Quizz ensembles ordonnés

QUIZZ ENSEMBLES ORDONNÉS

On considère dans ce qui suit un ensemble E muni d'une relation d'ordre notée .

O1 : toute partie non vide majorée de E possède une borne supérieure.
C'est vrai dans mais faux dans le cas général. Contre-exemples :
    - ]0, 1[ dans muni de la relation d'ordre habituelle.
    - dans muni de la relation d'ordre habituelle.
    - dans muni de l'ordre lexicographique : .

O2 : ne pas avoir de plus grand que soi équivaut à être le plus grand ; autrement dit :

Non : ceci n'est vrai que si l'ensemble est totalement ordonné, auquel cas la négation de

est bien >.
Contre-exemples :
- les nombres 4,5,6 dans {1, 2, 3, 4, 5, 6} muni de la relation

.
- les nombres premiers dans l'ensemble des naturels muni de

- les élements de E si E a au moins deux éléments et

est l'égalité.
- les sous-chefs dans un groupe moins son chef.
Les nombres n'ayant pas d'élément strictement au dessus d'eux sont dits "maximaux" ; "maximal" n'implique donc pas "maximum"...

O3 : la réciproque d'une bijection croissante est croissante.
C'est vrai si les ensembles sont totalement ordonnés, mais faux dans le cas général. Contre-exemples :
- Rajoutons un élément w à et conservons la relation d'ordre habituelle dans , w n'étant relié à aucun autre ; alors l'application de dans définie par pour n dans et est bijective, croissante, mais bien que 0 < 1, on n'a pas .
- si f est l'identité de dans lui-même muni au départ de la relation de divisibilité, et à l'arrivée, de la relation d'ordre habituelle ; bien que 2 < 3, on n'a pas .

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