Euclidoscope

La somme de toutes les périodes

Les nombres ont plus ou moins d'affinitées dans leurs rapports avec telle ou telle base.

et 720 n'est pas premier

Ici, le but du jeu sera de calculer la somme de toutes les longueurs des périodes d'un nombre (720), lors de sa division par tous les dividendes possibles et ce, dans toutes les bases.

Calculons alors les fractions ayant 720 au dénominateur en base 9 + 720k.

(Lancez l' euclidoscope, puis tapez le point décimal sur le pavé numérique, puis 720 [Entrée] puis 9 [Entrée])

L' euclidoscope regroupe alors les périodes dans la figure suivante où l'on peut compter 7 points blancs (plus celui du haut à midi ça fait 8, mais il n'est là que pour indiquer que parfois la division par 720 en base 9 tombe juste et la longueur de la période est alors 0), qui représentent les périodes à 1 chiffre, et 36 traits simples, représentant les périodes à 2 chiffres. Nous sommes alors loin des 719 chiffres pouvant être potentiellement visités dans le calcul des fractions de n / 720, comme par exemple pour les bases 7 ou 19 , toutes deux premières avec 720.

Calculons pour la base 9 la somme des longueurs de toutes les périodes : On trouve 7x1 + 36x2 = 79.
Cette somme, 79, est indiqué sur la jauge (bleue et jaune) en haut à droite de la figure, ainsi qu'en bas à gauche en rouge, devant "CptPer" qui compte réellement les longueurs des périodes, et "Fin à" qui est calculé à l'avance par un algorithme simple que nous allons expliciter.

Cette jauge est une mesure de la complexité de la figure obtenue.

Serait il possible que la figure du milieu soit un octaèdre parfait ?

Puisque nous disposons d'un algorithme permettant de calculer rapidement la valeur de cette jauge, il est intéressant de réunir dans une même figure l'ensemble de ces jauges pour le nombre 720.

Cela est réalisé par l'euclidoscope à l'aide de la touche <Fin>

La touche <Fin> (qui bascule d'un mode de visualisation à l'autre) permet de visualiser l'ensemble des longueurs des périodes de 720 : Ici le curseur est positionné sur la base 9 et peut se mouvoir à l'aide des touches <DROITE> et <GAUCHE>, attention les touches <HAUT> et <BAS> vous feront respectivement observer les nombres 721 et 719.

L'algorithme permettant de calculer toutes ces jauges a été établi empiriquement par mes soins en avril 2003 et ne m'a jamais fait défaut depuis. N'ayant pas de réelle formation de mathématicien, je n'ai aucune idée d'une quelconque démonstration et me borne à constater son efficacité (Je m'engage ici solenellement à offrir un repas au restaurant au premier qui trouvera un contre-exemple). Il possède tout de même une certaine logique, car il est basé sur le P.G.C.D. du nombre et de la base.

En effet, lorsque ce P.G.C.D. est égal à 1, comme vu plus haut pour les bases 7 ou 19 , la somme des longueurs des périodes est égale à 719 et donc au maximum. Il est à noter que cette somme est toujours égale au maximum p - 1, lorsque p est premier (et donc premier avec tous les autres nombres), cela est particulièrement remarquable dans le cas des périodes uniques, qui ont toujours pour longueur p - 1.

Dans le cas des fractions n / 720 en base 9, nous avons vu plus haut que cette somme était égale à 79. Or, si l'on divise 720 par le P.G.C.D. de 720 et 9, on obtient 80. Le fait ici que 79+1=80 n'est dû au hasard, 720 = 2^4 x 3^2 x 5 et 9 = 3^2 font que ces deux nombres résonnent entre-eux via 3^2 et réduisent ainsi d'autant la complexité de la figure.

Il en est de même pour des bases comme 16 ou 27, ayant respectivement pour P.G.C.D. 16 et 9 avec 720; et ayant pour sommes (des longueurs) des périodes (720 / 16) - 1= 44 et (720 / 9) - 1 = 79.

Si cette simple opération (la division du nombre par le P.G.C.D. de lui-même et de la base) est efficace pour la plupart des couples (Nombre, Base), elle se révèle insufisante pour 8, 10, 12, 20, 21 ou 22 pour le nombre 720 qui a, il est vrai, une tendance innée à résonner avec beaucoup d'autres nombres. Cela est dû à sa décomposition en produit de facteurs premiers :

720 = 2^4 x 3^2 x 5

L'astuce consiste alors à répeter cette division de 720 par le P.G.C.D. jusqu'a ce que celui-ci soit égal à 1 et que les deux nombres n'aient plus de facteur commun. Ainsi selon la base, on sera amené à diviser successivement un certain nombre de fois.

En base 8 on trouvera 90 puis 45.
En base 10 on trouvera 72, 36, 18 puis 9.
En base 12 on trouvera 60 puis 5.
En base 20 on trouvera 36 puis 9.
En base 21 on trouvera 240 puis 80.
En base 22 on trouvera 360, 180, 90 puis 45.

Si l'on enlève 1 à chacun de ces résultats, on retrouve bien la somme de la longueur de toutes les périodes. Cette somme étant une mesure directe de la résonance du nombre avec une base donnée, il vient naturellement à l'esprit l'idée de calculer la moyenne de ces sommes pour toutes les bases. C'est l'objet du chapitre suivant : La résonance de tous les nombres.

Note :

Sur la figure générée par la touche <Fin> les traits en rouge à l'extérieur du cercle sont un bonus qui répertorie les bases qui sont leur propre inverse pour 720. Il en est ainsi, entre autres pour 161, 199, 521 et 559 .