblir ou de supprimer certaines de ses hypothèses et de regarder s'il reste vrai. On comprend alors mieux la nécessité de ces hypothèses.

Vous constaterez que les niveaux des questions posées sont fort divers. Mais historiquement, certaines questions qui paraissent fort triviales de nos jours semblaient extrêmement difficiles. Et je me souviens toujours d'un camarade assez fort qui, sortant d'une épreuve de l'agrégation, s'est mis à blêmir car il avait utilisé dans un raisonnement qu'une série dont le terme général tend vers zéro est convergente ! Personne n'est à l'abri !

Bonne lecture, et vos commentaires, encouragements et critiques sont les bienvenus ! Envoyez moi aussi vos meilleurs contre-exemples, si vous le désirez. Merci !

BIBLIOGRAPHIE :

HAUCHECORNE, B, Les contre-exemples en mathématiques, Ellipses, 1988 réédité 2007

Bernard R. GELBAUM, John M. H. OLMSTED ,Counterexamples in Analysis, Dover Publications, 2003

J-L.OVAERT & J-L.VERLEY, Léonhard Epistemon-Analyse Vol.1 Cedic-Nathan,1983

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